Analisi 1 Dimostrazioni

Teoria di analisi 1

1.1 Proposizione, connettivi e predicati

Proposizione: frase che può essere vera o falsa.

Connettivi:

• Negazione: ¬
• Congiunzione: ∨
• Disgiunzione: ∧
• Impl.: =>
• ∀ =/> ¬
• Doppia impl.: <=>

Predicato: <=> una frase che dipende dalle variabili che vi compaiono. Diventa proposiz. se le variabili, che è con tante se e x variables tronte va tipo definito.

Quantificatori:

• Per ogni: ∀
• Esiste almeno uno: ∃
• Esiste uno e solo uno: ∃

Principio di induzione

Principio di induzione: dimostrare che per ogni n, vera una certa proprietà P(n) ∀ n ≥ n₀. Se le ipotesi son soddisfatte, allora è vera:

1. Passo zero: P(m) è vera superando.
2. Se P(n) è vera, è vera P(n+1).

Allora P(n) è vera.

Fattoriali, coefficiente binomiale e formula di Newton

Fattoriali:

• M!=0 se i=1
• M!= m(m - 1) ... 2 · 1 ∀ m ≥ 1

Coeff. binomiale: siano m e k ∈ N con m ≥ k:

(^m⁄ _k) = m! ⁄ k!(m-k)! = m(m-1)...(m-k+1) ⁄ k!

Proprietà:

• (^m⁄₁) = m
• (^m⁄_m) = 1
• (^m⁄_k) = (^m⁄_m-k)
• (^m⁄_k) = (m+1 ⁄ _k)

Formula Newton: (a+b)^m = ∑_k=0 (^m⁄_k) a^k b^n-k Non sene a,m to

1.2 Simboli e insiemi

Simboli insiemi: ∈, ⊆, ∅

Operazioni sugli insiemi:

1. A ⋃ B : l’_i di A e di B
2. A ⋂ B : l’
3. A \ B :

Prodotto cartesiano: A x B ; {a,b}: a ∈ A, b ∈ B

Insiemi numerici:

• N naturali: 0,1,2
• Z interi: ...,-1,0,1, ...
• Q razionali:
• R reali: anche con la virgola

D D non contiene √2 : ScrivoR

Insieme R: È l’insieme dei numeri reali.

Teorema di completezza: A e B sono sotto insiemi di R. Dunque R è completo.

Retta reale estesa: R aumentato di ∞, +∞

Retta reale orientata:

Modulo:

Diseguaglianza triangolare: A ⊆ R si dice limitato

Insieme limitato, maggioranti ed estremo superiore

Definizione insieme limitato: se esiste un a ∈ R tale che esistano due valori m, m̅ ∈ m e m̅ tale che ogni a_i sia compreso a: m ≤ a ≤ m̅

Sopraremante limitato: A ⊆ R è detto superiormente limitato se esiste un M ∈ R tale che ogni a_i sia a ≤ M. Questo M è detto maggiore di A. Un maggiore è quindi qualsiasi M più grande di a_i. Se A: {-10; 11, 12, 13} a_i sono maggioranti. Nello specifico, i maggioranti che appartengono all'insieme, è detto massimo.

Il minimo dei maggioranti si dirà estremo superiore sup A cioè min{M ≥ a_i}. Dunque il max A deve sempre appartenere all'insieme, mentre sup A no. Tipo A: {1, 5} max A = 5 / sup A = 5

Unicità di estremo: se esiste sup A, allora è unico. Così come inf A. La dimostrazione deriva dal fatto che se consideriamo un m come min di A, e m meno min di A, vuol dire che m ≤ m essendo un minimo. Stessa cosa per m' m' ≤ m. Le due soluzioni assieme danno m = m', perciò il min è unico

Teorema caratterizzazione sup inf

Teorema caratterizzazione sup inf: 1) Se A è limitato superiormente, esiste sup A che chiamiamo S. S sarà ≥ a_i ma S - ε i ev. 2) Stessa cosa per inf A: T = inf(A) ↔ T = A e T ≤ a_i ma I_t ≤ ε, T i

La dimostrazione la faccio solo per inf A. È una doppia implicazione perciò devo dimostrare sia : ⇒ che ⇐ per T "e a_i""⇒" considero vero. T = inf A " a_i do noi per definito consegue che T ≤ a_i perciò è vero che a_i è considerato sempre T = inf A, dunque T è un maggiorante

S esiste T ≤ ε a_i esso sarà più grande di I. Per assurdo considero T_t ≤ ε e ε_i

Vuoi dire che T_tε è un minorante e I_t anche, ma T ≤ T_t e I_tε è∀t "di inf A dice che T, due esse a_i e proprio tu, i minoranti. Dunque è una c