Esercizi svolti di Algebra lineare e geometria

Tutorato Algebra

Primo semestre a.a. 22/23

1° Tutorato

1. Si dica quali delle seguenti funzioni è iniettiva:

   • Identità: f : X → X, f(x) = x
   • Esponenziale: exp : R → R
   • Logaritmo naturale: log : R⁺ → R₀
   • Esponenziale: exp : C → C

2. Si dica quali delle seguenti funzioni è suriettiva:

   • f : R → R, f(x) = x + 1
   • f : R → R, f(x) = x²
   • f : R → R, f(x) = 2/x, iperbole equilatera riferita agli assi
   • Logaritmo naturale: log : R⁺ → R

3. Si dica quali delle seguenti funzioni è biunivoca:

   • f : R → R, f(x) = 2x + 1
   • f : R⁺ → R⁺, f(x) = √x
   • f : R⁻ → R⁺, f(x) = x²
   • f : R → R, f(x) = x²
   • f : R⁺ → R, f(x) = x²

4. Si trovi la parte reale e immaginaria dei seguenti numeri complessi, si rappresentino i numeri sul piano di Gauss:

   • z = −2 − 3i
   • z = (2 + i)²
   • z = i(4 + 5i)

5. Si definiscano: l’opposto, il complesso coniugato e l’inverso moltiplicativo dei seguenti numeri complessi:

   • z = (a, b)
   • z = (−1, −3)

6. Dati i seguenti numeri in forma algebrica, esprimerli in forma trigonometrica:

   • z = −1 + √3i
   • z = 2i
   • z = −8
   • z = 3/4 + 1/4 i

7. Dati i seguenti numeri in forma trigonometrica, esprimerli in forma algebrica:

   • z = 2(cos(π/4) + i sin(π/4))
   • z = cos(23π) + i sin(23π)
   • z = 24(cos(0) + i sin(0))
   • z = √3(cos(34π/2) + i sin(34π/2))

8. Dati i seguenti numeri in forma algebrica, esprimerli in forma esponenziale:

   • z = √3 − i
   • z = 12
   • z = −√2i
   • z = 1/2 − √3/2 i

9. Calcolare:

   • √3 − 5
   • ⁿ√(a + ib)

Soluzioni 1° Tutorato

1. • Sì, anche suriettiva.
   • Sì.
   • Sì.
   • No, exp(iθ + 2kπ) = exp(iθ), k ∈ N.
2. • Sì.
   • No, alcuni elementi del codominio non sono raggiungibili da nessun elemento del dominio.
   • No, per y = 0 non esiste alcun valore di x.
   • Sì.
3. • Sì.
   • Sì.
   • Sì.
   • No, non è suriettiva: y < 0 non è immagine di alcun x.
   • No, non è iniettiva: y = 4 è immagine di x = ±2.

4. Sul piano di Gauss il numero complesso è il punto del piano di coordinate: P = (Re(z), Im(z)).

   • Re(z) = −2, Im(z) = −3
   • Re(z) = 3, Im(z) = 4
   • Re(z) = −5, Im(z) = 4

5. Opposto: −z = −a − bi, complesso coniugato: z̄ = a − bi, inverso moltiplicativo: z⁻¹ = a/(a² + b²) − b/(a² + b²) i.

   • −z = 1 + 3i, z̄ = −1 + 3i, z⁻¹ = −1/10 + 3/10 i.
6. • z = 2(cos(2π/3) + i sin(2π/3))
   • z = 2(cos(π/2) + i sin(π/2))
   • z = 8(cos(π) + i sin(π))
   • z = 1/2(cos(π/6) + i sin(π/6))
7. • z = √2 + i√2
   • z = −1 + i0
   • z = 24
   • z = −√6/2 + i√6/2
8. • z = 2e^11πi/6
   • z = 12e⁰ⁱ
   • z = √2e^3πi/2
   • z = e^5πi/3
9. • 5e^{i(π/3 + k2π/3)}
   • √(a² + b²) e^{i(arctan(b/a)/2n + k2π/n)}

