Fisica generale

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Fisica Generale — Appunti del corso

T01 — Richiami matematici, grandezze fisiche, vettori

1. Trigonometria sulla circonferenza goniometrica

Circonferenza di raggio 1 centrata nell’origine, verso positivo antiorario. Un punto P sulla

circonferenza a angolo α dall’asse x ha coordinate

P = (cos α, sin α)

Relazioni fondamentali:

I: sin²α + cos²α = 1 (Pitagora sul triangolo ONP)

II: tan α = sin α / cos α

cot α = cos α / sin α = 1/tan α

Valori notevoli (da sapere a memoria, non c’è formulario):

α 0 30° 45° 60° 90°

sin 0 1/2 √2/2 √3/2 1

cos 1 √3/2 √2/2 1/2 0

tan 0 √3/3 1 √3 ∞

Formule usate spesso negli esercizi:

sin(2α) = 2 sin α cos α ← chiave per la gittata massima a 45°

cos(2α) = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α

sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β

∓

cos(α ± β) = cos α cos β sin α sin β

Approssimazione per angoli piccoli (α in radianti):

sin α ≈ α, tan α ≈ α, cos α ≈ 1 − α²/2

È l’approssimazione che rende armonico il pendolo semplice.

2. Angolo solido

Estensione tridimensionale dell’angolo piano. Se S è l’area intercettata su una sfera di raggio R:

Ω = S / R² [sr, steradiante]

Angolo solido totale attorno a un punto:

Ω_tot = 4πR² / R² = 4π sr

Serve per il teorema di Gauss (flusso di un campo che va come 1/r²) e per il calcolo del campo

del dipolo.

3. Derivata, differenziale, integrale

Derivata = limite del rapporto incrementale:

f'(x) = df/dx = lim_{Δx→0} [f(x+Δx) − f(x)] / Δx

Significato geometrico: pendenza della tangente. Significato fisico: tasso di variazione

istantaneo.

x(t) → v(t) = dx/dt → a(t) = dv/dt = d²x/dt²

Differenziale: df = f’(x) dx — la variazione infinitesima di f.

Integrale definito = area sotto la curva = operazione inversa della derivata:

∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a) con F' = f

In fisica l’integrale è l’accumulo: il lavoro accumula F·ds, l’impulso accumula F dt, la carica

accumula i dt.

Derivate/integrali che servono davvero:

d(xⁿ)/dx = n x^(n−1) ∫ xⁿ dx = x^(n+1)/(n+1) (n ≠ −1)

d(sin x)/dx = cos x ∫ sin x dx = −cos x

d(cos x)/dx = −sin x ∫ cos x dx = sin x

d(eˣ)/dx = eˣ ∫ eˣ dx = eˣ

d(ln x)/dx = 1/x ∫ dx/x = ln|x|

4. Vettori e operazioni

Un vettore a si scompone sui versori degli assi:

**a** = a_x **î** + a_y **ĵ** + a_z **k̂**

|**a**| = √(a_x² + a_y² + a_z²)

versore: **â** = **a** / |**a**|

Somma: componente per componente (regola del parallelogramma).

Prodotto scalare (risultato: scalare)

**a** · **b** = |a||b| cos θ = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z

Commutativo, distributivo.

a · b = 0 vettori perpendicolari (con a, b ≠ 0).

⟺

Serve per: lavoro W = F·s, flusso Φ = E·S, potenza P = F·v.

Prodotto vettoriale (risultato: vettore)

**a** × **b** = | î ĵ k̂ |

| a_x a_y a_z |

| b_x b_y b_z |

|**a** × **b**| = |a||b| sin θ

Anticommutativo: a × b = −b × a.

Direzione perpendicolare al piano di a e b, verso dato dalla regola della mano destra.

a × b = 0 vettori paralleli.

⟺

Serve per: momento M = r × F, momento angolare L = r × p, forza di Lorentz F = qv ×

B.

