Domande di Applicazioni ingegneristiche in ambito biomedico

Domande esame Analisi 1

Convergenza dello sviluppo in serie della funzione f(x) = e^x

Enunciare e dimostrare la convergenza dello sviluppo in serie della funzione f(x) = e^x.

Teorema sulla derivabilità della funzione integrale

Enunciare e dimostrare il teorema sulla derivabilità della funzione integrale.

Definizione di funzione continua e tipi di discontinuità

Fornire la definizione di funzione continua in un punto x₀ ∈ ℝ. Illustrare i vari tipi di discontinuità sia tramite una formulazione analitica sia esibendo un esempio.

Teorema degli zeri

Enunciare e dimostrare il teorema degli zeri.

Infinito di ordine superiore, inferiore e infiniti asintotici

Fornire le definizioni di infinito di ordine superiore, inferiore e di infiniti asintotici per successioni. Per ogni definizione fornire anche un esempio.

Relazione tra convessità e derivata prima

Enunciare e dimostrare la relazione esistente tra la convessità di una funzione in un intervallo e la sua derivata prima.

Definizione di derivata e continuità

Fornire la definizione di derivata di una funzione in un punto. Una funzione derivabile in x₀ è anche continua in x₀? Una funzione continua in x₀ è anche derivabile in x₀? Argomentare opportunamente le proprie affermazioni (tramite una dimostrazione oppure un controesempio).

Teoremi di zeri, Weierstrass e valori intermedi

Enunciare il teorema degli zeri, il teorema di Weierstrass e il teorema dei valori intermedi. Discutere opportunamente l'essenzialità delle ipotesi fornendo esempi e controesempi.

Somma parziale e serie numerica

Fornire la definizione di somma parziale e di serie numerica, di serie convergente, divergente e irregolare e di somma di una serie. Illustrare poi il carattere della serie geometrica q^k al variare della ragione q ∈ ℝ (senza dimostrazioni).

Forme di indecisione per i limiti di successione

Introdurre le forme di indecisione per i limiti di successione. Per ogni tipo di forma di indecisione fornire opportuni esempi che illustrino perché si tratta di forme di indecisione.

Teorema di Fermat e convergenza assoluta

• Enunciare e dimostrare il teorema di Fermat.
• Enunciare e dimostrare il criterio di convergenza assoluta per le serie.

Asintoti orizzontale, verticale e obliquo

Fornire la definizione di asintoto orizzontale, verticale ed obliquo per una funzione. Fornire poi una caratterizzazione dell'asintoto obliquo. Mostrare infine che la condizione di "andamento lineare" all'infinito non è sufficiente per dedurre l'esistenza di un asintoto obliquo.

Teorema della media integrale

Enunciare e dimostrare il teorema della media integrale.

Limite di funzione e continuità

Fornire la definizione di limite di funzione lim(x→x₀) f(x) = l oppure +∞ oppure -∞. Fornire poi la definizione di funzione continua in un punto.

Teorema di derivazione della funzione composta

Enunciare il teorema di derivazione della funzione composta.

Teoremi di Lagrange e Rolle

Enunciare i teoremi di Lagrange e di Rolle. Dimostrare uno dei due, deducendo l'altro come corollario.

Definizione di derivata e punti di non derivabilità

Fornire la definizione di derivata di f in un punto x₀ e il suo significato geometrico. Illustrare poi i vari tipi di punti di non derivabilità, corredando ciascuno con un semplice esempio.

Maggiorante, massimo ed estremo superiore

• a) Fornire la definizione di maggiorante, di massimo e di estremo superiore.
• b) Fornire poi un esempio (giustificandolo opportunamente) di insieme superiormente limitato che non ammetta massimo ma ammetta estremo superiore finito.
• c) Fornire infine un esempio (giustificandolo opportunamente) di successione {a_n}_{n ∈ ℕ} convergente e tale che lim a_n non coincida né con l'estremo superiore né con l'estremo inferiore dell'insieme.