Dimostrazioni Communication Technologies

Dimostrazioni Communication Technologies April 2026

1 2° Lecture 1

1.0.1 Funzione SINC a partire da RECT PERIODICO

T /2

Z1 0 −j2πkf t

x(t) e dt

dim.: X = 0 (definizione dei coefficienti di Fourier per k T₀, un segnale periodico)

−T /2

0

T /2

Z1 −j2πkf t

= a e dt

0 (rimuovo gli intervalli dove il segnale è zero: il RECT vale a solo in T₀ −T /2, T/2; fuori è nullo e quindi non contribuisce all’integrale)

−T /2

T /2

−j2πkt/T₀

a e

0 ·

= (a è costante quindi esce dall’integrale; poi integro l’esponenziale sostituendo f₀ = 1/T₀)

−j2πk/T₀

T₀

0

−T /2

a 1 T

h i

−jπkT /T₀ jπkT /T₀

· −= e e

0 0

e (valuto la primitiva agli estremi t = −T/2, t = T/2)

−j2πk/T₀

2T₀

0

T

−t =

2

a 1

h i

−jπkT /T₀ jπkT /T₀

· −= e + e

0 0 (porto il segno meno dal denominatore al numeratore, cosı̀ ottengo una forma più comoda da riconoscere con Eulero)

T

+j2πk/T₀

0

a 1 T

·= sin πk (uso la formula di Eulero)

T πk/T₀ T −jα jα

0 0 0

−e e = 2j sin α, quindi la differenza tra esponenziali diventa un seno)

T sin(πkT /T₀)

0

· ·= a (moltiplico e divido per T per ottenere al denominatore il termine πkT/T₀, cioè la forma tipica della sinc)

T πkT /T₀

0

kT

T ·· sinc

= a (riconosco la definizione)

T T₀ 0

sin(πd)

con sinc(d) = (definizione della funzione sinc normalizzata)

πd

1.1 Funzione SINC a partire da RECT APERIODICO

+∞

Z −j2πf t

dim.: Y(f) = y(t) e dt (definizione della trasformata di Fourier del segnale aperiodico)

−∞

T /2

Z −j2πf t

= e dt (il segnale RECT vale 1 solo nell’intervallo −T/2, T/2; fuori da lı̀ è nullo, quindi i contributi esterni si eliminano)

−T /2

T /2

1 −j2πf t

= e (integro l’esponenziale complesso: la primitiva di e^−j2πft è e^−j2πft)

−j2πf

1

−j2πf

−j2πft

t

−T /2

1 T T

−jπf T jπf T

−= e + e − (sostituisco gli estremi t = −T/2 e t = T/2, poi porto il segno meno dal denominatore alla parentesi per ottenere una forma più comoda)

2 2

j2πf

·1 T sin(πf T)

= (applico la formula di Eulero −e^−jα e^jα = 2j sin α; poi moltiplico e divido per T per far comparire il termine normalizzato f T)

πf T

= T sinc(f T) (riconosco la forma della sinc, perché sin(πd)/πd, sinc(d) = con d = f T)

sin(πd)

sinc(d) =

πd

1.2 Teorema della linearità

⇐⇒

x(t) = a x₁(t) + b x₂(t)

X(f) = a X₁(f) + b X₂(f)

+∞ +∞

Z Z

−j2πf −j2πft

t

dim.: X₁(f) = x₁(t) e dt, X₂(f) = x₂(t) e dt (definizione delle trasformate di Fourier di x₁(t) e x₂(t))

−∞ −∞

+∞

Z −j2πf t

⇒ X(f) = x(t) e dt (parto dalla definizione della trasformata del segnale combinato)

−∞

+∞

Z −j2πf t

= a x₁(t) + b x₂(t) e dt (sostituisco a x(t) la sua espressione come combinazione lineare di due segnali)

−∞

+∞ +∞

Z Z

−j2πf −j2πft

t

= a x₁(t) e dt + b x₂(t) e dt (applico la linearità dell’integrale: posso separare la somma e portare fuori le costanti a e b)

−∞ −∞

= a X₁(f) + b X₂(f) (riconosco nei due integrali le trasformate di Fourier dei segnali x₁(t) e x₂(t))

1.3 Teorema del ritardo

−j2πf τ

−

⇐⇒

x(t τ) X(f) e

+∞

Z −j2πf t

dim.: z(t) = x(t τ) =⇒ Z(f) = z(t) e dt (definisco il segnale ritardato e scrivo la sua trasformata di Fourier)

−∞

+∞

Z −j2πf t

= x(t τ) e dt (sostituisco z(t) con x(t τ) dentro l’integrale)

−∞

− ⇒ pongo a = t τ t = a + τ, dt = da (faccio un cambio di variabile per eliminare il ritardo dentro l’argomento del segnale)