Dimostrazioni Teoremi Analisi matematica 1

Indice

1) È 2 razionale non numero un 2) Proprietà modulo conseguenze e 3) Assiome completezza di Dedekind di 2) A E IR max A sup A Se inf a min t= a e == = a= =a o =5) Proprietà dei archimedea reali numeri conseguenza archimedea proprietà 6) 7) denso Q è IR in 8) dei Somma interi primi n 9) dei disport Somma primi n 1) Somma dei pari primi n 1) di Binomie Newton & Disuguaglianza Beroveli di 13 di di Bernovlli Conseguenza disuguaglianza Newton linomio e 1) Media geometrica aritmetica media>1) ZN Equipotenze the a 16 Q tre Equipotenze N e 17) tra N e IR Non equipotenze ↓ lo stesso limite Date che emmette limite successione sottosucussione emmette ogni una sua, n del Teorema della permanenze segno 2) limitata successione convergente Ogni è 2) due Teorema dei carabinieri 22) confronte Teorema del 23) Limite due di della del prodotto successioni e somme 2) monotona limite emmette successione Una 2) la limite di e limite e ammette sottosuccessione emmette monotona se successione successione anche una una, 2) limiti Alcuni: marlimos E n IR polinolin logan polinomi con a i e epens pp+ a con con=0-)n +28) Unlin e 2) ee in Telc 26) Conen e 2 limitate Le emmettono sottosuccessioni convergenti successioni 30) ? di "Una Definizione di ICauchy è dim couchy convergente) di successione successione ee se 31) /"/1 strettamente monatore mondre definitivamente strettamente Le successioni sono e xco+ per per an Xo= )"32) (1.(v /" ! strettamente brre monotone successioni son:+ e en =)"33) (1 - e=3) e (nelinenta che sense dota si e con 3) lin bet lin se b neanto 0anto e =, ++n 36) Condizione di la necessaria serie per convergenze una 37) La ormonica serie non converge 2k 35) somme Le Flo) sei) Cone=40 dall'alto clginal con 4) Criterio del Confronte 4) Criterio asintotica del confronto (3) del Criterio rapporto 2) del del corollario criterio rapporto 25) delle rodice n-esime Criterio 46) delle Corollario radice del criterio a) 7 di di la Criterio Couchy consensazione serie per 48) di Leilmiz Criterio STUDIALE MEGLIO 29) essolutamente se semplicemente anche serie converge converge una s del tramite limite Caratterizzazione successioni s) e in 22 esiste se nx non &+X -)52) in 53) 1 insu) in e 5) log e( x lin +P.5) in Vpp=si) arlin log e:3) hloga11x lin logaso) continue funzioni di la è composizione continua 60) Teorema della del segno permanenza 61) degli Teorema zeri 6) Teorema intermedi dei valori 6) Weierstrass Teorema di 6) è limitato intervallo tole intervallo in uniformemente chiuso continua funzione in Una continue e un 6) di Rolle continue Teorema funzioni per 66) derivali ce Una funzione è continua 67) di prodotto Derivate quoziente derivali li funzioni di Somma e, 68) (regola Derivata della catena composizione della 60) funzione della Derivata inversa 7) di Fermat Teorema 7) di Teorema Rolle derivabili funzioni per 7) Teorema di Lagrange 73) ha derivata in dominio che funzione intervallo costante è Una nulla nel contenuto ogni suo 7) delle intervalli funzioni monatore Caratterizzazione su 7) funzione se ha derivata negativa strettamente che annulla allora solo in crescente è si, una non un punto 76) e logxixe -? 1X +77) fixi strettamente funzione X La è convessa=78) la seconda funzioni caratterizzazioni derivata della tramite convesse 7) strettamente essoluto critico di è allora punto funzione è se è Xo funzione la minimo convessa convessa per vo seoun una, tole è di minimo punto unico so) en funzioni y Date è fXICe gixi to ogn seperg,,, 5) di di Formula peanoresto Toylor contra 82) Relazione derivata stazionari seconda punti e 83) della Lemma integrale media 82) integrale Teorema fondamentale del colcolo 8) Formula parti di integrazione per 86) variabili di del Formula corlio 57) del Criterio confronto 58) asintolicadel Criterio confronto 89) assolutamente funzione integrali case improprio in è improprio in in nello è integrali le allora intervallo e senso senso una un intervallo stesso I 90) la integrale delle Criterio serie per convergenza è.

