Derivate funzioni inverse, punti di non deriavbilita

Derivate e funzioni a pezzi

f(x) = sin(x²)

f'(x) = 2x cos(x²)

f(x) = sin x

f'(x) = cos x

g(x) = x²

g'(x) = 2x

Funzione a pezzi

f(x) = { sin(x²)/x x > 0; 3x + 2x² x ≤ 0 }

lim_x->0⁺ sin(x²)/x = lim_x->0⁺ x = 0 = f(0)

g anche continua in x > 0

lim_x->0^- 3x + 2x² = 0 = f(0) continua anche x ≤ 0

f'(x) = { (2x²cos(x²) - sin(x²))/x² x > 0; 7 x = 0; 3 + 4x x ≤ 0 }

lim_x->0^- 3 + 4x = 3

lim_x->0⁺ (2x²cos(x²) - sin(x²))/x² = 1

Dunque in 0 la derivata non esiste.

f(x) = sin(x²)

f'(x) = 2x cos(x²)

f(x) = sinx

f'(x) = cosx

g(x) = x²

g'(x) = 2x

Funzione a pezzi

f(x) = {sin(x²)/x   x > 0; 3x + 2x²   x ≤ 0}

limx→0⁺ sin(x²)/x = limx→0⁺ x = 0 = f(0)

f anche continua da dx

limx→0^- 3x + 2x² = 0 = f(0)

Continua anche da sx

f'(x) = {(2x² cos(x²) - sin(x²))/x²   x > 0; 7/3 + 4x   x = 0; x ≤ 0}

limx→0⁺ 3 + 4x = 3

limx→0^- (2x² cos(x²) - sin(x²))/x² = 1

Dunque in 0 la derivata non esiste.

Derivabilità delle funzioni inverse

Teorema

Data f(x) derivabile in un I_xo e invertibile in un I_yo

g^'(x) = ¹⁄_[Dg^-1(y)]

Arcocoseno

y = arccosx

x = cos y

È invertibile [0, π]

Darcocosx = ¹⁄_φ(x) = ^-1⁄_-seny = ¹⁄_-√1-cos²y = ^-1⁄_-√1-x²

Arcoseno

y = arcsenx

x = sen y

È invertibile [-^π⁄₂, ^π⁄₂]

Darcosx = ¹⁄_φ(x) = ¹⁄_cosy = ¹⁄_√1-sen²y = ¹⁄_√1-x²

Arcotangente

y = arcctgx

x = tg y

Invertibile [-^π⁄₂', ^π⁄₂]

Darctgy = ¹⁄_1+tg²y = ¹⁄_1+x²

N.B. cotg x = ^{cos x}⁄_{sen x}

Arcocotangente

y = arccot x

x = cotg y

f'(x) = ¹⁄_{D[cotg y]} = ^-1⁄_{-1-cot ²y} = ¹⁄_-√1-x²

Punti di non derivabilità

Se una f(x) in x₀ è continua ⇒ se f(x) non è continua in x₀ non è nemmeno derivabile in x₀.

• f' finiti ma da destra e da sinistra sono diversi.
• Esempio y = |x| → y' = { -1 x<0; 1 x>0.
• ∃ ma lim_x→x0^- f'(x) = ±∞, lim_x→x0⁺ f'(x) = ∓∞.
• Esempio y = ³√|x| = y' = { 1 / 3√x² x>0 → +∞; -1 / 3√x² x<0 → −∞.
• Se ↑ lim_x→x0^- f'(x) = +∞ anche quello da sinistra.
• Esempio y = x^1/3 x = y' = 1 / 3√x² = +∞ = lim_x→0.
• Se invece lim_x→x0^- f'(x) è finito o viceversa lim_x→x0⁺ f'(x) è infinito.

Osservazione: uno dei due limiti potrebbe ∞ perché f definita solo a sx, o dx → tg verticale.

Teorema di Fermat

Sia \(f:(a,b) \rightarrow \mathbb{R}\) (intervallo aperto). Supponiamo che \(f\) sia derivabile un \(x_0 \in (a,b)\) e che \(x_0\) sia un punto di max e min relativo. \(g'(x_0) = 0\)

Es: \(y = x^3\) \(y' = 3x^2 \neq 0\)

\(g'(0) = 0\)

Il fatto che la derivata faccia \(0\) non significa che ho un estremo, ma è un candidato.

Ma 0 non è un estremo locale ma è un punto di flesso a tg orizzontale.

Infatti dove la derivata fa \(0 \rightarrow b\) ci possono essere estremante o flesso tg orizzontale.

\(x_0\) è un punto \(\Rightarrow f'(x_0) = 0\)

Teorema di Lagrange

Sia \(f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}\) continua in \([a,b]\) e derivabile \((a,b)\) allora \(\exists \, c \in (a,b)\) .c.

\[f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\]

Coefficiente angolare della tangente = coefficiente angolare della secante.

Dimostrazione

Data \(g(x) = f(x) - \left[ \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \right] \cdot (x - a)\)

\(y - b\) eq retta secante e grafico di \(g\) agg tangenti.

\(\Rightarrow g(x)\) è continua e derivabile, inoltre \(g(a) = g(b) = 0\), inoltre \(g\) è derivabile in \((a,b)\).

1° caso \(g(x)\) è costante in \([a,b]\) \(\Rightarrow g'(x) = 0\)

\[0 = g'(c)x = f'(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\]

A questo punto prendo un qualsiasi c ∈ (a, b) col allargo 0 = g'(c) = f'(c) - _{(f(b) - f(a))}/^{(b - a)} = f'(c) = _{(f(b) - f(a))}/^{(b - a)}.

Caso g non è costante. Piché vale il Teorema Weierstess e poiché g(a) = g(b), almeno un estremo assoluto è interno ad (a, b). Sic f tale estremante assotto, per Fermat g'(c) = 0 = f'(c) - _{(f(b) - f(a))}/^{(b - a)} si continua Quxe solato.

Criterio di monotonia

f : (a, b) → ℝ derivabile.

• f è monotona crescnteùa (a, b) ⇔ f'(x) > 0 iu (a, b).
• f è monotona decrescente ⇔ f'(x) ≤ 0 iu (a, b).
• f'(x) > 0 ⇒ f è monotona crescente in (a, b).