Domande Analisi matematica 1

Domande di teoria

1. Maggioranti e minoranti, massimo e minimo, estremo superiore ed estremo inferiore

Scrivere la definizione di maggioranti e minoranti, massimo e minimo, estremo superiore ed estremo inferiore per un sottoinsieme di numeri reali.

Maggiorante e minorante: Sia X un campo ordinato (X = Q o X = R), sia Ø ≠ E c X. Si dice che k ϵ X è un maggiorante (minorante) per E se ∀x ϵ E x ≤ k (x ≥ k).

Massimi e minimi: Sia X un campo ordinato (X = Q o X = R), sia Ø ≠ E c X. M (m) si dice massimo (minimo) se è maggiorante (minorante) di E ed appartiene all'insieme.

Estremo superiore e estremo inferiore: Sia X un campo ordinato (X = Q o X = R), sia Ø ≠ E c X. Si dice estremo inferiore (superiore) di E il massimo (minimo) dei minoranti (maggioranti) di E (se ∃).

Se E è inferiormente (superiormente) illimitato, cioè se ∀k ∃x ϵ X ϵ E tale che k < x (k > x), l'estremo inferiore (superiore) è - ∞ (+ ∞).

2. Estremo superiore ed estremo inferiore per un sottoinsieme di numeri reali

Scrivere la definizione di estremo superiore ed estremo inferiore per un sottoinsieme di numeri reali. Enunciare la proprietà caratteristica di estremo superiore e estremo inferiore per insieme di numeri reali.

Estremo superiore e estremo inferiore: Sia X un campo ordinato (X = Q o X = R), sia Ø ≠ E c X. Si dice estremo inferiore (superiore) di E il massimo (minimo) dei minoranti (maggioranti) di E (se ∃).

Se E è inferiormente (superiormente) illimitato, cioè se ∀k ∃x ϵ X ϵ E tale che k < x (k > x), l'estremo inferiore (superiore) è - ∞ (+ ∞).

Considerando il sottoinsieme E, m (M) è estremo inferiore (superiore) se e solo se m ≤ x (M ≥ x) ∀x ϵ E, e ∀ε > 0 ∃x ϵ E tale che x < (m + ε) (x > (M – ε)).

3. Principio di induzione

Enunciare il Principio di Induzione. (Facoltativo: esibire un esempio di applicazione)

Principio di induzione: Sia P(n) una proprietà che dipende da n ϵ N e n₀ ϵ N, supponiamo che:

• P(n₀) sia vera (passo base).
• ∀n ≥ n₀ si ha: P(n) vera ≥ P(n + 1) vera (passo induttivo).

Allora P(n) è vera ∀n ≥ n₀.

Esempio: Dimostrare che ∀n ≥ 1, 1 + 2 + 3 + 4 … + n = n(n + 1)/2.

P(n) <=> 1 + 2 + 3 + 4 … + n = n(n + 1)/2.

Per induzione:

• Passo base: P(1) è vera? P(1) <=> 1 = (1*2)/2 = 1, ok!
• Passo induttivo: Ipotesi: 1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1)/2. Tesi: 1 + 2 + 3 + … + n + (n + 1) = (n + 1)(n + 2)/2.

1 + 2 + 3 + … + n + (n + 1) = n(n + 1)/2 + (n + 1) = [n(n + 1) + 2(n + 1)]/2 = (n + 1)(n + 2)/2.

Quindi anche P(n + 1) è vera.

4. Fattoriale, coefficiente binomiale e binomio di Newton

Scrivere la definizione di fattoriale e di coefficiente binomiale. Enunciare la formula del binomio di Newton.

n! (si legge n fattoriale) rappresenta il numero di permutazioni di n oggetti distinti, cioè il numero di casi in cui possono essere ordinati.

n! = n(n - 1)!

Il coefficiente binomiale è il numero di sottoinsieme di cardinalità k su n elementi, dato 0 ≤ k ≤ n.

n! / [k!(n - k)!].

Binomio di Newton: (a + b)ⁿ = ∑ (n su k) a^n-kb^k, a, b numeri reali, n > 0. Essa equivale all'elevazione a qualsiasi potenza di un binomio.

5. Funzione iniettiva, suriettiva, biiettiva e inversa

Scrivere la definizione di funzione iniettiva, suriettiva e biiettiva. Scrivere la definizione di funzione inversa. Dato il grafico di una funzione invertibile, dire come si disegna il grafico della sua inversa.

Data una funzione f: X -> Y, f si dice iniettiva se vale una delle seguenti proprietà equivalenti:

∀x₁ ≠ x₂, x₁, x₂ ϵ X, se x₁ ≠ x₂ allora f(x₁) ≠ f(x₂).

∀x₁, x₂ ϵ X, se f(x₁) = f(x₂) allora x₁ = x₂.