Derivata di un vettore. Se a varia in modulo e direzione:

d**a**/dt = (da/dt) **â** + a (d**â**/dt)

Il primo termine cambia il modulo, il secondo la direzione. Per un versore rotante con velocità

angolare ω vale la formula di Poisson:

d**û**/dt = **ω** × **û**

(dimostrazione e uso in è una domanda d’esame 2025).

T03,

5. Operatori differenziali

Operatore nabla:

∇ = (∂/∂x) î + (∂/∂y) ĵ + (∂/∂z) k̂

Gradiente (scalare → vettore)

∇f

grad f = = (∂f/∂x) î + (∂f/∂y) ĵ + (∂f/∂z) k̂

Punta nella direzione di massima crescita di f; il suo modulo è la rapidità di quella crescita. In

fisica: F = −∇U (la forza punta dove l’energia potenziale cala più in fretta), E = −∇V.

Divergenza (vettore → scalare)

∇

div **A** = · **A** = ∂A_x/∂x + ∂A_y/∂y + ∂A_z/∂z

Misura quanto un punto è sorgente o pozzo del campo. In fisica: = ρ/ε₀ (le cariche sono

∇·E

sorgenti di E), = 0 (non esistono monopoli magnetici), = 0 in regime stazionario.

∇·B ∇·J

Rotore (vettore → vettore)

∇

rot **A** = × **A** = | î ĵ k̂ |

| ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z |

| A_x A_y A_z |

Misura la circolazione locale del campo, cioè quanto “vortica”. In fisica: × F = 0 campo

∇ ⟺

conservativo; × E = −∂B/∂t (Faraday); × B = μ₀J + μ₀ε₀ ∂E/∂t (Ampère–Maxwell).

∇ ∇

Identità utili:

∇ × (∇f) = 0 (il rotore di un gradiente è sempre nullo)

∇ · (∇ × **A**) = 0 (la divergenza di un rotore è sempre nulla)

La prima è il motivo per cui un campo conservativo ha rotore nullo: se F = −∇U allora × F =

∇

−∇ × = 0.

∇U

6. Teoremi di Gauss e di Stokes

Sono i due ponti fra forma integrale e forma locale delle equazioni di Maxwell — domanda

d’esame diretta (11/2020 integrativo: «in che senso le equazioni di Maxwell rappresentano la

formulazione locale…»).

Teorema della divergenza (Gauss)

∮_S **A** · **n̂** dS = ∫_V (∇ · **A**) dV

Il flusso di A uscente dalla superficie chiusa S che racchiude il volume V uguaglia l’integrale

della divergenza su V.

Teorema del rotore (Stokes)

∮_γ **A** · d**l** = ∫_S (∇ × **A**) · **n̂** dS

La circuitazione di A lungo la linea chiusa γ uguaglia il flusso del rotore attraverso una

qualunque superficie S che ha γ come bordo.

Uso tipico all’esame:

Forma integrale Teorema Forma locale

E·dS = Q_int/ε₀ Gauss = ρ/ε₀

∮ ∇·E

B·dS = 0 Gauss = 0

∮ ∇·B

E·dl = −dΦ_B/dt Stokes = −∂B/∂t

∮ ∇×E

B·dl = μ₀i + μ₀ε₀ dΦ_E/dt Stokes = μ₀J + μ₀ε₀ ∂E/∂t

∮ ∇×B

7. Numeri complessi e formula di Eulero

z = a + ib = ρ(cos θ + i sin θ) = ρ e^{iθ}

ρ = |z| = √(a²+b²), θ = arctan(b/a)

Formula di Eulero: e^{iθ} = cos θ + i sin θ.

Serve nel metodo simbolico per le correnti alternate (impedenze come numeri complessi) —

(Argomento escluso se il taglio è 6 CFU.)

T11.

8. Metodo scientifico, grandezze fisiche, SI

Definizione operativa di una grandezza fisica = descrizione della procedura di misura. Una

grandezza esiste in fisica solo se si sa come misurarla.

