Dimostrazioni per orale di Analisi 1

16/11) Disuguaglianza di Bernoulli

Disuguaglianza di Bernoulli (1+x)^m ≥ mx+1

Procedo per induzione

1. (1+x)⁰ ≥ 0⋅x+1 > 1≥1 verificato
2. (1+x)^m+1 = (1+x)^m⋅(1+x) ≥ [uso ipotesi induttiva: (1+x)^m ≥ mx+1] = ≥ (mx+1)⋅(1+x)

(1+x)^m ≥ mx+x+1 ⋅ (1+x)^m+1 = m x²+mx+x+1

2) Binomio di Newton

Ip: (a+b)^m = _k=0^m (m k)^ma^m-k⋅b^k

Procedo per induzione

1. (a+b)⁰ = (0 0 a⁰b⁰ = 1=1 verificato
2. (a+b)^m+1 = _k=0^m (m k)^ma^m-k⋅b^k ⟹ Parte con (a+b)^m+1 = (a+b)^m = (a+b) = moltiplico a e b

Inserisco i termini nella sommatoria (aumento di "1") = induttiva:(a+b)^m = _k=0^m (m k)^ma^m-k⋅b^{k+ (a+b)m+1}= _k=0^m (m k)^ma^(k-1)⋅b

Da ricordarmi allo stesso indice di partenza: k₀ = _{m+1 2}a^m+1 = _{m 0} (m k-1 a^k)b ⟹ ora calcolo k₁.

Unisco le sommatorie ⟹ riconduco allo stesso estremo superiore ⟹ unisco le sommatorie e traslo gli indici ⟹ reintroduco i termini nella(a+b)^m+1 a^m per formula di ricorrenza= _k=0^m (m k)^m k^{m+1 1 k} (a+b) = verificato

16/11) Disuguaglianza di Bernoulli

Disuguaglianza di Bernoulli (1+x)^m ≥ mx+1

Procedo per induzione

1. (1+x)⁰ ≥ 0⋅x+1 ⇒ 1≥1 verificato
2. (1+x)^m+1 = (1+x)^m(1+x) ≥ (mx+1)(1+x) = (mx+1)(1+x) = mx² + mx + x +1 ⇒ (1+x)² mx² + mx + x +1 verificato

Poichè rafforza la disuguaglianza lo ometto (mx²≥0)

2) Binomio di Newton

Hp: Binomio di Newton (a+b)^m = _k=0^m∑ (^m _k) a^m-k⋅b^k

Procedo per induzione

1. (a+b)⁰ = (⁰ ₀)⋅a⁰⋅b⁰=1 verificato
2. (a+b)^m+1 = (a+b)^m⋅(a+b) = (a+b)^m+1 = (a+b)^m⋅(a+b) ⇒ Parto con (a+b)^m = (a+b)^m ⋅ (a+b) ⇒ moltiplico a e b e sfrutto l’ipotesi.

(a+b)^m = _k=0^m∑ (^m _k) a^m-k ⋅ b + _k=0^m∑ (^m _k) a ⋅ b^k ⇒ inserisco i termini nella sommatoria (aumento di "1") ⇒induttiva:

(a+b)^m+1 = _k=0^m∑ (^m _k) a^m-k+1 ⋅ b^k + _k=1^m+1∑ (^m _k-1) a^m-(k-1) ⋅ b

= _k=0^m∑ (^m _k) a^m-k+1 ⋅ b ⇒ ora calcolo k₀ nella prima sommatoria in modo tale da ricordarmi allo stesso indice di partenza: k₀ = (^m ₀) a^m+1 + _k=1^m+1∑ (^m _k-1) a^m-(k-1) ⋅ b ⇒ ora calcolo k_n nella 2°sommatoria per ricordarmi allo stesso estremo superiore ⇒ Σ_k=m+1 = (^m+1 _k=0) a^m+1-k ⋅ b​

Riscrivo tutte per esteso:=_k=0^m∑ (^m _k) a^m+1-k + _k=1^m∑ (^m _k) a^m+1-k ⋅ b + Σ_k=0^mΣ^m_n=1∑ (^m _n-1) a^m+1-n ⋅ b = _k=0+ + _k=1^m∑ (^m _k-1) b

⇛Σ unisce le sommatorie = _k=1^m+1∑ (^m+1 _k=0) a^m+1-k + _k=1∑ (^m+1 _k=m) a^m+1-k ⋅ b

= :: _k=1^m+1∑ (^m+1 _k) a^m+1-k

= _k=1^m+1∑ (^m+1 _k-1) a^m+1-k ⋅ b ⇒ reintroduco i termini nella della sommatoria e traslo gli indici: memo = _k=0^mΣ ((^m _k)) a^m+1-k⋅b = (a+b) verificato

3. Disuguaglianza triangolare

∀ x,y ∈ ℝ

Disuguaglianza triangolare x+y ∣ ≤ ∣ x ∣ + ∣ y ∣

Note che ∣ x ∣ = −x, se x≤0 ∣ y ∣ = − y, se y≤0

Poi

Sommo i membri per ottenere una sola disequazione

∧2 − ∣ x ∣ − ∣ y ∣ ≤ x+y ≤ ∣ x ∣ + ∣ y ∣

Quindi ∣ x+y ∣ ≤ ∣ x ∣ + ∣ y ∣

Di conseguenza x − ∣ x ∣ ≤ x+y

(x+y ∣ ≤ ∣ x ∣ + ∣ y ∣ ) verificato

4. Teorema radice m-esima

Sia x≥0, x≠0, e m∈ℕ, m≥1. Esiste un unico numero reale positivo x tale che x^m=y.

∣ x