Curve e superfici

Revisionato il 17/09/2026

di lauramagoni

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Appunti fantastici, un formulario con cui ho studiato molto bene che sono stati presi per l'esame di Curve e superfici del prof Alessio Fumagalli primo anno, secondo semestre di design della …

Esame Curve e superfici

Facoltà Design

Dal corso del Prof. Fumagalli Alessio

Università Politecnico di Milano

A.A. 2024-2025

66 pagine

Appunti esame

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Estratto del documento

FORMULARIO

Sistemi di riferimento

B XB-Xa)

1D : X XB

= = 2 (yB

X) Ya"

(XB

X EB

yp 4

: XByn

xa +

Xm +

20 +

0 =

= - = =

- EB)

YB2

XB2 (za

(Xa

B + ya

3D +

= - -

Trigonometria

Ogradi ° Grad 2

360

: :

sino-lunghezza opposto

CAT CAT CATopp

Adiacente tant Sino

coso =

= =

lunghezza CATAD

IPOTENUSA

Ipotenusa coso

arcton

sin(0) (0)

cos(0) ton

0 0

arcsin arcos

= =

Sino"

Eb coso"

Ac Be Accoso sino

Ach

+ ac ac

+ +

= = .

= Ecostosino (cos] cos(o)

sino

costo costo

1 +

= =

Th I

Vettori ·

↓ dato

dove 2

+ 2

a = del

regola

dalla parallelogramma ↳

( d

a ↳

2 +

= =

- Y

M

~ =un

i Vy

(yV +

N

Cy ay +

= x a

- a +

ax +

= =

PRODOTTO de

SCALRE W

UNO

CON = unitario

modello

direzione uguali

vettore 1

VERSore verso

con e ma

= A

= = T

= V 7

(VVV

Vy 1

1x / - IXI

- %

% ge

I 1

NATURAU

VERSORI =

= =

& VETTORE

BECOMPOSIZIONE UN SULL BASE

DI

M

* v

xxi

PRODOTTO SCALARE

↳exbx yo

· 6 axbxtoyby a

· = 60 .

I a

Costo , a cost 0

Costo =

= ,

CALCOLARE

COME O enby

ex6x

12/16) ayby

axbx +

↳ Cost

cosa +

2 = = = #Id

onby

exox +

& arcos

= #Id

PRODOTTO VETTORI /sing

# 0

X se 0 =

& 0

= = o

Interpretazione vettorata

del l'area

il modulo prodotto

geometrica G è

: e

del Alex

parallelogramme lellEIsino

↳ I I sino Alex sono

C LCOLO PRODOTTOISANDO SCOMPOSIZIONE

DEL BASE

SULLA

LA

A

aybz-azby

azbx axbz

C -

= axby-aybx

Matrici

XJS Ac

Aé

A 2x3

= Fo

D'IDENTITA

MATRICI

% =

22 = 001

SOMMA TRA MATRICI =S

A Bi

24 a +

PRODOTTO SCALARE

PER UN

- .

-A

2 A

4 2

= = =

PRODOTTO 2

TRA MATRICI 12

↓

BA2x Ben

Pé

AB 2 X2

= 1

P 1 0

3 3

2 7

+ + =

= :

. . 4)

= 2

0 2 5

1 +

+ = -

= . -

P 1)

(

P2 3

+ 3

1 0

0 + =

= . -

- .

. 4)

1) (

(

Pzz 5

5 +

0 0 0

+ =

= -

. .