Grandezze fondamentali del SI (le 7):

Grandezza Unità Simbolo

lunghezza metro m

massa chilogrammo kg

tempo secondo s

corrente elettrica ampere A

temperatura kelvin K

quantità di sostanza mole mol

intensità luminosa candela cd

Equazioni dimensionali. Ogni grandezza derivata si esprime come [G] = M^a L^b T^c …

Un’equazione fisica è dimensionalmente omogenea: puoi sommare solo grandezze con le

stesse dimensioni, e gli argomenti di sin, cos, exp, ln devono essere adimensionali.

Esempi:

[v] = L T⁻¹ [a] = L T⁻² [F] = M L T⁻² (newton)

[W] = [E] = M L² T⁻² (joule) [P] = M L² T⁻³ (watt)

[p] = M L⁻¹ T⁻² (pascal) [q] = A T (coulomb)

Prefissi: p 10⁻¹², n 10⁻⁹, µ 10⁻⁶, m 10⁻³, k 10³, M 10⁶, G 10⁹.

9. Costanti da conoscere a memoria

Costante Valore

g (accelerazione di gravità) 9,81 m/s² (spesso 9,8)

G (costante di gravitazione) 6,67·10⁻¹¹ N·m²/kg²

ε₀ (permittività del vuoto) 8,85·10⁻¹² F/m

k = 1/(4πε₀) 8,99·10⁹ ≈ 9·10⁹ N·m²/C²

µ₀ (permeabilità del vuoto) 4π·10⁻⁷ T·m/A

c (velocità della luce) 3,00·10⁸ m/s = 1/√(ε₀µ₀)

e (carica elementare) 1,602·10⁻¹⁹ C

m_e (massa elettrone) 9,11·10⁻³¹ kg

m_p (massa protone) 1,673·10⁻²⁷ kg

N_A (numero di Avogadro) 6,022·10²³ mol⁻¹

R (costante dei gas) 8,314 J/(mol·K)

k_B (costante di Boltzmann) 1,38·10⁻²³ J/K = R/N_A

1 cal 4,186 J

1 atm 1,013·10⁵ Pa

1 eV 1,602·10⁻¹⁹ J

1 erg 10⁻⁷ J

Volume molare a STP 22,4 l/mol

ρ acqua 1000 kg/m³ = 1 g/cm³

c acqua 4186 J/(kg·K) = 1 cal/(g·°C)

c ghiaccio ≈ 2090 J/(kg·K) = 0,5 cal/(g·°C)

c vapore ≈ 2010 J/(kg·K) ≈ 0,48 cal/(g·°C)

λ_fusione ghiaccio 3,34·10⁵ J/kg = 79,7 cal/g

λ_ebollizione acqua 2,26·10⁶ J/kg = 540 cal/g

T02 — Cinematica del punto materiale

1. Grandezze fondamentali

Posizione: r(t) = x(t) î + y(t) ĵ + z(t) k̂ — la legge oraria.

Spostamento: Δr = r(t₂) − r(t₁). È un vettore; non coincide con lo spazio percorso (scalare) se

la traiettoria non è rettilinea e non invertita.

Velocità media: v_m = Δr/Δt Velocità istantanea: v = dr/dt — sempre tangente alla

traiettoria.

Accelerazione media: a_m = Δv/Δt Accelerazione istantanea: a = dv/dt = d²r/dt²

Scomposizione intrinseca dell’accelerazione:

**a** = a_t **û**_t + a_n **û**_n con a_t = dv/dt, a_n = v²/R

a_t cambia il modulo della velocità, a_n ne cambia la direzione (R = raggio di curvatura). Da

qui la risposta alla domanda d’esame «perché c’è accelerazione se il modulo della velocità non

cambia?»: perché cambia la direzione, e a_n ≠ 0.

