Esercizi sui numeri complessi

Esercizio n^o 1

z²=t

z⁴-4z²+8=0

t²-4t+8=0

_t12=^{4±√16-4(1)(8)}/₂ ⇒ ^4±√-16/₂ ⇒ 2±2i

quando

⇒ z² = 2 + 2i ⇒ z= √ 2 + 2i

^√-16 = 4i

m_k= √(√4 ± 4) ⇒ √8

tgα=1 ⇒ α= ^π/₄

z₁ = ⁴√8 [cos^π/₈ + i sen^π/₈] = √8 e^iπ/8

z₂ = ⁴√8 [cos(^π/4+2kπ/_n) + i sen(^π/2+2kπ/_n)] ⇒ √8 [cos(^π/₈) + i sen^3π/₈] = √8 e^i3π/8

quando

z² = 2 - 2i

z = √2 - 2i     r = √8

tgθ = -1 ⇒ θ = - ^π/₄

z₁ = ⁴√8 [cos(-^π/₈) + i sen(-^π/₈)] = √8 e^-iπ/8

z₂ = ⁴√8 e^-i3π/8

Esercizio n^o 1

z²= t

z⁴ - 4z² + 8 = 0

t² - 4t + 8 = 0

t_{1, 2} = ^{4 ± √16 - 4(1)(8)} ⁄ ₂ ⇒ ^{4 ± i√-16} ⁄ ₂ ⇒ 2 ± 2i

quando z² = 2 + 2i ⇒ z = √ 2 + 2i

√-16 = 4i

r_n = √(4 + 4) = √8

tg α = 1 ⇒ α = ^π ⁄ ₄

z₁ = √⁴8 [ cos ^π ⁄ ₈ + i sen ^π ⁄ ₈ ] = √8 e^{i π}⁄₈

z₂ = √⁴8 [ cos (^π ⁄ ₄ + 2π) ⁄ ₂ + i sen (^π ⁄ ₄ + 2π) ⁄ ₂ ] ⇒ √8 [ cos ^π ⁄ ₈ + i sen ^3π ⁄ ₈ ] = √8 e^3iπ⁄₈

quando z² = 2 - 2i

z = √(2 - 2i)

r = √8

tg θ = -1 ⇒ θ = -^π ⁄ ₄

z₁ = √⁴8 [ cos (-^π ⁄ ₈) + i sen (-^π ⁄ ₈) ] = √8 e^{-i π}⁄₈

z₂ = √⁴8 e^{-i π}⁄_{8 π}

Esercizio 2

• Re _z̅(z+i) ≤ 2
• Im(z) ≥ 0 -> b ≥ 0

svolgiamo la prima

z̅ (a+i(b+1)) (a-ib) (a+i b+i) = a² +ai - ib = a² + ai + b² + b

(a² + b² + b - 2 ≤ 0

• b ≥ 0

Se

Se prima è come fosse

ca=primo, equevale se fosse cerchio! C _{(a/2, - b/2)}= (0, -1/2)

r= √ _{(a/2)² + (b/2)² - c}= √ _{1/4 + 2} = 3/2

Soluzione è una porz. colorata

Esercizio 3

3z + Re (z). z̅ - 3i = 0 3a + 3ib + a (a-ib) - 3i = 0 3a + 3ib + a² - aib - 3i = 0 3a + a² + i(3b - ab - 3) = 0

• 3a + a² = 0
• 3b - ab - 3 = 0

⇒ { a = 0 b = 1 | a = 3 b = _{Δ 2}

z = i

z _q = -3 + 1i ₂

mi chiede di calcolare le radici 4^{  i

r = 1 γ = _{π 2}

quando

• K = 0   → e   ^{_{i π 8}}
• K = 1   → e   ^{_{3i π {8}}}
• K = 2   → e   ^{_{5i π 8}}
• K = 3   → e   ^{_{7i π {8}}}

Esercizio 4

4i = 2e   _{^{i π 2} e a 2} = _{4i e} a - ib = 4e   _{^{π 2} e a 2} = 4e   ^{_{i π 2}}

e   ^_a . e   ^{_{- ib2}} = 4e   ^{_{π 2}}

{   ^_a2 = 4 → _{- b2} = ^{π + 2Kπ}

• { ln e   ^_a2 = ln4
• a = 2ln4 b = -π - 4Kπ

2ln2 - ( π - 4Kπ) i

infinite soluzioni

Esercizio 5

e^Re(z2) > e^|z|2

e^a2−b2be^−a2−b2

-1|z|² = -(a²+b²)²

e^a2−b2 > b > e^a2−b2, e^a2+b2 > b

> e^2a2 > b

Esercizio 1^o Tiopro^oggo Clasc

|z³| = z

i = e^iπ/2

z³ = ρ e^3iϑ

z = ρ e^{j(π/2 + 3ϑ)} = ρ e^−iϑ

ρ³ = ρ

π/2 + 3ϑ = −ϑ + 2Kπ

• ρ = 0
• ρ = 1

ϑ: Kπ/2 − π/8

Con ρ = 0 > z = 0

ρ = 1 > z =

z₂ = e^iπ/8

z₃ = e^i3π/8

z₄ = e^i9π/8

z₅ = e^i11π/8

• k = 0 → π/8
• k = 1 → 3π/8
• k = 2 → 7π/8
• k = 3 → 11π/8