Domande con risposta Analisi matematica 2

Domande analisi: 8

1. Che cosa significa che una serie è convergente?

   Diciamo che la serie Σ_n=1^∞ a_n è convergente a un valore a ∈ ℝ se

   ∃ lim_n→+∞ S_n = a

   Σ_n=1^∞ a_n = lim_n→+∞ ( Σ_k=1ⁿa_k ) = lim_n→+∞ S_n

2. Che cosa significa che una serie è divergente?

   Diciamo che la serie Σ_n=1^∞ a_n è divergente a +∞ se

   ∃ lim_n→+∞ S_n = +∞

   Σ_n=r^∞ a_n = lim_n→+∞ ( Σ_k=rⁿa_k)

3. Qual è la condizione necessaria per la convergenza di una serie? Sapreste dimostrarlo?

   se Σ_n=1^∞ a_n è convergente → a_n → 0

   Dim Sia S_n = Σ_k=1ⁿ a_k = S_n-1 + a_n e per ipotesi S_n →_n→+∞ a ∈ ℝ

   a_n = (S_n-S_n-1) →_n→+∞ a-a = 0

    = se non è infinitesima la serie non può convergere

4. Sapete discutere la convergenza di una serie geometrica?

   Se |x| < 1 cioè -1 < x < 1 → lim_n→+∞ S_n = lim_n→+∞ (1-xⁿ⁺¹) / 1-x

5. Qual è la principale proprietà delle serie a termini non negativi? Sapreste dimostrarla?

   Sia a_n ≥ 0 La serie Σ_n=0^∞ a_n è sempre convergente o divergente, non è mai irregolare.

   Dim S_n = Σ_k=1ⁿ a_k succ. delle somme parziali S_n ≥ S_n+1 = S_n + a S_n è monot.

   ∃ lim S_n finito o infinito

Domande analisi: B

117. Che cosa significa che una serie è convergente?

Diciamo che la serie _n=1 ^∞a_n è convergente a un valore a ∈ ℝ se

     ∅ lim n→+∞ S_n = a

       _n=1 ^∞a_n = lim             n→+∞ ( _k=1 ⁿa_k ) = lim S_n         n→+∞

118. Che cosa significa che una serie è divergente?

Diciamo che la serie _n=1 ^∞a_n è divergente a +∞ se

    ∅ lim S_n = +∞

       _n=1 ^∞a_n = lim         n→+∞ ( _k=1 ⁿa_k )

119. Qual è la condizione necessaria per la convergenza di una serie? Sapreste dimostrarlo?

se _n=1 ^∞a_n è convergente → a_n →                n →+∞ 0

Dim Sia S_n = ^{_k=1 na_k} = S_n-1 + a_n eper ipotesi S_n→ a ∈ ℝ        n→+∞

  ^(S_n-S_n-1) → a-a=0      n→+∞

  a_n = ∅ lim  a   n→+∞

= se non è infinitesima la serie non può convergere

120. Sapete discutere la convergenza di una serie geometrica?

Se |x| < 1 cioè -1 < x < 1     ∅ lim S_n = lim         n→+∞ 1-xⁿ⁺¹         n→+∞ 1 - x=

121. Qual è la principale proprietà delle serie a termini non negativi? Sapreste dimostrarla?

Sia a_n≥0 La serie _n=1 ^∞a_n è sempre convergente o divergente, non èmai irregolare

Dim S_n = ^{_k=1 na_k} succ. delle somme parziali       S_n+1 = S_n + a_n+1≥S_n    S_n è monot.

   ∅ lim S_n ≥ finito o infinito

In tal caso scriviamo ∑_n=1^∞ a_n < +∞ se è convergente

∑_n=1^∞ a_n = +∞ se è divergente

122. In cosa c