2. Moto rettilineo uniforme (MRU)

a = 0, v = costante

x(t) = x₀ + v t

3. Moto rettilineo uniformemente accelerato (MRUA)

a = costante

v(t) = v₀ + a t

x(t) = x₀ + v₀ t + ½ a t²

Relazione senza il tempo (utilissima):

v² = v₀² + 2a (x − x₀)

Caduta di un grave (a = −g, asse y verso l’alto, v₀ = 0, y₀ = h):

y(t) = h − ½ g t², v(t) = −g t

t_caduta = √(2h/g), v_impatto = √(2gh)

Lancio verso l’alto (v₀ > 0):

h_max = v₀²/(2g), t_salita = v₀/g, t_volo = 2v₀/g

4. Moto del proiettile

Composizione di due moti indipendenti (principio di composizione dei moti): MRU orizzontale

+ MRUA verticale. Lancio da (0,0) con v₀ e alzo θ:

v₀x = v₀ cos θ v₀y = v₀ sin θ

x(t) = v₀ cos θ · t

y(t) = v₀ sin θ · t − ½ g t²

v_x(t) = v₀ cos θ (costante)

v_y(t) = v₀ sin θ − g t

Traiettoria (eliminando t): parabola

y = x tan θ − g x² / (2 v₀² cos²θ)

Quota massima (dove v_y = 0):

t_max = v₀ sin θ / g h_max = v₀² sin²θ / (2g)

Tempo di volo (rientro alla quota di partenza): t_volo = 2 v₀ sin θ / g

Gittata:

x_g = v₀² sin(2θ) / g

★ DIMOSTRAZIONE D’ESAME — la gittata è massima a θ = 45°

(uscita testualmente il 27/03/2023)

Partiamo dal tempo di volo, ottenuto imponendo y(t_v) = 0 con t_v ≠ 0:

⟹

v₀ sin θ · t_v − ½ g t_v² = 0 t_v = 2 v₀ sin θ / g

Sostituendo nella x(t):

x_g = v₀ cos θ · t_v = 2 v₀² sin θ cos θ / g

e per la formula di duplicazione sin(2θ) = 2 sin θ cos θ:

x_g(θ) = v₀² sin(2θ) / g

La gittata è massima quando sin(2θ) è massimo, cioè sin(2θ) = 1 2θ = 90° θ = 45°.

⟹ ⟹

Verifica con la derivata: ⟹ ⟹

dx_g/dθ = 2 v₀² cos(2θ) / g = 0 cos(2θ) = 0 θ = 45°

⟹

d²x_g/dθ² = −4 v₀² sin(2θ)/g < 0 in θ = 45° massimo.

Corollario da citare: poiché sin(2θ) = sin(180° − 2θ), gli angoli θ e 90° − θ danno la stessa

gittata (es. 30° e 60°). Per qualunque θ ≠ 45° la gittata è minore.

Lancio da una quota h (il “cannone sulla torre”)

Il tempo di volo si trova da y(t) = −h: ⟹

−h = v₀ sin θ · t − ½ g t² ½ g t² − v₀ sin θ · t − h = 0

t_v = [v₀ sin θ + √(v₀² sin²θ + 2gh)] / g (radice positiva)

x_g = v₀ cos θ · t_v

Con il vento (uscito 10/2022, 31/01/2023, 20/01/2025): il vento è una velocità costante w che si

somma vettorialmente alla velocità orizzontale. Scomponi w sugli assi:

w_x = w cos β, w_y = w sin β

x(t) = (v₀ cos θ + w_x) t

y(t) = h + (v₀ sin θ + w_y) t − ½ g t²

Prima si ricalcola t_v con la nuova v_y iniziale, poi la gittata con la nuova v_x.

5. Moto circolare uniforme (MCU)

Traiettoria circolare di raggio R, modulo della velocità costante.

θ(t) = θ₀ + ω t

ω = dθ/dt = 2π/T = 2πf [rad/s]

v = ω R (relazione lineare–angolare)

a_c = v²/R = ω²R diretta verso il centro (centripeta)

Periodo T = 2π/ω, frequenza f = 1/T [Hz].