Numero non razionale

2 Numero Non Razionale assurdo che supponiamo un reale 2 sia: per*ge N p da pen per Jp =rt p .dopi ploro fattorizzazione COPRIMI tra c, => un=>= e......, D(p(M q)C 1=me . . ,*soreece zEso 1= a cop, è è 202 è p2 hmph hm divisilite pari =lpari p2 )ep per h = ===s & q è Im è IMPOSSIBILE> pari pari== >= q E è razionale I non

Proprietà e conseguenze del modulo

PROPRIETÀ CONSEGUENZE MODULO E :& mex( x3Doto XEIR IXI XX Se X30 x=s -= = ,XJ eXe-(X max(X x3(x) ) (x)se XX3 0X. x?mx1 se 23 = ==X == --= , x3mox(X|x1 (x))se >=X X(0 X 2 Xx == == - -- = -,VXEIRSia allore t (ISa(230 X1a-a =)c =. .( )= se asX (x)[QX1 ==X20 a =- -Xa e X02ase X-a acX(@=XCO -= -, mox[X -x]Poiché conclude ipotesi 11 WISO Poiché SiXI-a theKIx a2Xiaper =- ,.,,i) l'uguaglianza Ix11x120 vole se0 xe = o=S mox(0 03IXI (x1X = Xse = 0(1x XX2 0=== ==- = -,XeX se-i) (x| 1 /x= - (x0S 1se 1x /|X? ?|XI x| XOX0 > == -== se X(0 SeX X O-x3mox(X mox(x x31 x1(x1 -- -= = ,,(x y| |x 1. |(y=- SS * vx Xy(exyz0 y20vXy sey x. yo, , ,(xy1 (y)| x1 == . (x y) (x) /=se x101y10 (y1y0y)SeX10 =1 y)X (X . .-. -.X)1 X)Xso1y 1se sexso1y20y : 0 y- -- . mox5mox5-x x3x3 mox dy poiché' y35. ypoiché y3 1x1 (y1Ix1 -Xly1 == mox == ,, ,, ,,i(x (x1 1y /:yl ++ [ (X/(X) X1X -y))(x| (x y(f(x)|(y(x 1y)+ y)((x +(y)(x ++ | ++ == => -(y)1y)= =y y-) (idea((x y)=(x | (x(y| (y ( |=| |(x x X +y |+ y=,+ y - =- : --(x(x | /y |||X | | 1 =(x(y |y x |+ y +y y=- -- -= (perché(y=x| x)(x)|(y) (y=(y (y1 (x)+ (X=+xX x) 1y) (x)= - =- - = --- 11 (y)((x1 -- E i)(x III-1y11perché(x |-1 |=> (y y proprio =-- (121-in//1-n) da Viceversa Fr SEIR 18121E-n)volga cui in+si de supponga .yEIRFissato si ottiene || (x|E-n =e +|xyou |+ yyXX con =,

Assioma di completezza di Dedekind

ASSIOMA COMPLETEZZA DI DEDEKIND DI :Ogni **XIR insieme X ammette superiormente estremo limitato IR superiore in, Ogni **,XSIR insieme inferiormente X ammette inferiore estremo limitato IR in, AMMETTE UNICO& ESTREMO SUPERIORE(LX VXX10

Proposizione

PROPOSIZIONE XEIR superiormente limitato (allora supX1 : =s1:,, X +. X-(e XXxeXC =XXQProposizione XEIR infx inferiormente limitato allore2 : =s=,, Vaso FXgEX t EXg)e +c..AMMETTE UNICO& INFERIORE ESTREMO UxEXdim allora1) (el misupX1 :Xmaggiorante per1 se=: un= , è supX)il Faco/essendo (-Edei è ancheL maggiorenti maggiorante cui minimo non ovvers per unme, 5xX t X)L 2c -. . E L/2-2)(1) Le dei piccolo Le il di più piccolo maggiorente qualunque è più es cui pere un numero non, l'estremo maggiorenti, superiore ovvero dim Analoga alla copovolta12 ma: ASIR maxA supA allora Sia se a a== =A infAmin a=a == AbEAalbdim è limitato il è massimo perché1: a supatA A è vuoto=s non Per Dedekind ammette estremo alA sup .d'26 VbEA attl'a dato chec oncludedadefinizione lecui,per siinilèè è quanto mentre minimo tole quanto dei maggiorente maggiorenti è anch'esso ine maggiorentemassimo asoa,,, )a a= =Anologa mintinvertita infaae =per :

Proprietà archimedea dei numeri reali

PROPRIETÀ ARCHIMEDEA I ne N NUMERI REALI DEL yEIR tDoti: X nxyNo c, ..,l'insieme {ZER/zUneN neN3aveable è NxfosseSe assurdo .Cimitotosi checosì nXnxzy supovvero per ==non : ,,, JzENx(zPer nx)Dedekind maggiorentesoreble tpiù ammette estremo ovvero& a-X nase-xXIoa c.non =sup uncon= .,,, 1)x)a(n IMPOSSIBILE+ /CONTRADDIZIONE)