∀y ϵ Y, f^-1(y) è o vuoto o contiene solo un elemento.

Data una funzione f: X -> Y, f si dice suriettiva se ∀y ϵ Y ∃x ϵ X e f(x) = y, cioè f^-1(y) ≠ Ø.

Data una funzione f: X -> Y, f si dice biettiva se è sia iniettiva sia suriettiva, cioè se ∀y ϵ Y esiste un unico x ϵ X tale che f(x) = y. Si chiama tale x = f^-1(y) e f^-1 è la funzione inversa di f, equivalente a f^-1: Y -> X.

Dato il grafico di una funzione invertibile, il grafico della sua inversa è simmetrico rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante rispetto alla f.

6. Funzione limitata, monotona, simmetrica e periodica

Scrivere la definizione di funzione limitata, funzione monotona, funzione simmetrica e funzione periodica. Disegnare un grafico di funzione.

Funzione limitata: Sia f: D c R -> R, f si dice limitata se l'insieme f(D) è limitato, cioè ∃m, M tali che: m ≤ f(x) ≤ M ∀x ϵ D.

Funzione monotona: Sia f: D c R -> R, f si dice:

• Monotona crescente se ∀x₁, x₂ ϵ D con x₁ < x₂ si ha f(x₁) ≤ f(x₂) (se invece f(x₁) < f(x₂) si dice monotona strettamente crescente).
• Monotona decrescente se ∀x₁, x₂ ϵ D con x₁ < x₂ si ha f(x₁) ≥ f(x₂) (se invece f(x₁) > f(x₂) si dice monotona strettamente decrescente).

Funzione simmetrica: Sia f: D c R -> R con D tale che se x ϵ D allora -x ϵ D, si dice che:

• F è pari se f(x) = f(-x) ∀x ϵ D.
• F è dispari se f(x) = -f(-x) ∀x ϵ D.

Funzione periodica: Sia f: D c R -> R, f si dice periodica di periodo T > 0 se T è il più piccolo reale tale che, dato x ϵ D con x - T, x + T ϵ D, si ha: f(x) = f(x + T) = f(x - T).

7. Stretta monotonia e invertibilità

Dimostrare che la stretta monotonia implica l’invertibilità di una funzione, considerata dal suo dominio al suo insieme immagine.

La condizione di invertibilità di una funzione è il fatto che sia biettiva, ovvero che sia iniettiva e suriettiva.

Sia f: D c R -> R strettamente monotona, quindi x₁ < x₂ si ha f(x₁) < f(x₂) o x₁ > x₂ si ha f(x₁) > f(x₂).

f(x₁) ≠ f(x₂), quindi la funzione è iniettiva.

Se f è iniettiva allora f definita (D -> R), se f: D -> Y è iniettiva allora f: D -> f(D) c Y è anche suriettiva e quindi invertibile.

8. Successione convergente e limite

Scrivere la definizione di successione convergente e di limite per una successione.

Sia {a_n} una successione, diremo che a_n è convergente se ∃ un numero reale l, tale che ∀ε > 0 la proprietà P_ε(n) = {|a_n - l| < ε} è definitivamente vera.

In tal caso si dirà che il limite per n che tende a +∞ di a_n è l scrivendo:

lim_n→+∞ a_n = l se e solo se ∀ε > 0 ∃ un n_ε tale che l - ε < a_n < l + ε ∀n > n_ε.

9. Successione convergente, divergente ed irregolare

Scrivere la definizione di successione convergente, divergente ed irregolare. Esibire un esempio per tipo.

Data {a_n} si dirà che:

• {a_n} converge ad un numero reale l se ∀ε > 0 la proprietà P_ε(n) = {|a_n - l| < ε} è definitivamente vera.
• {a_n} diverge a +∞ se ∀M > 0, la proprietà P_M(n) = {a_n > M} è definitivamente vera, in questo caso si scrive lim_n→+∞ a_n = +∞.
• {a_n} diverge a -∞ se ∀M > 0, la proprietà P_M(n) = {a_n < -M} è definitivamente vera, in questo caso si scrive lim_n→+∞ a_n = -∞.
• {a_n} è irregolare quando lim_n→+∞ a_n = + esempi.

10. Successione limitata

Scrivere la definizione di successione limitata. Dimostrare che se una successione è convergente, allora essa è anche limitata. Dire se è vero il viceversa. (In caso contrario, dare un controesempio)

Data {a_n} diremo che essa è limitata se ∃ un minorante m e un maggiorante M tale che m ≤ a_n ≤ M ∀n ϵ N, essa può essere o convergente o irregolare.

Se {a_n} è convergente allora essa è limitata poiché se la successione è convergente sappiamo che il suo limite è l, fissiamo ε = 1, allora ∃n₁ ϵ N tale che l - 1 < a_n < l + 1 ∀n ≥ n₁.

