Fisica tecnica

EEM: Considero un sistema aperto, in condizioni stazionarie, con un ingresso e in uscita, che scambia

calore con una sola sorgente. Per il primo e secondo principio sono così scritte:

22 12

+ ̇ ̇

1. )

( + ( − + ℎ − ℎ ) = −

2 1 2 1

2 2

2. )

( − = + ∆

∫

2 1

1

1) + + ℎ = −

2) = + → = −

(dsirr varazione di entropia dovuta all’irreversibilità)

ℎ :

3) ℎ = − = +

→ + + + = − − → + + + + =

0

In forma integrale:

22 12 2 2

+ )

+ ( − + ∫ + ∫ + = 0 . .

2 1 12

2 1 1 22 12 2

+

trascurando ‘effetto dell’irriversabilità otteniamo la forma di eulero )

+ ( − + +

∫

2 1 1

2

= 0

12 1 permette di tirare v fuori

se consideriamo: il fluido incomprimibile, quindi ( = = ⁄ )Questo

1 2

2 2

dall'integrale: e il condotto in cui scorre il fluido non scambia lavoro,

);

= = ( −

∫ ∫ 2 1

1 1 22 12 ( )

+ −

1

quindi assume (nessuna pompa o turbina) e → 2 1

)

= 0 = ⁄ + ( − +

12 2 1

2

equazione di Bernoulli che in regime stazionario, con assenza di scambio di lavoro con il fluido a

22 12 ( )

+ −

densità costante eem diventa 2 1

)

+ ( − + + = 0 dove R indica le perdite di

2 1

2

2

carico irreversibili causato dall’attrito viscoso =

∫

1

FATTORE DI DARCY: compare nell’espressione delle perdite è una funzione che lega la viscoità, densità,

velocità e diametro. È funzione del numero di Reynolds e della scabrezza relativa (irregolarità della parete del

tubo) descrivendo il fattore d’attrito

PERDITE DI CARICO: esiste una formula standard, valida in tutti i casi (anche nel turbolento), data da

2

una funzione adimensionale, fattore di attrito di darcy (f), dove R è dato da: :

= 2

• Per condotti a sezione non circolare si introduce un diametro equivalente: =

4

• il rapporto R/L (perdita di energia per unità di lunghezza) dipende da viscosità (), densità (),

2

velocità (w) e diametro (D), infatti dove il secondo t\ine è detto numero di Reynolds

=

ed è molto importante perché stabilisce il regime di moto se laminare (scorre in

= =

strati ordinati senza mescolamento) o turbolento (velocità varia in modo disordinato)

SCABREZZA RELATIVA: Si introduce il fattore adimensionale (rapporto tra rugosità e diametro),

⁄

che, insieme al Numero di Reynolds (Re), determina il fattore di attrito (f) di Darcy.

Nel moto laminare il fluido scorre ordinatamente e ad esempio un colorante immesso nel flusso

rimane riconoscibile a lungo prima di mescolarsi con il fluido circostante. Nel moto turbolento la

velocità del fluido presenta modulo e direzione continuamente variabili in modo disordinato, per cui il

colorante si disperde immediatamente. Tra i due regimi esiste una zona di transizione.

PERDITE DI CARICO CONCENTRATE: si verificano in corrispondenza di elementi che causano

variazioni delle velocità o direzione (curve, valvole, restingimenti,ecc..), possono creare vortici

dissipativi che rendono il moto turbolento, causando perdite di energia, dipendono dalla geometria e

dalla velocità, infatti, viene calcolata utilizzando dei coefficienti sperimentali di perdita =

PERDITE DI CARICO DISTRIBUITE: si verificano lungo tutto il condotto per via dell’attrito viscoso e

dipende dalla lunghezza e dalla rugosità (scabrezza) delle pareti

1- condotto che lega due serbatoi d’acqua entrambi a pelo libero, con differenza di quota costante

tra le due superfici. Per calcolare la portata si applica l’EEM:

∆

22 12 ( )

+ −

2 1

)

