Fisica 1 - Appunti completi

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Urti vettori e scalari Quantità di moto dal vettore alle componenti Teorema dell’impulso da gradi a radianti Lavoro versori Teorema del lavoro operazioni tra vettori prodotto vettoriale e scalare Forze conservative e non conservative Energia potenziale e cinetica Equazione bilancio energetico cinematica velocità media e istantanea Forza elastica accelerazione media e istantanea Oscillazioni Pendolo semplice moti spontanei moto rettilineo uniforme moto con accelerazione costante relazioni tra variabili lineari e angolari moti punto materiale moto accelerato/decelerato momento di una forza moto curvilineo momento angolare conservazione momento angolare moto gravitazionale moto naturalmente accelerato caduta di un grave centro di massa moto parabolico teorema della media gittata densità moto circolare momento di inerzia accelerazione centripeta e tangenziale corpi rigidi moto circolare uniforme teorema Koning per energia cinetica moto circolare uniformemente accelerato teorema Koning per momento angolare + dimostrazioni Dinamica moto di puro rotolamento teorema assi paralleli primo principio dinamica Secondo principio dinamica terzo principio dinamica attrito viscoso oscillazioni smorzate forza e accelerazione equilibrio forze di contatto tensione forze dissipative Attrito statico attrito dinamico.

Scalari e vettori

Le grandezze fisiche sono misurabili si dividono in:

• Scalari espresse da un solo numero e l'unità di misura D.
• Vettoriali espresse da tre numeri D.

Un vettore è descritto con vettore libero: è nello spazio → modulo la lunghezza indefinito; direzione -> la retta lungo la quale si muove il vettore. Vettore applicato: ha un punto; verso. In inglese direction = direzione + verso di applicazione.

Grafica assoluta. Un vettore si rappresenta con: cartesiana. Grafica 8 (x z y) e alle purie, breno, 8. Su un piano mi servono e solo modulo e angolo ↓ compreso = angolo direzione verso. Se non si conosce il modulo riferimento, di direzione iniziale P(X1, y1) infinite lunghezze basta calcolare la distanza fra vettore - A punto della applicazione di due punti forze dimensione dalla partire a angoli.

Convenzione: positivi sono considerati orizzontale &. Vettori equipollenti: stessa direzione, verso e modulo, ma diverso punto di applicazione. Assoluta -- X-F = m * a una grandezza con la freccia sopra è un vettore. Cartesiana C y e Cx2. In cartesiana 8 vettore del proiezioni o componenti. Le componenti sono le proiezioni del vettore sugli assi, coordinate ovvero cartesiani assi sugli, Cvettore del punta della.

Rettangoli triangoli sui teoremi: POyC russ21 Sb B (2 cateto O~ 1).

Dal vettore alle componenti e viceversa

Se abbiamo e possiamo calcolare V e possiamo calcolare v e se abbiamo a Vy Vy Vivy & e cos = lato adiacente.

Formule X. Vettore nel piano xy e Vcosα: Vx = iis us VcosB Vsen GO Vy = sin = lato opposto & Vcosj v = ipotenusa. VX tgα = ↑ tan = lato opposto & lato adiacente. Se non abbiamo la z, si mettono solo x ed y.

Da gradi a radianti

Da 360:25: la proporzione è.

Versori

Un vettore con modulo pari ad 1 è detto versore. Vengono utilizzati per individuare una direzione e un verso qualsiasi o - con -1) Ex (ex A2 * == = AIs A=-IA den=I.

I vettori î e j rappresentano l'asse delle x e quella delle y e I 3 ax ay votay â axY ee=I 3Mtax i per x e componente vettore il.

Un vettore si può scrivere anche: (0,b) ↑ ↑ (g,-- = aixb;j 1 aV =-i vettore colonna esempi: Vettore espresso per mezzo delle componenti 2ia-e = xas *1jay A2j= 4i += *- (1j)2i&x = +0 A- 1V - 27I II25iax => - 2jay -N ((5)i 2)ja + -=.

Vettore a 3 dimensioni

A Azk nella rappresentazione cartesiana: byj1,i += + YAx EAtA yAy= ++ verso zea(A) à AA (A)A AcAy+Ax= == = + modulo ↳ > a zAzyAyA xAx ++= = /A) notazione vettori AgAs Az++ sv segmento orientato AB- AB modulo.

Operazioni tra vettori

Somma

Stante eisul sevelte Ve. 1) Metodo testa-coda. Per posizionare i vettori così si effettua il trasporto parallelo, cioè vanno traslati -> ↓ la coda deve coincidere con la punta del primo vettore. Vale la proprietà commutativa a+b=a+c.

2) Metodo del parallelogramma: trasportare parallelamente i due vettori così da avere origini greo code coincidenti; il risultante è la diagonale del parallelogramma.

Formule somma per mezzo delle componenti esempio 3i56; a+b=Si-2; art=(a,i a(agj byj)ayjaxi bxi) =a += + + b+ 4j2i= -b byjbyi= + le componenti del vettore risultante le componenti del vettore risultante sono: bxcx ax= + sono le componenti bycy ay= + dei singoli valori. Il vettore risultante ex,=i (ax by))(xi by)icyj a= + = ++ + =(ax+by) +(ayi aby) b il modulo del vettore risultante è zabcoso= + ++ angolo formato con l’asse delle x è aoctanya =(i,a)i coordinate polari: = (ax-b,)lay-by)= + b-zabcoso.

Sottrazione

Differenza di due vettori. Sottrazione si trasforma la sottrazione in somma del vettore opposto S Dx Y1x V2x= -b)) dba a == + -- By V2yVy= -DL V1z. Vaz=.ba (a,,)(0,-). Modulo b-2abcosOa= + = +.

Distanza tra 2 punti, dati: P2* il modulo della differenza è la P,1,42,13) Ye;xe, 2,32 distanza fra gli estremi P1 e P2. 3,132,35)V = yz) (y,-yz)d(P,42 la distanza x- - +.

Generalizzazione a 3 dimensioni: a ackaxi ayj= + + b bxi bzkbyj+= + somma (az(ay bz)kby);(ax bx)iba = ++ ++ + + sottrazione -by)i (ay by)j(ax (atb bt)ka =- - -+ + ax +aa ay= +.

Piano magico

Se ho due vettori A e B, li posso combinare in forma grafica ---- due vettori combinati individuano un piano, la cui superficie nBmA + è rappresentabile vettorialmente tramite il prodotto lineare combinazione vettoriale tra due vettori, il cui modulo è l’area della superficie vettori di questo piano appartiene qualsiasi combinazione lineare dei due vettori, per ogni m ed n.

Prodotto scalare e vettoriale

Prodotto a n b si legge “a vettor b”. a.b - prodotto scalare vale la proprietà commutativa, dà come risultato uno scalare. Non vale la proprietà prodotto vettoriale dà come risultato un vettore commutativa.

Scalare

a.b.COS(2) a u b rappresentazione assoluta ((= a azacos= (Al. 181 se due vettori sono quindi due vettori sono perpendicolari se perpendicolari, il prodotto è pari a il loro prodotto scalare è 0, perché il coseno è 0.

A rappresentazione grafica ~ B angolo ottuso angolo acuto prodotto negativo prodotto positivo. Visto che i versori degli assi sono a due a due perpendicolari, si ha che in componenti cartesiane i j.ii. cioè quando moltiplichiamo per 1 0 i se*.==- sé stesso è 1 sennò è 0 j.i 15.5 =-D 1K.5 = k.i k.kj.k 100 === per componenti axbx+ayoby tac.bzdob& axi+ay; tack ==b bxi /bxkbyj= ++.

Vettoriale

Proprietà Ax Da BXA anticommutativa BASinB A.B. =x -= Ax(B distributiva c) A AxB= ++ +. Il prodotto vettoriale è nullo se i vettori sono paralleli perché il seno è 1 0+ = - IS Klaxby-eybi):(ayb=(1,1yAz)e(B,By) abby) 5(axA ISe AXB 03bx)>= bb= - - +-ByA AyxBy in confezione forme e) by-agbglabrabel (a(agor.ag).

Il verso di un vettore si calcola con la regola della mano destra x1 se si pone il pollice della mano destra nel verso del vettore a e le altre dita nel verso di b, il vettore axb è uscente dal palmo della mano r.

Superprodotti

A*(BXC) = B*(CxA) = C*(AxB). Si risolve prima il prodotto vettoriale e poi lo si moltiplica scalarmente per a. A*(BxC) = Ax Ay Az Bx By Bz Cx Cy Cz I. Doppio prodotto vettoriale Ax (BXC) = B*(A*C)- C*(A*B).

Esempio: 2(i 3j)ma = + 53)4(y23j).2)3itj) e32(1a.b += == +2)3: j)mb +=&4 25% (2,0,253)(areofor). (253.25s(+ 2 +124 +O A.Bazcos == 2xjA 2i + x(zVz)(1y)i (Ax)(A1-(B) 4=B 2v3i 2y == + =B (253)(by)) (z)(Bx 4== = xO ==azcos o=i (5, -3,2)=B (3-4,0=* (5-3).

Prodotto (2.0)(- 2.) scalare = + +815 =12-X- - j((50).(23)] 4.[(8.4.73.3)]ijki(( (2-4)]A 3.0)B ++ --= -325 - -8,6,29)845 ei +2946;+ -- --N.

Prodotto i (5, vettoriale -3,2) (2.29)(S -) (0.6)= + +(8,6,29)c 58= 018-40 =+ perpendicolari - B -A 2- 15N16 -EAE *15N1660 B450 730 4519N B11 30" ON B11 DXC (11w.cos(10%[5N-coS60] qw] (16N.cos18S)Ay SN-II,O-9,7, anSNAIN IN+0 s,R B 21 =(x + == + += ++ +=+ +x [15.sin60]6y +0.22Nx/11N-sen210) 185by 2NRy 3,SinBy by ION 10-22N-9,cy N-11,5116N. == = =++ + +Rx 8,2NRy3,7N= = - o rangendwindinba veloce....eispetto aanti&= anaxs -> in orario senso.

Cinematica

La cinematica studia il moto dei corpi. Si interroga su dove si trova il sistema fisico e su cosa fa.

Il sistema fisico è quella parte, materiale di universo sulla quale concentriamo la nostra attenzione e ne studiamo il moto. Per capire dove si trova il sistema fisico si usa il vettore posizione -z (t) vettore posizione al tempo t. Per capire cosa fa il sistema fisico si usa il vettore velocità 2v (t) vettore velocità al tempo t.

Il moto del sistema di riferimento avviene nell’ambiente che può essere rappresentato con un sistema di riferimento, ad esempio gli assi cartesiani.

• In molti casi potremo considerare l’oggetto in moto come un punto materiale (PM), cioè come un punto privo di dimensioni perché di dimensioni trascurabili rispetto alle altre distanze coinvolte, trascurando moti vibrazionali e rotazionali.
• Moti traslazionali.

Posizione e velocità sono funzioni del tempo, ogni valore ha la sua componente lungo l’asse. Nello spazio 3D x(t) z (t) 3 leggi orarie scalari y(t) z(t) Vx (t) 3 leggi orarie scalari v (t) Vy(t) Vz(t).

Velocità media

È la variazione della posizione nel tempo. Nel discreto è il rapporto fra lo spostamento totale e l’intervallo di tempo durante il quale avviene lo spostamento. La rapidità media è il rapporto fra la distanza totale percorsa ed il tempo necessario a percorrerla. Essa è una grandezza scalare, essendo il modulo della velocità media*,4 Mivx = = it 7N.

Velocità istantanea

La velocità istantanea è la velocità di una particella in un certo istante di tempo. Essa è la pendenza della retta tangente alla curva posizione-tempo in un punto P.

Si opera usando i limiti. Il limite per che tende a 0, quindi riducendo tiAt y< 2 sempre di più il tempo, della velocità media: sdy vettore posizione, è in *dx=xlim=Vx anche possono scaveze At it)0 il vettore velocità t &t- istantanea è tangente alla traiettoria.

Essendo una derivata: essa può essere positiva, negativa, o nulla. a= dx se la velocità è costante l’accelerazione è nulla dt. Lo spostamento è la posizione finale - posizione iniziale. Lo spostamento è diverso dalla lunghezza del percorso.

Accelerazione media

L’accelerazione media di un oggetto in un intervallo di tempo è il rapporto tra la variazione della velocità e l’intervallo di tempo durante il quale avviene tale variazione. -* uxe weitempo = ax ty ti- I(sx, ·am= sese, ne essendo un vettore è costituito dalle sue componenti.

Accelerazione istantanea

L’accelerazione istantanea è il limite del rapporto 2to xd=dv=vlim=a XXAt sO dtdti 22ta1+tv+=(t) To D 2 deriviamola a(2t)1+v+=(t)d 2 D 2dt a+=dv(t) 1 0+dt da(dux,a(t)dv(t) dryk,a= = · dt bi.

Unità risultato: posizione, metro spostamento; velocità (m/s) metro al secondo; (km/h) chilometro all’ora + m/s 3,6 km/h = (m/s). Accelerazione metro al secondo quadro.

Moti spontanei

Questi sono moti spontanei ad accelerazione costante ai 2ta1+tv+=(t) 0 To polinomio di 2 grado in t, grandezza scalare. Condizione iniziale -7 r& polinomio di I grado in t ta+tv+=(t) -D-7 a++=(t)a equazione del moto.

Moto rettilineo uniforme

Il moto rettilineo uniforme ha l’accelerazione nulla e velocità costante v(t) = v. Velocità media = velocità istantanea = y(t)y 40-=t ↓ - to-7 22ta1+tv+=(t) To a= 0 I D *2I tv+=x(t) fornisce la posizione del punto materiale. Legge oraria 0 Vx è la proiezione del vettore sull’asse x Vx = XM in me11a.

Graficamente: O0 con questo tipo di rappresentazione ragioniamo per intervallo che vanno da 0 a 1. Quando parliamo di intervalli si usa che indica una variazione di tempo (v - v ) e si tratta del discreto B I i. Se vogliamo sapere istante per istante cosa sta accadendo si parla di infinitesimi e derivate.

Moto con accelerazione costante

Questo moto viene chiamato uniformemente accelerato. Denotiamo l’istante iniziale con t0=0 e l’istante finale con t; indichiamo con x0 e v0 la posizione e la velocità iniziale, e con x e v la posizione e la velocità al tempo t.

La velocità media è quindi espressa come: La velocità atvixY-i vo= +=. L’accelerazione: Posizione di un oggetto dopo un tempo t: Voa poiché v= - velocitolevt+xX= ·t v+vV=Sappiamo che: cresce con 0D andamento 2 costante (vzv)tx+r xox = = +(vo et)t-xo + vo ++x() latvotxx= + +.

Derivare un’equazione per la velocità è utile quando il tempo non è noto +2I(x) 1+++=d at"(t) +x= + -(x) + GzoficometeM0 0= + + ä20(1-2)Vvo 0 >-I I+ 20 I vo4 4 4S 2s= =0= m Dx Xo - ↳ -20 222↑.

Moto accelerato e decelerato

Moto decelerato settilines Moto-aX -- -0a*v = - a*v 0L0 0 - Vo quando l’accelerazione è 20 negativa, il corpo sta decelerando Moto accelera.