Derivate, continuità e sviluppi di Taylor

Analisi degli argomenti: derivate e continuità di una funzione

Definizione di derivata

Data una funzione definita in un intervallo, la derivata della funzione nel punto interno all'intervallo, che indichiamo con ℎ, è il limite, se esiste ed è finito, per ℎ che tende a 0, del rapporto incrementale di ′ relativo a (x + ℎ) - f(x):

f'(x) = lim_ℎ→0 [(x + ℎ) - f(x)] / ℎ

Rapporto incrementale

Il rapporto incrementale di una funzione reale di variabile reale è un numero che, intuitivamente, misura "quanto velocemente" la funzione cresce o decresce al variare della coordinata indipendente attorno a un dato punto:

(x + ℎ) - f(x) / △ = △ ℎ

Derivate da sapere

• Potenze di x
• Funzioni logaritmiche
• Funzioni esponenziali
• Goniometriche

f(x) = 0, f'(x) = 0

f(x) = x, f'(x) = 1

f(x) = 1/x, f'(x) = -1/x2

f(x) = √x, f'(x) = 1/(2√x)

Regole di derivazione

• Prodotto con costante: [c ⋅ f(x)] = c ⋅ f'(x)
• Somma: [f(x) + g(x)] = [f'(x) + g'(x)]
• Prodotto: [f(x) ⋅ g(x)] = f'(x) ⋅ g(x) + f(x) ⋅ g'(x)
• Quoziente: [f(x)/g(x)] = (f'(x) ⋅ g(x) - f(x) ⋅ g'(x)) / g(x)2
• Composta: [(f(g(x))] = f'(g(x)) ⋅ g'(x)
• Potenza: [f(x)]n = n[f(x)]n-1 ⋅ f'(x)

Derivabilità e continuità

Una funzione che non è continua non è derivabile, ma se risulta essere continua non per forza è derivabile. Perciò, verifichiamo che una funzione sia continua; se così non fosse, sapremmo a priori che non è nemmeno derivabile.

Punti di non derivabilità

• Punto angoloso: un punto dove la derivata destra e sinistra non coincidono.
• Flesso: un punto in cui la funzione cambia di concavità. I flessi possono essere a tangente obliqua, orizzontale o verticale, ma solo quello verticale è un punto di non derivabilità.
• Cuspide: nelle cuspidi il limite destro e sinistro del rapporto incrementale tendono a infiniti di segni opposti.

Tangenti

Per trovare la retta tangente ad una funzione si procede in questo modo:

1. Calcolo di f(x0)
2. Scrivo il fascio di rette in funzione di m e x0:
3. Calcolo f'(x0)
4. Sostituisco al posto di m
5. Nel caso volessi calcolare la normale della tangente basta fare l'antireciproco di m: -1/m

Massimi, minimi e teoremi

Massimo assoluto: Data una funzione il cui dominio è D, un punto è punto di massimo assoluto se per ogni x ∈ D abbiamo che f(x0) ≥ f(x). Il valore f(x0) è il massimo assoluto della funzione.

Minimo assoluto: Data una funzione il cui dominio è D, un punto è punto di minimo assoluto se per ogni x ∈ D abbiamo che f(x0) ≤ f(x). Il valore f(x0) è il minimo assoluto della funzione.

Il massimo e minimo relativo si intendono invece in una funzione definita in un intervallo [a; b], dove x0 ∈ [a; b], e abbiamo rispettivamente un massimo relativo o un minimo relativo a seconda del contesto.

Concavità

La concavità di una funzione dipende essenzialmente dal confronto tra la funzione stessa e la sua derivata prima in un intorno di x0. Se in questo intervallo abbiamo che f'(x) > 0, allora la concavità della funzione...