Esercitazione appunti presi in presenza di Matematica generale

ESERCITAZIONE

SEGNO DI UNA FUNZIONE

f(x) = ln(2x) / x³

D: x > 0 -> (0,+infty)

SEGNO

ln(2x) / x³ > 0

N: ln(2x) = 0

ln(2x) = ln 1

2x = 1

x > 1/2

D: x³ > 0

x > 0

N

D

f(x) < 0 per x in (0,1/2)

f(x) > 0 per x in (1/2,+infty)

2) f(x) = e^5x2-1 · (x - x²)

D: forall x in R

SEGNO:

f(x) > 0

e^5x2-1 (x - x²) > 0

f₁ f₂

e^5x2-1 > 0

forall x in R

x^2 - x < 0 F.B.

x - x^2 < 0

x(1 - x) < 0

x = 0

1 - x = 0

x = 1

0 < x < 1

f(x) > 0 x e (0,1)

f(x) < 0 x e (-infty,0) U (1,+infty)

FUNZIONE COMPOSTA

f: A -> B

g: B -> C

g o f: A -> C

LA COMPOSIZIONE DI FUNZIONI NON E COMMUTATIVA

fof != gof

ESERCIZI

1) Date f(x) = ln(x) e g(x) = sqrt(x)

TROVA fog e gof con i rispettivi domini

(fof)(x) = f(g(x))

ln(sqrt(x))

D: { sqrt(x) > 0

x > 0

x > 0D: x > 0

(gof)(x) = g(f(x)) = sqrt(ln(x))

D: { ln(x) >= 0

ln(x) >= ln(1)

x >= 1

2) Date f(x) = e^x+1 e g(x) = ln(x)

TROVA f o g e g o f con i rispettivi domini

(f o g)(x) = f(g(x)) = e^ln(x+1)

(g o f)(x) = g(f(x)) = ln(e^x+1) = x+1 D = (-oo,+oo)

3) Date f(x) = ln(3x) e g(x) = e^x

TROVA f o g e g o f con i rispettivi domini

(f o g)(x) = f(g(x)) = ln(3·e^x)

ln(3) + ln(e^x)

ln(3) + x

(g o f)(x) = g(f(x)) = e^ln(3x) = 3x

FUNZIONE INVERSA

f: D_f -> Im f

f^-1

J : Df -> img

Df = Im f^-1 e Im f = Df^-1

DATA f, tutte le funzioni f ammettono f^-1? NO

f deve essere BIETTIVA

INIETTIVA

SURRETTIVA

DA VERIFICARE

a livello grafico

TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE DI FUNZIONI ELEMENTARI

1) y = x

2) y = x²

3) y = x³

4) y = sqrt(x)

5) y = ³sqrt(x)

6) y = 1/x

7) y = a^x

a > 1

0 < a < 1

8) y = log_a(x)

a > 1

0 < a < 1

Trasformazioni geometriche

1. Traslazione puo essere

   • verticale
   • orizzontale

   f(x) + k    k in R

   f(x + k)

   y = x³ + 2

   y = (x + 2)³

   fosse stato x³ - 2 sarei andate in basso

   k > 0 -> verso sinistra

   k < 0 -> verso destra

2) SIMMETRIA

VERTICALE

simmetria rispetto dell'asse y

f(-x)

y = ln(-x)

I tratti del grafico a Dx dell'asse y vanno specchiati a Sx e viceversa

y = ln(x)

y = ln(-x)

ORIZZONTALE

simmetria rispetto all'asse x

-f(x)

y = -ln(x)

I tratti del grafico sopra l'asse x vanno specchiati sotto e viceversa

ORA POSSO STABILIRE SE UNA f(x) e INIETTIVA E QUINDI INVERTIBILE

ESERCIZI

1) f(x) = -x³ + 3

SIMM ORIZZ.

TRASLAZIONE VERTICALE

f e iniettiva? mi serve il GRAFICO

y = x³

y = -x³

SIMMETRIA ORIZZONTALE

y = -x³ + 3

TRASLAZIONEVERT

per capire se una funzione e iniettiva traccio tante rette parallele all'asse x, si tocca t sole volte il grafico

NON e iniettiva

f(x) e iniettiva -> e biiettiva

f ammette l'inversa f^-1

DEVE ISOLARE x

y = -x³ + 3

³∛x³ = ³∛3 - y

x = ³∛3 - y => f^-1(x) ³∛3 - x

1) IL GRAFICO DI f(x) e di f^-1(x) sono simmetrici rispetto alla bisettrice del 1^c e 3^c quadrante (y = x)

2) (f o f^-1)(x) = (f^-1 o f)(x) = x sono commutative solo in questo caso

2) y = x² - 2 trarre se esiste la sua funzione inversase esiste, la f^-1

f e iniettiva: grafico

f, su tutto il D non e iniettiva

non posso calcolare la sua funzione inversa

Se guardo una parte del piano

Se "restringo" il D da (-infinito,0) o (0,+infinito)

graficamente e iniettiva

f, se restringe il D a (-infinito,0) o (0,+infinito) ammette l'inversa

y = x² - 2

-x² = -y - 2

x² = 2 + y

x = + - radice di 2 + y

su (-infinito,0) => f^-1(x) = -radice di 2 + x

su (0,+infinito) => f^-1(x) = +radice di 2 + x

x CASA

1) y = -ln(x+2)

2) y = e^-x + 1

3) y = -(x+1)²