Equazioni differenziali

Equazioni Differenziali

Appunti Ordinati e Metodologia di Risoluzione

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IMPORTANTE, TUTTO!

Prima di applicare qualsiasi metodo risolutivo,

REGOLA D’ORO: trovare

e verificare l’esistenza di

sempre le Condizioni di Esistenza (C.E.)

soluzioni costanti.

1 Introduzione e Concetti Base

Un’equazione differenziale è un’equazione in cui l’incognita è una funzione e nella

y(x)

quale compaiono le derivate di tale funzione, come (x), (x), ecc.

′ ′′

y y

1.1 Ordine ed Esistenza

L’ordine di un’equazione differenziale è dato dall’ordine massimo di derivazione che com-

pare nell’equazione stessa. Ad esempio, + 3y + 2y = sin(x) è un’equazione del secondo

′′ ′

y

ordine.

1.2 Il significato delle Condizioni di Esistenza (C.E.)

Come indicato nella regola d’oro, il primissimo passo per risolvere un’equazione differen-

ziale è l’analisi rigorosa del dominio. Le devono essere valutate per le funzioni

C.E.

presenti nell’equazione sia rispetto alla variabile indipendente sia rispetto alla funzione

x

incognita Un errore nell’individuazione del dominio può portare a soluzioni non valide

y.

o all’assenza di asintoti e restrizioni fondamentali.

1.3 Cosa significa "Risolvere"?

Risolvere un’equazione differenziale significa trovare l’insieme di che

tutte le funzioni

la soddisfano nel dominio definito. Questo insieme prende il nome di Integrale Generale.

Tale famiglia di funzioni dipende da una o più costanti arbitrarie (tante costanti quant’è

C

l’ordine dell’equazione). 2

2 Equazioni del Primo Ordine a Variabili Separabili

Queste equazioni si presentano nella forma generale:

= (1)

′ ·

y a(x) b(y)

dove è una funzione della sola variabile e è una funzione della sola variabile

a(x) x b(y) y.

2.1 Ricerca delle Soluzioni Costanti

Riprendendo la prima di separare le variabili, è strettamente

regola fondamentale:

necessario cercare le (conosciute anche come soluzioni di equilibrio).

soluzioni costanti

Queste si ottengono annullando la componente dipendente da y:

= 0 =⇒ = (dove è una costante reale) (2)

b(y) y(x) k k

Queste soluzioni sono essenziali perché, durante la separazione delle variabili, si procederà

dividendo per operazione non matematicamente consentita qualora fosse pari a

b(y), b(y)

zero.

2.2 Procedura di Integrazione

Assumendo per il dominio generale che = 0:

̸

b(y)

1. Si riscrive la derivata mediante la notazione di Leibniz