DETERMINANTE MATRICE

UNA

BI

A-[a detAtaanA] dett 1 -

[2] H)()(0) (0)

(2013) +

= 1)

(1)(1)(2) (3)(1)(

(0)(d)(d) 1

2 =

- - -

(B)

(AB) (A)det AA"

det det A-A

particolare I

in =

= det(2)

(AA )

det 1

= = det(At)

(A) det = )

(A

det =

= (1)

det

Trasformazioni geometriche

trasformazione

matrice

A A

# geometrica

= motrice

& identita

- d

(A

= 21

V =

V

= -

- = -

- ~

[

dato = Vy)

Ak A(vxi AIvx

W AINY

+ =

= =

A quind

D'IDENTITA

TRASFORMAZIONI

* (*

i Ax

Al 1

= =

A I

SCALING ORIGINE BEGU ASSI

CENTRO

BI I

=* %

= I

* discaling

il fattore

[ SI ke

= +* 70

S = =

SCALING UNIFORME

NON =

i ho *

S Si

i Si =

= =

ROTAZIONE NEL PIANO

= =

sino=

R d

matrice rotazione

di go

Jos In

[ =

RI RI

= =

ROTATORI SPAZIO

NELE

* * uguale fa

Rx risulta

i perché perno A

% 00

i 1 COSO-SINO

O

= sino coso

sono

Ry * In

EX

TAGLIO En D

TI tono

[ 1

= = -

RIFLESSIONE (2])

2(in)1 1

I

* W w

1 + = -

= =

R = = A

↓ 5

& - 2 My

1 -

RI-2 2

PROTEZIONE ORTOGONALE =

[X

↓* -

(I)( (1n)

* P

I 2

I w

k =

= + =

- =

COMPOSIZIONE TRASFORMAZIO

DI E

R

=I

P 10

INSIEMI NUMERICI )

N

Naturali 2 3

numeri 1

: =

· ,

, ...

( S

Inter

numeri 0 2

-1 2

-2

· , ,

.. ..

del

I tipo cont

numeri

RAZIONALI

numeri e con 0

· , .

IR razionali

della

tutti retta contengono quelli

numeri

numeri REALI numeri e

· : scrivibili frazione E

che es i

come

sono

non ,

. ...

R

Nc cl Q

N

- Z

SISTEMI DI RIFERIMENTO

Monodimensionale

linea orientata

retta

· positiva)

(negativa

divide retta semirette

Origine 2

in e

· di

scola misurazione

· ↓ P

1U -

1 .

S semiretta semiretta +

3Xn 2

5Xa

Xp = =

= - (asassa)

del rif

I identificabili

di da coordinata

sistema

punti 1D 1

sono 51

B XB-Xal 31

/Xw

Ep 12

Xpl 1

generici

DISTANZA AeB 3

TRA PUNTI = =

= -

= = -

BA

AB =

definizione dati

distanza consegno XB-Xa

= da

dBea Xa-XB =

= -

MB

AM XA XB

PUNTOMEDIO M +

XM =

= 2

M B

A 3

M 1

X +

M

A 1 2

: : =

11 I =

B 3

XB =

Bidimensionale

CORDINATE)

Y 2

Il P

- - - - - 8

· P(Xp Yp)

YP ; 2)

Q(2 : -

14 k( 2)

3 :

- -

-- I

" X(ASCISSE)

↳

----------- QUADRANTE

2 X 430

30 ,

. . . X10

# / >

#I # X10

Ill y10

, 410

X30 ,

TRA PUNTI

DISTANZA 2 (yB

Xa) Ya

(XB

Xp FB

Po +

+ =

= -

PUNTO MEDIO yB

XBym

xa +

BM

ATT Xm +

= =

Tridimensionale Il

Q Asse

nZ(Quota) X Y

z1 ,

- della

regola DX

mano z)

-- medio

indice

(pollice X y e

Q" ,

~ 2) (XP

- - - - - - - - - P(3

i 1 Zp

YP

: : ;

- ;

nel xy regionale

piano posso

3 sul bidimensionale

I piano

i XQ

i Q

X

L

Distanza tra 2 punti

pp P(XpiYpiO)

op P(XpiYpizp) P

op Zp

+ =

= A pi

yph

Xpz

-P +

= 2

Y

yp Xp

Öp +

+ +

= = -

XB2 (za

(xa

E + in +

= - -

- pi

L YP

TRIGONOMETRIA

Angolo tra

di semirette origine

porzione compreso 2

piano con comune

: T angol angoli

(90 gli

a Per

retto convenzione

, T

o % °, positivo

(180 30

Piatto senso

misurano

si in

· 3. Cantiorario)

