Definizioni e teoremi con dimostrazioni di Analisi 2

Teoria analisi II

Teorema 1.4

Date a,b,f funzioni continue in I s.t.o, per ogni y₀, y₁ ∈ ℝ il problema di Cauchy:

y'' + y'a(t) + yb(t) = f(t)

y(t₀) = y₀

y'(t₀) = y₁

Ha un'unica soluzione y ∈ C²(I)

Teorema 1.5

L[y] = y'' + a(t)y' + b(t)y = f(t), L operatore lineare.

• A. L'insieme delle soluzioni dell'omogenea (y_f = 0) è uno spazio lineare.
• B. L'integrale generale dell'equazione è dato dall'integrale generale dell'omogenea più una qualunque particolare delle non omogenee (y_f = 0).

Dunque se date z₁, z₂ soluzioni dell'omogenea: Lz₁ = 0, Lz₂ = 0 e λ₀, λ₁ s.c. costanti:

L(λ₁z₁ + λ₂z₂) = Lλ₁z₁ + Lλ₂z₂ = 0

Dunque anche λ₁z₁ + λ₂z₂ risolve l'equazione omogenea "insieme delle soluzioni dell'omogenea risolve essendo chiuso e dunque un sottospazio vettoriale di C²(I).

B. Date y_f soluzione particolare dell'incompleta e z₀ soluzione dell'omogenea, L[y_f = f, Lz₀ = 0 sempre per la linearità di L:

L(y_f + z₀) = L[y_f] + Lz₀ = f + 0 = f

Mostro quindi che y_f + z₀ è soluzione dell'equazione completa.

Teoria analisi II

Teorema 1.4

Date a, b, f funzioni continue in I stato, per ogni y₀, y₁ ∈ ℜ

Il problema di Cauchy:

y'' + y a(t) + y b(t) = f(t)

y'(t₀) = y₀

y'(t₁) = y₁

∃ unica soluzione y ∈ C² (I)

Teorema 1.5

L y = y'' + a(t)y' + b(t)y = f(t), l'operatore lineare

• L'insieme delle soluzioni dell'omogenea (y₀ = 0) è uno spazio vettoriale
• L'insieme delle soluzioni dell'ordinario è dato dall'integrale generale dell'omogenea più una particolare dell'ordinario (Ly = f)

Dim.

• A. Date z₁, z₂ soluzioni dell'omogenea: Lz₁ = 0, Lz₂ = 0   e λ₀, λ₁ sui coefficienti:

L(λ₁z₁ + λ₂z₂) = Lz₁λ₁ + Lz₂λ₂ = 0

Dunque anche λ₁z₁ + λ₂z₂ risolve l'equazione omogenea. L'insieme delle soluzioni dell'omogenea risulta essere dunque un sottospazio vettoriale di C²(I)

• B. Date y_p soluzione particolare dell'ordinario e z₀ soluzione dell'omogenea, Ly_p = f e Lz₀ = 0

L(y_p + z₀) = Ly_p + Lz₀ = f + 0 = f

Dimostra quindi che y + z₀ è soluzione dell'ordinario completo.

Teorema 1.6

Lo spazio delle soluzioni dello spezzone ha dimensione 2.

Questo significa che ci sono due soluzioni dello spezzone \( z_1(t) \) e \( z_2(t) \) tali che:

• Tra di loro sono linearmente indipendenti, ossia non sono un multiplo dell'altra.
• Qualsiasi altra soluzione dello spezzone è una loro combinazione.

Tale è con essi il superficie generale dello spezzone è dato dalla formula:

\( c_1 z_1(t) + c_2 z_2(t) \)

Dove a variare sono i coefficienti \( c_1 \) e \( c_2 \).

Teorema 1.7

Date \( z_1(t) \), \( z_2(t) \) due funzioni \( C^1[I] \) saranno ancora autonome, si cercano linearmente indipendenti se e solo se:

• \[ det \begin{pmatrix} z_1(t) & z_2(t) \\ z_1(t) & z_2(t) \end{pmatrix} \not= 0 \text{ in modo \textbf{Unponskiiana}} \]

\( \forall t \in I \) Posso che trovi un \( t_0 \in I \) per cui questo det \(\not= 0 \), affinché così accada per tutti gli altri punti.

\( det = 0 \) in questo oppure \( det \not=0 \) in questo punto di \( I \).

Cap 2

Proposizione 2.1

\( r(t) = (r_1(t), r_2(t), \ldots, r_u(t)) \) dove \( r_i \colon I \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)

\( l = (l_1, l_2, l_3, \ldots, l_u) \in \mathbb{R}^u \)

\( r(t) \rightarrow l \) \(\Leftrightarrow\) \( r_i(t) \rightarrow l_i \) per ogni \( i =1,2, \ldots, u \)

Quindi \[ |r(t) - l |^2 \leq \sum_{i=1}^{u} |r_i(t) - l_i |^2 \]

Peano se \( r_i(t) \rightarrow l_i \) cerca \((r(t)-l)^2 = \sum_{i}^{\ldots u}\) e trasversa\( |r_i(t) - l_i| \) allora lo stimola a tenda a \( 0 \) e è dimosnico come \( r(t) \rightarrow l \)

Definizione 2.4

Versore tangente - Regolare

Sia I un intervallo ⊆ ℝ. Sia data una curva regolare unita alla curva r: I ⊆ ℝ → ℝⁿ dove r ∈ C¹(I) e r'(t) ≠ 0 ∀ t ∈ I.