Domande con risposta Analisi matematica 2

Domande analisi B

117. Che cosa significa che una serie è convergente?

Diciamo che la serie convergente ^∫_n=1^+∞ a_n è convergente a un valore a ∈ R se ∃ lim_n→+∞ S_n = a.

^∫_n=1^+∞ a_n = lim_n→+∞ (^∫_k=1ⁿ a_k) = lim_n→+∞ S_n

118. Che cosa significa che una serie è divergente?

Diciamo che la serie divergente ^∫_n=1^+∞ a_n è divergente a +∞ se ∃ lim_n→+∞ S_n = +∞.

^∫_n=1^+∞ a_n = lim_n→+∞ (^∫_k=1ⁿ a_k)

119. Qual è la condizione necessaria per la convergenza di una serie? Sapreste dimostrarlo?

Se ^∫_n=1^+∞ a_n è convergente => a_n → 0.

Dim Sia S_n = ^∫_k=1ⁿ a_k = S_n-1 + a_n e per ipotesi S_n → a ∈ R.

a_n = (S_n - S_n-1) → a-a = 0 => se non è infinitesima la serie non può convergere.

120. Sapete discutere la convergenza di una serie geometrica?

Se |x| < 1 cioè -1 < x < 1 lim_n→+∞ S_n = lim_n→+∞ (1 - xⁿ⁺¹) / (1 - x) = 1 / (1 - x).

121. Qual è la principale proprietà delle serie a termini non negativi? Sapreste dimostrarla?

Sia a_n ≥ 0 la serie a termini non negativi ^∫_n=1^+∞ a_n è sempre convergente o divergente, non è mai irregolare.

Dim S_n = ^∫_k=1ⁿ a_k succ. delle somme parziali.

S_n+1 = S_n + a_n+1 ≥ S_n.

S_n è monot. ↑ => ∃ lim_n→+∞ S_n finito o infinito.

Domande analisi B

117. Che cosa significa che una serie è convergente?

Diciamo che la serie ^+infty_n=1 a_n è convergente a un valore a in R se lim_n->+infty S_n = a.

^+infty_n=1 a_n = lim_n->+infty (sup_k=1ⁿ a_k) = lim_n->+infty S_n

118. Che cosa significa che una serie è divergente?

Diciamo che la serie ^+infty_n=1 a_n è divergente a +infty se lim_n->+infty S_n = +infty.

^+infty_n=1 a_n = lim_n->+infty (sup_k=1ⁿ a_k)

119. Qual è la condizione necessaria per la convergenza di una serie? Sapreste dimostrarlo?

Se ^+infty_n=1 a_n è convergente => a_n -> 0.

Dim Sia S_n = sup_k=1ⁿ a_k = S_n-1 + a_n e per ipotesi S_n -> a in R.

a_n = (S_n - S_n-1) -> a - a = 0 = se non è infinitesima la serie non può convergere.

120. Sapete discutere la convergenza di una serie geometrica?

Se |x| < 1 cioè -1 < x < 1 lim_n->+infty S_n = lim_n->+infty (1 - xⁿ⁺¹) / (1 - x) = 1 / (1 - x).

121. Qual è la principale proprietà delle serie a termini non negativi? Sapreste dimostrarlo?

Sia a_n >= 0 la serie ^+infty_n=1 a_n è sempre convergente o divergente, non è mai irregolare.

Dim S_n = sup_k=1ⁿ a_k succ. delle somme parziali.

S_n+1 = S_n + a_n+1 >= S_n.

S_n è monot. + => lim_n->+infty S_n finito o infinito.

In tal caso scriviamo ^∞_n=1 a_n < +∞ se è convergente.

^∞_n=1 a_n = +∞ se è divergente.

122. In cosa consiste il criterio del confronto?

0 ≤ a_n ≤ b_n ∀ n ∈ N ⇒ se ^∞_n=1 b_n < +∞ allora ^∞_n=1 a_n < +∞.

Se ^∞_n=1 a_n = +∞ allora ^∞_n=1 b_n = +∞.

Dim S_n = ⁿ_k=1 a_k T_n = ⁿ_k=1 b_k S_n ≤ T_n S_n↑, T