+ ( − + + =0

2 1

2

Sappiamo che essendo entrambi a pelo libero e con la condotta con

diametro costante, la velocità del fluido sulle superfici sono nulle e le

pressioni entrambi atmosferiche (w₁ e w₂=0; P1 e P2=Patm). Portando quindi a riscrivere

2

2∆

l’equazione → quindi partendo da un valore di

√

= ∆: = =

2

velocità ipotetico, finché il calcolo non converge. . Una volta ottenuta la velocità w convergente, si

̇

calcola: la Portata massica: e la Portata volumetrica:

̇ = ; =

2- Come calcolare la potenza di una pompa data la portata, data la geometria

si riscrive eem cosi:

22 12 ( )

+ − (velocità uguali dato che il diametro

2 1

)

+ ( − + + = ||

2 1

2

è lo stesso, entrambi a pressione atmosferica) si riscrive In

|| = ∆ + .

4

questo caso la velocità è nota e si scrive e permette di calcolare Re= wD/v, una

= = 2

volta trovato f e le perdite di carico , la potenza trasferita al fluido è mentre la potenza

= ∙ ||,

∙||

reale assorbita dove n è è il rendimento della pompa che rappresenta l’efficienza

= =

di conversione meccanica a idraulica

3- Svuotamento serbatoio, calcolare il tempo necessario affinché si svuoti il

serbatoio; il tipo di problema non è stazionario quindi non si può applicare l’eem.

Dividendo il problema in intervalli infinitesimali, si possono considerare uno ad

uno stazionario. l’acqua scende lentamente nel serbatoio uscendo dalla sezione

2 attraverso un tubo di piccole dimensioni. Entrambi i punti sono a pressione

atmosferica, l’area del sebatorio è molto più grande del tubo di scarico, per

l’equazione di continuità w1 è trascurabile rispetto a w2. Il livello dell'acqua nel

serbatoio (e quindi la velocità w1) cambia continuamente nel tempo → Si utilizza una

⁄ ≠ 0

soluzione approssimata trattando il processo come quasi-stazionario, ovvero suddividendo il

tempo di svuotamento in intervalli infinitesimi dt in cui si può considerare il flusso stazionario. Si

applica l'EEM tra la superficie libera del serbatoio (Punto 1) e la sezione di uscita del tubo (Punto 2)

22 22 2 )

2( −

che diventa: . Per trovare il

1 2

√

→ →

) )

= ( − − = ( − − =

1 2 1 2 2

2 2 2 1+

tempo totale di svuotamento, si usa l’equazione di continuità in

forma differenziale: Il flusso in uscita dalla sezione 2 è: =

2

e Il flusso che provoca l'abbassamento del livello nel

2 2

serbatoio (sezione 1) è: (dove è la velocità di abbassamento del

= = − ⁄ ⁄

1 1 1 1

livello). Il segno negativo è perché la quota z1 diminuisce. Per l'equazione di continuità, la portata

1

in uscita è bilanciata dalla portata di abbassamento: e sostituendo →

= ⁄ ⁄

2 1

(∆)

→ 1

= − = − (∆)

2 2 1

2 2

4- Altezza massima di aspirazione di pompa→ richiamando il principio del barometro di

Torricelli, che in caso statico il fluido è fermo. La pressione esterna è atmosferica e

supporta una colonna di fluido di altezza z, che è data dalla legge di Stevino Δ =

− , per il mercurio Psat è trascurabile mentre per l’acqua no. Il problema di

ρg

aspirazione è di tipo dinamico e si applica eem tra due punti: tra la superficie libera

del liquido nel serbatoio e la sezione di ingresso della pompa (obiettivo che P2 sia

sempre maggiore di Past senno evaporizza) applico eem e assumo w1=0 e P1=Patm,

22

risolvo per P2 l’altezza massima si raggiunge

)

2 = + ( − − −

1 1 2 2

quando la pressione all’ingresso (P2) è uguale alla pressione di saturazione

1 −

imponendo P2=Psat e risolvendo per deltaz L’altezza di

1

Δ = ( − ).