Sia A l'insieme che comprende tutti i punti della successione {a_n} prima di a_n0 = {a₁, a₂, ..., a_n-1, l + 1, l - 1}, A è un insieme finito quindi ammette massimo (M) e minimo (m). Quindi m ≤ a_n ≤ M ∀n ϵ N.

Il viceversa non è vero, esempio a_n: (-1)ⁿ.

11. Teorema dell’unicità del limite

Enunciare e dimostrare il teorema dell’unicità del limite per le successioni. Se {a_n} è una successione convergente a l, allora l è unico.

Se {a_n} è una successione convergente a l allora l è unico.

Dimostrazione: supponiamo per assurdo che esistano due limiti distinti l₁ ≠ l₂ (l₁ < l₂).

Prendiamo ε < |l₁ - l₂| / 3 in modo che:

I₁ = (l₁ - ε, l₁ + ε)

I₂ = (l₂ - ε, l₂ + ε)

I₁ ∩ I₂ = Ø.

Poiché lim_n→+∞ a_n = l₁, allora ∃n₁, tale che ∀n ≥ n₁, {a_n} ϵ I₁.

Poiché lim_n→+∞ a_n = l₂, allora ∃n₂, tale che ∀n ≥ n₂, {a_n} ϵ I₂.

∀n > max{n₁, n₂}, {a_n} ϵ I₁ e I₂, cioè {a_n} ϵ I₁ ∩ I₂, ma essa è l'Ø, quindi è assurdo.

12. Successioni monotone e teorema sul limite

Scrivere la definizione di successioni monotone. Enunciare e dimostrare il Teorema sul limite delle successioni monotone.

Data {a_n} una successione, {a_n} si dice crescente (decrescente) se ∀(n + 1) > n, allora a_n+1 ≥ a_n (a_n+1 ≤ a_n).

Data {a_n} una successione, {a_n} si dice strettamente crescente (decrescente) se ∀(n + 1) > n, allora a_n+1 > a_n (a_n+1 < a_n).

Sia {a_n} una successione monotona, allora la successione è regolare. In particolare:

Se {a_n} è crescente, lim_n→+∞ a_n = sup{a_n tale che n ϵ N}.

Se {a_n} è decrescente, lim_n→+∞ a_n = inf{a_n tale che n ϵ N}.

Dimostrazione: Se la successione è monotona crescente l'estremo superiore può essere:

• +∞. ∀M > 0 ∃a_nM tale che a_nM > M, se n > n_M allora a_n ≥ a_nM > M. ∀M > 0 ∃n_M tale che a_n > M ∀n ≥ n_M => lim_n→+∞ a_n = +∞.
• Numero finito l. ∃ un maggiorante l tale che a_n ≤ l. Quindi ∀ε > 0 ∃a_nε tale che l - ε ≤ a_nε. Se n ≥ n_ε allora a_n ≥ a_nε > l - ε. Quindi l - ε < a_n ≤ l < l + ε ∀n ≥ n_ε. lim_n→+∞ a_n = l.

13. Algebra dei limiti per successioni

Enunciare il teorema sull’algebra dei limiti per successioni e dimostrarlo nel caso del limite della somma o del prodotto.

Algebra dei limiti: Siano {a_n} e {b_n} due successioni convergenti e lim_n→+∞ a_n = a, lim_n→+∞ b_n = b, allora:

• lim_n→+∞ (a_n ± b_n) = a ± b.
• lim_n→+∞ a_n ∙ b_n = a ∙ b.
• Se b_n ≠ 0 e b ≠ 0, lim_n→+∞ a_n/b_n = a/b.

Dimostrazione del prodotto:

Ipotesi: lim_n→+∞ a_n = a e lim_n→+∞ b_n = b.

Tesi: lim_n→+∞ a_n ∙ b_n = a ∙ b.

Quindi si deve dimostrare che ∀ε > 0 ∃n_ε tale che |a_n ∙ b_n - a ∙ b| < ε ∀n ≥ n_ε.

lim_n→+∞ a_n = a <=> data ε > 0 ∃n_ε tale che |a_n - a| ≤ ε ∀n ≥ n_ε.

lim_n→+∞ b_n = b <=> data ε > 0 ∃n_ε tale che |b_n - b| ≤ ε ∀n ≥ n_ε.

|a_n ∙ b_n - a ∙ b| = |a_n(b_n - b) + b(a_n - a)| ≤ |a_n| |b_n - b| + |b| |a_n - a|.

Siccome {a_n} è convergente allora {a_n} è limitata, quindi ∃M > 0 tale che |a_n| ≤ M.

|a_n ∙ b_n - a ∙ b| ≤ M|b_n - b| + |b||a_n - a|.

Si fissa ε > 0. Si considera ε₁ = ε/(2M), poiché lim_n→+∞ b_n = b ∃n_ε1 tale che ∀n ≥ n_ε1 |b_n - b| < ε/(2M).

