Esercizi sui numeri complessi

Esercizio n 1

z⁴ - 4z² + 8 = t² - 4t + 8 = 0

t_1,2 = (4 ± sqrt(16 - 4(1)(8))) / 2 => (4 ± sqrt(-16)) / 2 => 2 ± 2i

Quando => z² = 2 + 2i => z = sqrt(2 + 2i)

r = sqrt(4 + 4) = sqrt(8)

tg alpha = 1 => alpha = pi/4

z₁ = 4sqrt(8) [cos(pi/8) + i sen(pi/8)] = 4sqrt(8)e^{i pi/8}

z₂ = 4sqrt(8) [cos((pi/4 + 2pi)/2) + i sen((pi/4 + 2pi)/2)] => sqrt(8) [cos(9pi/8) + i sen(9pi/8)] = sqrt(8)e^{i 9pi/8}

Quando z² = 2 - 2i

z = sqrt(2 - 2i) r = sqrt(8)

tg theta = -1 => theta = -pi/4

z₁ = 4sqrt(8) [cos(-pi/8) + i sen(-pi/8)] = 4sqrt(8)e^{-i pi/8}

z₂ = 4sqrt(8)e^{-i 9pi/8}

Esercizio n 1

z⁴ - 4z² + 8 = + t² - 4t + 8 = 0

t_1,2 = (4 ± sqrt(16 - 4(1)(8))) / 2 => (4 ± sqrt(-16)) / 2 => 2 ± 2i

Quando => z² = 2 + 2i => z = sqrt(2 + 2i)

r = sqrt(4 + 4) = sqrt(8)

tg alpha = 1 => alpha = pi / 4

r^1/2 [cos((theta + 2kpi) / n) + isen((theta + 2kpi) / n)]

z₁ = ⁴sqrt(8) [cos pi/8 + i sen pi/8] = ⁴sqrt(8) e^{i pi/8}

z₂ = ⁴sqrt(8) [cos((pi/4 + 2pi) / 2) + i sen((pi/4 + 2pi) / 2)] => ⁴sqrt(8) [cos 9pi/8 + i sen 9pi/8] = sqrt(8) e^{i 9pi/8}

Quando z² = 2 - 2i

z = sqrt(2 - 2i) r = sqrt(8)

tg theta = -1 => theta = -pi/4

z₁ = ⁴sqrt(8) [cos(-pi/8) + i sen(-pi/8)] = ⁴sqrt(8) e^{-i pi/8}

z₂ = ⁴sqrt(8) e^{-i 9pi/8}

Esercizi 2

Re [z̄(z+i)] ≤ 2

Im(z) ≥ 0 → b ≥ 0

Sviluppiamo la prima

z̄ (a + i(b + 1))

(a - ib)(a + ib + i)= a² + ai + b² + b

=> a² + b² + b - 2 ≤ 0

b ≥ 0

La prima è come se fosse x² + y² + ax + by + c = 0 circonf.

C(-a/2, -b/2) = (0, -1/2)

r = √((a/2)² + (b/2)² - c) = √(1/4 + 2) = 3/2

Soluzione è una fozz. colorato

Esercizio 3

3z + Re(z) z̄ - 3i = 0

3a + 3ib + a(a - ib) - 3i = 0

3a + 3ib + a² - ai b - 3i = 0

3a + a² + i(3b - ab - 3) = 0

3a + a² = 0

3b - ab - 3 = 0

=> { a = 0, b = 1 } v { a = 3, b = 1/2 }

z = i

Mi chiede di calcolare le radici di i

r = 1

t = pi/2

z₂ = -3 + 1/2 i

Quando k = 0 -> e^{i pi/2}

k = 1 -> e^{5 pi/2 i}

k = 2 -> e^{9 pi/2 i}

k = 3 -> e^{13 pi/2 i}

Esercizio 4

e^pi/2 = 4i

e^(a-ib)/2 = 4e^{pi/2 i}

e^a/2 / e^{i b/2} = 4e^{pi/2 i}

e^a/2 · e^{-i b/2} = 4e^{pi/2 i}

{ e^a/2 = 4  -b/2 = pi/2 + 2kpi }

{ ln e^a/2 = ln 4  b = -pi - 4kpi }

a = 2 ln 4

b = -pi + 4kpi

2 ln 2 - (pi - 4k pi)i

Soluzioni

Esercizio 5

e^Re(z2) > e^-|z|2 · |wz|

e^a2-b2 > be^-a2-b2

e^a2-b2 / e^-a2-b2 > b   =>   e^a2-b2 · e^a2+b2 > b

=> e^2a2 > b

-|z|² = -(v a²+b²)²,ab

Esercizio 1o Tutoraggio class.

|z³| = zi = e^{i pi/2}

z³ = rho³ e^{i 3θ}

zbar = rho e^-iθ

rho³ e^{i(pi/2 + 3θ)} = rho e^-iθ

p = 0, p = 1

θ: k pi/2 - pi/8    con k = 0 -> -pi/8

k = 1 -> 3pi/8

k = 2 = 7pi/8

k = 3 = 11pi/8

Con rho = 0 => z = 0

rho = 1 => z₂ = e^{i pi/8}    z₄ = e^{i 9pi/8}

z₃ = e^{i 3pi/8}    z₅ = e^{i 11pi/8}