★ Perché c’è accelerazione se |v| non cambia

(domanda d’esame nella prova 67)

Perché v è un vettore: cambia continuamente direzione. Formalmente, con v = v û_t e la

formula di Poisson dû_t/dt = ω × û_t:

**a** = d**v**/dt = (dv/dt) **û**_t + v (d**û**_t/dt) = 0 + v ω

**û**_n = (v²/R) **û**_n

L’accelerazione è puramente normale, diretta verso il centro, di modulo v²/R. Non è “una forza

che spinge fuori”: la forza centrifuga non esiste nel sistema inerziale (vedi T03).

Se il vincolo viene meno (domanda ulteriore nei sparita la forza centripeta, per il

Quesiti):

principio d’inerzia il punto prosegue di MRU con velocità tangente alla circonferenza

nell’istante di distacco, modulo v = ωR. È il caso della fionda (traccia 05/2020): dopo il

distacco diventa moto del proiettile con v₀ orizzontale.

6. Moto armonico

x(t) = A sin(ωt + φ) oppure A cos(ωt + φ)

v(t) = A ω cos(ωt + φ)

a(t) = −A ω² sin(ωt + φ) = −ω² x(t)

Equazione differenziale caratteristica: d²x/dt² + ω²x = 0. Un moto è armonico ⟺

l’accelerazione è proporzionale allo spostamento e di segno opposto.

Casi tipici:

Sistema ω T

Massa–molla √(k/m) 2π√(m/k)

Pendolo semplice (piccole oscill.) √(g/l) 2π√(l/g)

Pendolo fisico √(mgd/I) 2π√(I/mgd)

7. Moti relativi e trasformazioni di Galileo

Due sistemi di riferimento, S fisso e S’ in moto traslatorio con velocità u costante rispetto a S:

**r** = **r**' + **u** t

**v** = **v**' + **u** (composizione delle velocità)

**a** = **a**' (l'accelerazione è invariante)

Principio di relatività galileiana: le leggi della meccanica hanno la stessa forma in tutti i

sistemi inerziali. Nessun esperimento meccanico interno permette di distinguere quiete da moto

rettilineo uniforme.

Nel caso generale (S’ anche rotante) valgono le formule di trascinamento e Coriolis: vedi T03.

Esercizi tipici di moto relativo:

Barca che risale e discende il fiume (11/04/2022): v_giù = v_b + V, v_su = v_b − V; da l/t₁

e l/t₂ ricavi v_b e V. Il tempo totale t = l/(v_b+V) + l/(v_b−V) = 2 l v_b/(v_b²−V²) è

minimo per V = 0 (basta derivare rispetto a V: dt/dV 4 l v_b V/(v_b²−V²)², che si

∝

annulla solo in V = 0).

Nastri trasportatori (Studio Assistito): somma algebrica delle velocità.

Inseguimento auto/polizia: due leggi orarie, imposta x_A(t) = x_B(t).

Due auto che si avvicinano (07/2020): scegli un unico asse x e scrivi le due leggi orarie

con i segni giusti; l’urto avviene quando x_A = x_B.

8. Errori che costano punti in cinematica

1. Non disegnare gli assi e sbagliare il segno di g.

2. Confondere spazio percorso e modulo dello spostamento.

3. Fare la media aritmetica delle velocità.

4. Dimenticare che nel proiettile v_x è costante (non c’è attrito, per ipotesi).

5. Usare v² = v₀² + 2as quando a non è costante (es. F(t) = kt del 27/03/2023: lì serve

integrare, a(t) = kt/m v(t) = kt²/2m).

⟹

6. Non convertire km/h in m/s (dividere per 3,6).

T03 — Dinamica del punto materiale

1. I tre principi

I — Principio d’inerzia. Esiste una classe di sistemi di riferimento, detti inerziali, in cui un

punto materiale non soggetto a forze (o soggetto a risultante nulla) permane in quiete o in moto

rettilineo uniforme. Il primo principio è di fatto la definizione di sistema inerziale.