Si considera ε₂ = ε/(2|b|), poiché lim_n→+∞ a_n = a ∃n_ε2 tale che ∀n ≥ n_ε2 |a_n - a| < ε/(2|b|).

Sia n_ε = max{n_ε1, n_ε2}.

Se n ≥ n_ε, |a_n ∙ b_n - a ∙ b| ≤ M|b_n - b| + |b||a_n - a| < M ε/(2M) + |b| ε/(2|b|) = ε.

14. Teorema della permanenza del segno

Enunciare e dimostrare il Teorema della permanenza del segno per successioni, nelle due forme.

Teorema della permanenza del segno:

I forma: data {a_n}, se lim_n→+∞ a_n = a > 0, allora ∃n’ tale che a_n > 0 ∀n ≥ n’. Se a < 0 => a_n < 0 ∀n ≥ n’.

Dimostrazione: lim_n→+∞ a_n = a > 0. Dato ε = a/2 ∃n_ε tale che ∀n ≥ n_ε => |a_n - a| < ε.

a - a/2 < a_n < a + a/2. In particolare a_n ≥ a/2 > 0 ∀n ≥ n_ε.

II forma: se a_n ≥ 0 ∀n, allora lim_n→+∞ a_n = a ≥ 0.

Se a_n ≥ 0 ∀n, allora lim_n→+∞ a_n = a ≤ 0.

Dimostrazione: se a_n ≥ 0 => lim_n→+∞ a_n = a ≥ 0. Se pur essendo a < 0, allora per il teorema della permanenza del segno (I forma) si avrebbe a_n < 0 ∀n ≥ n’, contraddicendo l'ipotesi che a_n > 0.

15. Teorema del confronto o dei due Carabinieri

Enunciare e dimostrare il Teorema del confronto (detto anche dei due Carabinieri) per successioni.

Teorema del confronto: siano {a_n}, {b_n}, {c_n} tre successioni tali che:

• ∀n, a_n ≤ c_n ≤ b_n.
• lim_n→+∞ a_n = lim_n→+∞ b_n = l.

Allora {c_n} è convergente e lim_n→+∞ c_n = l.

Dimostrazione: lim_n→+∞ c_n = l ϵ R, da dimostrare che ∀ε > 0 ∃n_ε tale che l - ε ≤ c_n ≤ l + ε ∀n ≥ n_ε.

lim_n→+∞ a_n = l, ∀ε > 0 ∃n₁ tale che l - ε ≤ a_n ≤ l + ε ∀n ≥ n₁.

lim_n→+∞ b_n = l, ∀ε > 0 ∃n₂ tale che l - ε ≤ b_n ≤ l + ε ∀n ≥ n₂.

Sia n_ε = max{n₁, n₂}, abbiamo ∀n ≥ n_ε:

l - ε ≤ a_n ≤ c_n ≤ b_n ≤ l + ε.

l - ε ≤ c_n ≤ l + ε ∀n ≥ n_ε.

16. Algebra degli infiniti

Enunciare il teorema sull’algebra dei limiti per successioni in R {±∞} (”algebra degli infiniti”). Fare esempi di forme indeterminate.

Data {a_n} e {b_n} si ha:

• Se lim_n→+∞ a_n = +∞ e {b_n} è inferiormente limitato, allora lim_n→+∞ (a_n + b_n) = +∞.
• Se lim_n→+∞ a_n = -∞ e {b_n} è superiormente limitato, allora lim_n→+∞ (a_n + b_n) = -∞.
• Se lim_n→+∞ a_n = +∞ (-∞), lim_n→+∞ b_n = b ≠ 0, allora lim_n→+∞ a_n ∙ b_n = (sgn(a) ∞) ∙ (sgn(b) ∞).

In particolare a_n --> +∞, b_n --> +∞, a_n + b_n --> +∞.

b_n --> b, a_n + b_n --> +∞.

Se |a_n| --> +∞ allora 1/a_n --> 0.

Sia {a_n} infinitesima:

• Se lim_n→+∞ a_n = 0⁺, allora lim_n→+∞ 1/a_n = +∞.
• Se lim_n→+∞ a_n = 0^-, allora lim_n→+∞ 1/a_n = -∞.

(Fare esempi di forma indeterminate)

17. Criterio del rapporto per successioni positive

Enunciare e dimostrare il Criterio del rapporto per successioni positive.

Criterio del rapporto per successioni positive: Sia {a_n} una successione con a_n > 0, se ∃ lim_n→+∞ a_n+1/a_n = L ϵ R U {+∞}, allora si ha:

• Se L < 1 la successione è infinitesima.
• Se L > 1 la successione è infinita.
• Se L = 1 non si può concludere nulla.

Dimostrazione: