Esercizi di preparazione Fondamenti di algebra lineare e geometria

Revisionato il 10/09/2026

di Abe12489

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Vari esercizi per imparare le basi per svolgere gli esercizi di Fondamenti di algebra lineare e geometria, gli esercizi vertono su una buona parte degli argomenti che vengono svolti a lezione. …

Esame Fondamenti di algebra lineare e geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Fiorot Luisa

Università Università degli Studi di Padova

A.A. 2024-2025

60 pagine

Appunti esame

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Esercizi su FALG

Applicazioni Lineari (Esercizio 5)

ρ:ℝ⁴→ℝ³

Im ρ=ℝ³ Ker ρ=ℝ⁴

ρ ^x_y^z_t ⁼ ^x+t _z-y+zt ^x+y-z-t

^A _{ℬℝ⁴;ℬℝ³,ρ} ⁽ ^{1 0 0 1} _{0 -1 1 2} ^{1 1 -1 -1} ⁾

Calcoliamo Ker ρ ponendo A=0

Ker ρ= ⁽ ^{1 0 0 1} _{0 -1 1 2} ^{1 1 -1 -1} ⁾ ⁽ ⁰ ₀ ⁰ ⁾ ^→ ^{va ridotta con Gauss.}

⁽ ^{1 0 0 1} _{0 -1 1 2} ^{0 0 0} ⁾ ⁽ ⁰ ₀ ⁰ ⁾ ^→ ^{ ^x+t=0 _-y+z+2t=0

^{ ^x=-t _y=z+2t

ρ= ⁽ ^x _y ^z _t ⁾ ₌ ⁽ ^-t _z+2t ^z _t ⁾ ₌ ⁽ ^-1 ₂ ⁰ ₁ ^).t ₊ ⁽ ⁰ ₁ ¹ ₀

Esercizi Su FALG

Applicazioni Lineari (Esercizio 5)

ρ: ℝ⁴ → ℝ³

Im ρ = ℝ³ Ker ρ = ℝ⁴

ρ ^(x)_(y)_(z)_(t)=^{(x + t)}_{(z - y + zt)}_{(x + y - z - t)}

A_ℝ⁴, ℰ_ℝ³,ρ=^{(1 0 0 1)}_{(0 -1 1 2)}_{(1 1 -1 -1)}

Calcoliamo Ker ρ ponendo A = 0

Ker ρ =^{(1 0 0 1)}_{(0 -1 1 2)}_{(1 1 -1 -1)}⁽⁰⁾₍₀₎₍₀₎- Va ridotta con Gauss

^{(1 0 0 1)}_{(0 -1 1 2)}_{(0 0 0 0)}⁽⁰⁾₍₀₎₍₀₎⇒{x + t = 0 -y + z + zt = 0}

{x = -t y = z + zt}^(x)_(y)_(z)_(t)=^(-t)_{(z + zt)}_(z)_(t)= -t^(-1)₍₀₎₍₀₎₍₁₎+ z ⁽⁰⁾₍₁₎₍₁₎₍₀₎

La Base di Ker ρ è:

B_{Ker ρ} = { ^(-1)⁄₍₂₎, ⁽⁰⁾⁄₍₁₎ } dim B_{Ker ρ} = 2

Per la formula delle dimensioni si ottiene

dim ℝ⁴ = dim Im ρ + dim Ker ρ

4 = x + 2 x=2

La dimensione dell’immagine è: dim Im ρ = 2

Prendo 2 vettori colonna lin. indi da A

B_{Im ρ} = { ⁽¹⁾⁄₍₀₎, ^(-1)⁄₍₁₎ } dim Im ρ = 2 ≠ dim ℝ³

⇒ ρ non è suriettiva.

Per completare a una base di ℝ³ aggiungo

⁽¹⁾⁄₍₀₎

alla Base dell’Immagine.

Esercizio 9

c1) ϕ: ℝ⁴ → ℝ³ ϕ \(\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ t \end{pmatrix}\) = \(\begin{pmatrix} x + t \\ y - 2x + z \\ x - y \end{pmatrix}\)

Calcolare anche ϕ^-1 \(\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}\) (Punto z)

A_ℝ⁴,ℝ³ = \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)

→ \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)

→ Riduzione della matrice con Gauss:

\(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 | 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 | 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 | 0 \end{pmatrix}\)

→ \(\begin{cases} x + t = 0 \\ y + z + 2t = 0 \\ z + t = 0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x = -t \\ y = - z - 2t \\ z = -t \end{cases}\)

\(\begin{cases} x = -t \\ y = t - 2t \\ \end{cases}\)

\(\begin{c

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