Conseguenza della proprietà archimedea

CONSEGUENZA ARCHIMEDEA PROPRIETÀ VEsoSe: <2 0)=120 e =cassurdoSe coper =s co I neN t =I /0proprietà la Per doto archimedea che nexESn a s1 sec =. . hasi E CONTRADDIZIONE Warbitrarionumero CONFERMATE IPOTESI Le SONO1Q È VaIR FqeQDENSO abbEIR acqab1 doto I N FqeQXeIR Esco t 1x-g1: cc c. .,, ., ,hadiqualunque reali almeno razionale in coppia sempre menzounEnEN Ibebra tPer la nib-elsarchimeded proprietà Consideriono 220 +1)e >c. ..me[nasteSi frazeman consideri poi el acmmana c,D'altra parte M-12amarina 1 n+ =b- b-m 2wc= += il infinitilè cercato /anche razionale Quindi se nece sonom tra-ba -aNel blo cercando infinesiin procede sceglie cui si e comeeco e acoso compreso sopra a-buoNel in si sceglie cui coso eaco que de =

Somma dei primi n interi

SOMMA In INTERI PRIMI Del dimostri Si induzione n : per IS(7/8deveLa Gauss dimostrazione emnila giovanesi el i. = ++...2 3 + ++ n2 1+ n-t +...++ +2 2 -n +1 nn -- =nit nitnit nitnit i1) nen(n + := (n= 1)(nche 2)Supponiamo Per Intan domand +esi +siaè civeravene per generico1 nn un= . , j v= 2+ Ninten :ne = :

Somma dei primi n interi dispari

INTERI DISPARI SOMMA 12k PRIMI DEL N : disporik quadrato nxn2. 1k-1 +ang+ an-s+3+ +...1= 2n S2n2n 3+3 + 1++ ++ 1 -- - ... = (24-11 I71. . 12n)nin :=anInIn 2n ?/ 1+n1) 113: 2(2x 1) (n-1)è domandiano Supponion per +sia generico vere = per =verania aieun -n. k 1=(k-1) : e124-2) nitdetant Int+ = : :

Somma dei primi n interi pari

PRIMI SOMMA PARI INTERI DEL n'tNde (sommo n)Per anthfino levotutti ni disposidifferenza -neInottiene e isi primi2 cin +numeri a n ==In2n4 ++ + 22 ++ -... 22 2)n(2nn(2n 2)in 2 + n2+21 +++ +...n = = =+ m+=- k 1= arsenecheper è n'te Supponiamorea è sia vero vera 2 vera generico=e un un n. ,:ren Intenttntn Inten2 2n 2An24 + + ++ + =n= e= anbi

Binomio di Newton e coefficienti binomiali

"BINOMIO NEWTON ntNlahaDI abroDati ksi ken: + , ,DEFFICIENTI BINOMIALI&l'uguaglianza Dimostriamo dapprima supponendo +a = /b/bche /)b engroglienza3l'induzione hesi Usando + eper n =+==new, letbitar efino Supponiamo ed anchecento =lvediamo èsia e nonore severe perveranun Stat !(2) (n) ! : (ln k!nsi cheosservi nprima + ::!=+ & Carmen/4 1)in aiu e)In-4 :+ -+ vb) 3)"me( b)(1(n ipotesi+ ++ per= b) b(n += E()b((bk + 1= (ilbr()bk:-- (nb"+b +bu+3. b"+ (0)132 (2)non ane + =-:= arevy+=er(ulatblpuò ie anclude dimostracinesese si ledescrivereexn = x)

Disuguaglianza di Bernoulli

"DISUGUAGLIANZA BERNOULLI (1DI neN1: 1 X2 - 1nx+ + ,la èPer disuguaglianzano vera verifichiamovefino lo supponiamo sia anchecerto ntrèe pervere sead nx)(1 =+ nx1 +x)")(nx)(1(1 nx)(1+ + + x)+ +x)h+x(n 1)xnx) (ex(n In conclude1(x si1)nx2 (n 121 + ++(n ++ + +1 =++ 1nx e+=x + + Y èda disuguaglianzequi si la strettache osserva per+X 0 an = 1ancheil linomio diSfruttando Newton si cheosserva :Xi21 Bemovelde11 ++ nx= ((xx(V Newtonda-1)x)(n nin+ 1= nx ++ +...2 1)(nENX)" da Bermoveli(n + nx1 x+ -,xin1 1)xz 1)n(n (nEN(1 + Xc-+ -,2: : (4)x KE50 n3x(n qualsiosi(n ?+ per+= un ....,

Esercizio utile

ESERCIZIO UTILE Sieno CASO dimostri Sipositivi che XnuPu la: t re nX,t chenumeri eX=lX . . . . . ., ......, . (xi Vildisuguaglianza tutti ugualistretta è glise +Xi sononon =Consideriono due numeri X2n X20ovvero= ,,X Xz X2 Xz 2+ = 3= = -, , ?iXil(2XXi 2x vXz x== --, ,b) b2 Cabal(a :0 = +- l'uguaglianza abvole sse(2x & 1)& X2x 21 Xixz120 =+ (s-x)= 1-- .xi 2x 1)0+- , disuguaglianze1) l'uguaglianze strette(x, volesse /210 >)X 1 X21 X ) *= X( X== pen= =- =.