2° Tutorato

1. Verificare che il seguente insieme è un sottospazio vettoriale di R³:

   V = { (x₁, x₂, x₃) ∈ R³ | x₁ + 2x₂ = 6x₁ + x₃ = 0 }

2. Verificare che il seguente insieme è un sottospazio vettoriale di R³:

   V = { (x₁, x₂, x₃) ∈ R³ | x₁ + 2x₂ = x₂ + 3x₃ = 0 }

3. Verificare che il seguente insieme non è un sottospazio vettoriale di R³:

   V = { (x₁, x₂, x₃) ∈ R³ | x₁ + 2x₃ = 0 ∧ x₂ + x₃ = 1 }

4. Sia V lo spazio delle matrici reali di ordine 3 (Mat_3x3(R)), invece sia W l’insieme delle matrici reali di ordine 3 diagonali, gli elementi non diagonali sono tutti zeri. È vero che W ⊂ V? Verificare che W è un sottospazio vettoriale di V.

5. Sia V lo spazio delle matrici reali di ordine 3 (Mat_3x3(R)), invece sia W l’insieme delle matrici reali di ordine 3 diagonali, gli elementi non diagonali sono tutti zeri, la cui somma degli elementi diagonali è pari a 1, questa quantità è chiamata anche traccia. È vero che W ⊂ V? Verificare se W è un sottospazio vettoriale di V.

6. È vero che l’insieme dei polinomi di grado minore o uguale a 2 è un sottospazio vettoriale di R[x]?

7. È vero che l’insieme dei polinomi di grado uguale a 2 è un sottospazio vettoriale di R[x], polinomi a coefficienti reali?

Soluzioni 2° Tutorato

1. Si deve verificare che l’insieme sia chiuso rispetto alla somma tra vettori e il prodotto fra scalare e vettore.

2. Come il precedente.

3. Come il precedente, si può verificare che non è chiuso per somma o prodotto per scalare, la seconda proprietà non rimane vera quando si sommano i vettori o si moltiplicano per uno scalare.

4. Vero. Come il precedente.

5. Vero. Non è sottospazio, si può dimostrare che non è chiuso per somma come l’esercizio 3.

6. È vero, sono proprietà dei polinomi.

7. Non è vero: p₁(x) = x² + 2x + 1, p₂(x) = −x² + 2x + 1 → p₃(x) = p₁(x) + p₂(x) = 4x + 2 ∉ R[x]₂.

3° Tutorato

1. Scrivere un vettore w linearmente dipendente dal vettore (1, 0, 0) ∈ R³.

2. Stabilire se i vettori v₁ = (0, 2, 0, 1) e v₂ = (1, 1, 1, 0) sono linearmente indipendenti.

3. Stabilire se i vettori v₁ = (−2, 1, 1, 3) e v₂ = (0, −1, 2, 1) sono linearmente indipendenti.

4. Studiare la dipendenza o indipendenza lineare dei seguenti vettori di R³:

   (1, 2, −3), (4, −13, 9), (1, 0, 0).

   Se risultano linearmente dipendenti esprimere, quando possibile, ciascun vettore come combinazione lineare degli altri due.

5. Trovare una base del seguente sottospazio vettoriale di R³:

   V = { (x₁, x₂, x₃) ∈ R³ | x₁ + 2x₂ = 6x₁ + x₃ }

6. Trovare una base del seguente sottospazio vettoriale di R³:

   V = { (x₁, x₂, x₃) ∈ R³ | x₁ + 2x₂ = x₂ + 3x₃ = 0 }

7. Sia V lo spazio delle matrici reali di ordine 3 (Mat_3x3(R)), invece sia W l’insieme delle matrici reali di ordine 3 diagonali, gli elementi non diagonali sono tutti zeri. Trovare una base di W.

8. Sia V l’insieme dei polinomi di grado minore o uguale a 2, sottospazio vettoriale di R[x]. Trovare una base di V.

9. Sia U il sottospazio di R⁴ generato dai vettori u₁ = (0, 2, 0, 1) e u₂ = (1, 1, 1, 0) e sia V il sottospazio di R⁴ generato dai vettori v₁ = (0, 2, −1, 1) e v₂ = (2, 0, 0, 1).

   • Si determini una base di U ∩ V.
   • Si determini una base di U + V.

Soluzioni 3° Tutorato

1. w = α(1, 0, 0), α ∈ R.

2. Lin. indip.

3. Lin. indip.

4. Lin. dip.

5. V = < (1, 2, −6) >

6. V = < (−2, 1, −3) >

7. W = < ((1,0,0),(0,0,0),(0,0,0)), ((0,0,0),(0,1,0),(0,0,0)), ((0,0,0),(0,0,0),(0,0,1)) >

8. W = < 1, x, x² >

9. U ∩ V = < (0, 2, 0, 1) >.

   U + V = < (0, 2, 0, 1), (1, 1, 1, 0), (2, 0, −1, 1) >

4° Tutorato

1. Si considerino i due sottospazi di R³:

   V = < (1, 2, −1), (0, 1, 0) >, W = { (x, y, z) ∈ R³ | x + z = 0 }

   • Calcolare V ∩ W.
   • Calcolare dim W, dim V e dim V ∩ W.
   • Calcolare dim(V + W).

2. Siano dati i seguenti sottospazi di R³:

   V = { (x, y, z) ∈ R³ | x + 3y = 0 }, W = { (x, y, z) ∈ R³ | 2x + y − z = 0 }

   Determinare:

   • Dimensione e base di V e W.
   • Il sottospazio V + W e una sua base.
   • Il sottospazio V ∩ W e una sua base.
   • La somma V + W è diretta?
   • A quale dei precedenti sottospazi appartiene il vettore: u = (4, 1, 0).

3. Determinare due sottospazi di R⁴ U e W tali che R⁴ = U ⊕ W.

4. Si consideri U = < (−2, 1, −2, 1), (0, 3, k, 1) > e il vettore v = (k − 1, 3, 1, 1), si dica per quale valore di k si ha v ∈ U.

   Sia V = { x ∈ R⁴ | x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 0, x₁ + x₂ − 2x₄ = 0 }, si determini una base di V e una base di U ∩ V.

5. Si consideri U, sottospazio vettoriale di R⁴, generato dai vettori:

   (1, 1, −1, −1), (4, 2, 1, −3), (2, 0, 2, 0)

   • Dimensione e base di U.
   • Completare la base di U a una base di R⁴.

Soluzioni 4° Tutorato

1. V ∩ W = V, dim(V) = 2, dim(V ∩ W) = 2, dim(V + W) = 2.

2. V = < (−3, 1, 0), (0, 0, 1) >, W = < (1, 0, 2), (0, 1, 1) >, entrambi dim = 2.

   V + W = R³, V ∩ W = < (−3, 1, −5) >.

   Dim(V ∩ W) = 1 → la somma V + W non è diretta.

   u ∈ V + W.

3. Infinite soluzioni, per esempio: U = < e₁, e₂ >, W = < e₃, e₄ >, dove e_i è l’i-esimo vettore della base canonica di R⁴.

4. k = −2.

   V = < (−1, 2, −3, 1), (0, 1, 0, 0) >, dim = 2.

   (α = 0 ∨ β = 0), αu₁ + βu₂ ∉ V → U ∩ V = {0}, dim = 0.

5. U = < (2, 1, 1, −1), (0, 1, 2, 0) >, dim = 2, si può completare a R⁴ con e₁, e₂ per esempio, è sufficiente trovare altri 2 vettori lin. indip. tra di loro e rispetto ai vettori della base di U.

5° Tutorato

1. Si considerino le seguenti funzioni lineari:

   f₁ : R² → R³, (x₁, x₂) → (x₁ + x₂, 3x₁, 2x₂).

   f₂ : R³ → R², (x₁, x₂, x₃) → (x₁ + x₃, 3x₁ + 4x₂ + 1).

   f₃ : R³ → R², (x₁, x₂, x₃) → (x₁², x₂ + x₁x₃).

   f₄ : R³ → R³, (x₁, x₂, x₃) → (x₁, x₂, x₃).

   f₅ : R³ → R³, (x₁, x₂, x₃) → (x₁ + x₂, x₂ + x₃, x₃ + x₁).

   • Verificare se sono lineari o meno.
   • Determinare le immagini delle funzioni, tutte.
   • Stabilire se le funzioni che risultino essere lineari sono iniettive e/o suriettive.

2. Considerare S = < (2, 0, 0, −2), (−1, 1, 2, 1) >; ricavare le equazioni cartesiane di S.

3. Nello spazio vettoriale R⁴ sia U il sottospazio generato dal vettore u = (12, −2, 3, 3)^T e sia W il sottospazio di equazione x₁ − 2x₂ + 3x₃ − 4x₄ = 0.

   • Si dimostri che U ⊂ W e si completi la base di U ad una base di W.
   • Sia V il sottospazio di R⁴ generato dai vettori v₁ = (1, 2, 3, 0)^T e v₂ = (2, 3, 4, −1)^T. Si determini una base di V ∩ W e una base di V + W.
   • Dato il vettore v_t = (t, 0, 1, 2)^T, si determini il valore di t per cui i vettori v₁, v₂, v_t sono linearmente dipendenti.

Soluzioni 5° Tutorato

1. • f₁: sì, f₂: no, f₃: no, f₄: sì, f₅: sì.
   • Im(f₁) = < (1, 3, 0), (1, 0, 2) >.
   • Im(f₂) = R².
   • Im(f₃) = { (x₁, x₂) ∈ R² | x₁ ≥ 0 }.
   • Im(f₄) = R³.
   • Im(f₅) = R³.
   • f₁: iniettiva, f₄: biettiva, cioè suriettiva e iniettiva, f₅: biettiva.

2. S = { (x, y, z, w) ∈ R⁴ | x + 2y + z = 0 ∧ y + 2z + 2w = 0 }

3. • u rispetta l’equazione di W e di conseguenza anche tutti i vettori αu, α ∈ R, la rispettano. Inoltre esistono vettori in W che non appartengono a U.
   • W = < (−3, 2, 1, 0), (4, 0, 0, 1), (1, 0, 0, 0) > = < w₁, w₂, w₃ >.
   • Si può prendere una qualsiasi coppia di vettori dalla base di W e completare u a base di W, e.g. W = < u, w₁, w₂ >.
   • V = { −2x − y − 2w = 0, −3x − z − 2w = 0 }.
   • Mettendo a sistema le equazioni di W e V si ottiene V ∩ W = < (1, 1, 5, 6) >.
   • v₂ si può ottenere come comb. lin. di {w₁, w₂, w₃}, si ottiene risolvendo v₂ = βw₁ + γw₂ + δw₃, v₁ invece no, lo stesso sistema è impossibile, quindi v₁, w₁, w₂, w₃ sono linearmente indipendenti e formano una base di V + W, e avendo dim = 4, W + V = R⁴.
   • Si risolve trovando le soluzioni di αv₁ + βv₂ + γv_t = 0 → α = −(4 + t)γ, α = −3γ, β = 2γ. Per t = 4 lin. indip., altrimenti dipendenti.

6° Tutorato

1. Siano V e W due spazi vettoriali, siano {v₁, v₂, v₃, v₄} e {w₁, w₂, w₃} le rispettive basi, indichiamo con f : V → W un’applicazione lineare tale che:

   f(v₁) = w₁ − w₃

   f(v₂) = w₁ + w₂

   f(v₃) = 2w₂ + w₃

   f(v₄) = 4w₁ + 2w₂ − 2w₃

   • Si scriva la matrice di f rispetto alle basi date.
   • Si determini Im(f) e dim(Ker(f)).
   • Determinare f⁻¹(w₁ + w₃).

2. Sia:

   f : R⁴ → R⁴

   (x, y, z, t) → (−x + z, x − y + t, −x − y, −x − t)

   • Si scriva la matrice di f rispetto alla base canonica.