aspirazione deve essere inferiore azmax. Per aumentarla è necessario aumentare P1 e diminuire

Psat

5- Circuito di riscaldamento con caldaia e radiatori in

parallelo. Come trovare la potenza della pompa

applicando eem alle sezioni 1 e 2 (ingresso e uscita)

22 12

−

in regime stazionario: || )

= + ( − +

2 1

2

( )

− La potenza della pompa è calcolata dalla

2 1 + .

formula: Dove Q è la portata volumetrica (m3/s) e l è l’energia meccanica

|| ||,

= ̇ ∙ = ∙ ∙

specifica fornita dalla pompa.

Essendo che i diametri delle tubature sono le stesse, la velocità di condotta tra le due sezioni sarà

pressoché identica; anche la variazione di quota essendo alla stessa quota sono nulle; essendo

che la vicinanza tra i punti 1 e 2 sono piccolissime e che le perdite di carico sono proporzionali alla

lunghezza del tratto allora sono trascurabili R=0, inoltre le perdite della pompa sono già contate

22 12 ( ) ( )

− − −

nel rendimento stesso della pompa|| .

2 1 2 1

) ||

= + ( − + + → =

2 1

2

Applicata invece all’intero circuito (chiuso) su un ciclo completo da 2 a 1, diventa: || −

( )

−

quindi l=R e , quindi la variazione di energia specifica fornita dalla pompa è

2 1

=

uguale alle perdite di carico specifiche totali. Per determinarle notiamo che il circuito è composto

dai tratti a-b-e principali e i rami d-c in parallelo, connessi dai nodi A e B, con stesse cadute di

pressioni, quindi la resistenza totale è calcolabile coma somma sui rami a-b-d-e oppure a-b-c-e,

quindi Rc=Rd anche se le velocità sono diverse, si effettua anche il bilancio della portata con

l’equazione di continuità in ogni ramo quindi Qa=Qe=Qtot e dato che Qa=Qb+Qd e Qe= Qb+Qc,

quindi il calcolo della potenza della pompa è dato da =

6- tubo di venturi, misura la velocità media del fluido nel condotto e di

conseguenza la portata volumetrica, sfrutta il principio di Bernoulli (e.e.m.)

applicato a un restringimento (gola). Per l’equazione di continuità poiché

che deve conservarsi e quindi anche la

̇ = ∙ = ∙ ∙ <

1 2

12 22

velocità → . Trascurando le perdite

1 2

> + + = + +

2 1 1 2

2 2 22 12

− −

di carico e le quote sono alle stesse orizzontali → in

2 1

+ = 0 →

2

caso generale, se si misura la differenza di pressione si può trovare la )

2( −

velocità w2 in funzione di w1, inserendo w1=w2(A2/A1) si risolve per w2 → . In

1 2

= √

2 2

)

(1−( / )

2 1

)

2( −

caso specifico se w1<<w2 → se e solo se la sezione 1 è molto più grande della

1 2

= √

2

sezione 2, rendendo la velocità w1 trascurabile. Quindi misurando la differenza di pressione e

conoscendo l’area 2, si ricava la velocità w2, la portata è data da Q=A2 w2

7- tubo di Pitot misura la velocità del fluido in un punto specifico (velocità puntuale), il

suo principio di funzionamento di basa sulla differenza delle pressioni: Pressione

Statica ( ): Misurata attraverso i fori laterali. Questi fori sono paralleli alla direzione

1

del flusso e misurano la pressione del fluido indisturbato che scorre ( ). Pressione

1

di Stagno ( ): Misurata attraverso il foro centrale (punto 2). Il fluido che entra in

2

questo foro decelera fino a fermarsi ( Per il Principio di Bernoulli, l'energia

= 0).

2

cinetica si trasforma completamente in energia di pressione, detta pressione di

ristagno o totale ( ). la E.E.M. applicato tra un punto nel flusso indisturbato (1) e il punto di

2

ristagno (2) assumendo che le quote siano le stesse e che la = 0:

2

12 22 12 12 )