Esercizi di preparazione Fondamenti di algebra lineare e geometria

Revisionato il 22/09/2026

di Abe12489

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Vari esercizi per imparare le basi per svolgere gli esercizi di Fondamenti di algebra lineare e geometria, gli esercizi vertono su una buona parte degli argomenti che vengono svolti a lezione. …

Esame Fondamenti di algebra lineare e geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Fiorot Luisa

Università Università degli Studi di Padova

A.A. 2024-2025

60 pagine

Appunti esame

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Estratto del documento

Esercizi su FALG applicazioni lineari (esercizio 5)

f: IR⁴ -> IR³

Im f = IR³ Ker f = IR⁴

f(x, y, z, t) = (x + t, 2 - y + 2t, x + y - z - t)

A_{EIR⁴, EIR³}, f = (1 0 0 1) (0 -1 1 2) (1 1 -1 -1)

Calcoliamo ker f ponendo A = 0

ker f = (1 0 0 1 | 0)(0 -1 1 2 | 0)(1 1 -1 -1 | 0) -> riga nulla con Gauss.

(1 0 0 1 | 0)(0 -1 1 2 | 0)(0 0 0 0 | 0) => { x + t = 0 -y + z + 2t = 0

{ x = -t y = z + 2t

(x)(y)(z)(t) = (-t, z + 2t, z, t) = -t(-1, 2, 0, 1) + z(0, 1, 1, 0)

Esercizi su FALG applicazioni lineari (esercizio 5)

f: IR⁴ -> IR³

Im f = IR³ Ker f = IR⁴

f(x, y, z, t) = (x + t, 2 - y + 2t, x + y - z - t)

A_{IR⁴, IR³}, f = (1 0 0 1) (0 -1 1 2) (1 1 -1 -1)

Calcoliamo Ker f ponendo A = 0

Ker f = (1 0 0 1 | 0) (0 -1 1 2 | 0) (1 1 -1 -1 | 0) -> ora ridotta con Gauss.

(1 0 0 1 | 0) (0 -1 1 2 | 0) (0 0 0 0 | 0) => { x + t = 0 -y + z + 2t = 0

{ x = -t y = z + 2t

(x, y, z, t) = (-t, z + 2t, z, t) = -t(-1, 2, 0, 1) + z(0, 1, 1, 0)

La base di Ker f è:

B_{ker f} = { (-1/2/0/1), (0/1/1/0) } dim B_{ker f} = 2

Per la formula delle dimensioni si ottiene

dim IR⁴ = dim Im f + dim ker f

4 = x + 2 x = 2

La dimensione dell'immagine è dim Im = 2

Prendo 2 vettori colonna lin. indi da A

B_{Im f} = { (1/0/1), (0/-1/1) } dim Im f = 2 != dim IR³

=> f non è suriettiva.

Per completare a una base di IR³ aggiungo (1/0/0) alla Base dell'Immagine.

Esercizio 9

Punto d

d) p: R⁴ -> R³ p( x / y / z / t ) = ( x + t / y - 2x + z / x - y )

Calcolare anche p^-1( x₁ / x₂ / x₃ ) (punto 2)

A_{EIR⁴, EIR³} = ( 1 0 0 1 / -2 1 1 0 / 1 -1 0 0 ) -> ( 1 0 0 1 | 0 / -2 1 1 0 | 0 / 1 -1 0 0 | 0 )

-> Riduzione della matrice con Gauss:

( 1 0 0 1 | 0 / 0 1 1 2 | 0 / 0 0 1 1 | 0 ) -> { x + t = 0 / y + z + 2t = 0 / z + t = 0

{ x = -t y = -z - 2t z = -t

{ x = -t y = t - 2t

{ x = -t y = -t z = -t

( -t / -t / -t / t ) = -t ( 1 / 1 / 1 / -1 )

B_{ker p} = { ( 1 / 1 / 1 / -1 ) }

dim B_{ker p} = 1

Punto 2

Punto 2) calcolare p^-1(x₁, x₂, x₃)

S_Alb = (1 0 0 1; -2 1 1 0; 1 -1 0 0)(x₁, x₂, x₃) -> mi riduce con Gauss

(1 0 0 1 | x₁0 1 1 2 | x₂ + 2x₁0 0 1 1 | x₃ + x₁ + x₂)

{ x + t = x₁ y + z + 2t = x₂ + 2x₁ z + t = x₃ + x₁ + x₂ }

Dato che siamo in IR³ t = 0

{ x = x₁ y = x₂ + 2x₁ - (x₃ + x₁ + x₂) z = x₃ + x₁ + x₂ }

p^-1(x₁, x₂, x₃) = (x₁, x₁ - x₃, x₁ + x₂ + x₃, t = 0) + <(1, 1, 1, -1)>

Esercizio 6

f : IR³ -> IR³

(x, y, z) = (x + y, z - x, y + z)

Determinare ker f, Im f e completare le lenc basi a IR³ se necessario

A = (1 1 0)(-1 0 1)(0 1 1)

calcolo il ker di f

A = (1 1 0 | 0)(-1 0 1 | 0)(0 1 1 | 0) - riduzione con Gauss.

(1 1 0 | 0)(0 1 1 | 0)(0 1 0 | 0) -> (1 1 0 | 0)(0 1 1 | 0)(0 0 -1 | 0)

{ x + y = 0 y + z = 0 -z = 0

{ x = -y z = -y z = 0

(-y, y, -y) = -y (1, -1, 1)

ker f = ker f non è base di IR³ aggiungo i vettori: (100), (110)

Per la formula delle dimensioni

dim IR³ = dim ker f + dim Im f

3 = 1 + x x = 2

dim Im f = 2

Im f = <(1-10), (101)> la posso completare aggiungendo (100).

Esercizio 7

f: IR² -> IR⁴ f(xy) = (x - 2yxx + yx)

A(1 -21 01 11 c) -> calcolo il ker f

A = (1 -2 | 0)(1 0 | 0)(1 1 | 0)(1 0 | 0) -> la riduco con Gauss

(1 -2 | 0) (1 -2 | 0)(1 1 | 0) -> (1 1 | 0)(1 0 | a) (1 0 | 0)(1 0 | a) (0 0 | 0)(1 0 | 0)(0 2 | 0)(0 0 | 0)(0 0 | 0)

x = c x = c 2y = c y = c

Ker p = {(0)(0)}

le posso completare con qualsiasi retta di R² Es: e₁, e₂

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