(360 -

giro

I &

Angoli gradi

si misurare L

possono in la

radianti, radiante corrisponde

ba tale

dell'angolo la

cui

misura per for

llarco) dell'arco uguale

lunghezza è raggio

O a ler

tale rad

r o a

misura

per cui

=? uguali

Trad 1

se sono =

medi estremi

Ogradi : prodotto

prodotto

360°

Grad 2 2

360 =

: : =

= =

: 45.

° Grad 0

Grad

360

90 2

es :

= =

Seno, coseno e tangente EBB

C 5

2 B'C

potenusa

I

2 J * C'A

CA 0

8 =

0 .

o 8

U =

B A

cateti -

lunghezza opposto

Cat B'C'

BC CATOPP

Sina" Sino

sino= =

- =

lunghezza ACI

a IPOTENUSA

ipotenusa B

CAT ADIACENTE AB = SING Ec

BC AC B

COSO coso

= =

. .

= ACI

AC

IPOTENUSA Sino"

Eb coso"

Ac Be Accoso sino

Ach

+ ac ac

+ +

= = .

= Ecostosino (cos] cos(o)

sino

costo costo

1 +

= =

Th I

CATOPPSO

teno o O

= V i

sind coso arcton (0)

cos(0)

sin(0) ton o

0 arcos

arcsin =

ES B

C adiacente

AB 1 o

= 1

AB 2 23

= =

coso AC = = = =

O 3

cost 33

- 2

A

· Al

BC

SINO BC Sin

= = .

AC la definizione

Estendiamo ton

di coseno

seno e

, inferiori di

angoli

introducono circonferenza

assi

gognometrica

, 1

yeX r =

entengo One

opposto

è o

1 PH

Op a

= Y C

Sino =

guad

Se -casos o

l O

Sing >

& ⑮ Yp

Sino 0

Yp >

Sino 0

> =

= coso Xp/0

cosa Xaco =

T

< <

Z

& Yp

Sino 0

cosa Xaco

T <

Z &

RIDUZIONE QUADRANTE

AL 2 I

P

I

/2 B

de Sind

; d

cosa π

= - HI0 Hi

cosa

OH = 3

p OP'H'

P 1 OPH

r e

= = = Bi congruenti

P'H' costruzione

B

PH Sono

e x

cos(d)

OH' H

H =

= coS(B) -cos(B) sin(B)

cos(d) sin(d)

OH' = =

= (B) =

sin(d)

cos(0) 1

B Sin

Ent 120 -cos

es & = =

= =

. 3 60

B 1

π =

- =

= &

RIDUZIONE QUADRANTE

AL 3 ·

I ,

BE

E B

& d - 2

cosa

OH = &

POHEPH'

1 altern

Perché angoli intern

Bi congruenti

op'H'

B Sono

Oph

= - -

P e=

OH'

2 OH

P =

OPH OP'H

Cos(B) cos(d) (B) (d)

Sin Sin

= = -

- (B)

cos(0) (B)

(d)

Sir

-cos sin

= - Cost =_

= S -cosB

es =

. =

-Sin

Sind

B d t =

= M &

RIDUZIONE QUADRANTE

AL 3 Di

En 2πB

& d

; = -

O

cos(B) sin(B)

cos(d)

= sin(d)

+ =

sin(B)

cos(B) sin(d)

cos(d)

= - =

= Cost =

sin

es . IBB = -1

- cosa

2 Sind

= = 2

VETTORI 1 indice

direzione 5) can a

· -

#I

Caratterizzati Grassetto

verso son

appare

7 modulo norma

ec -d T

↳ &

L =

V

vettore -

opposto : S 7

Somma e differenza ·

dato

↓ dove è

+ 2

a = del parallelogramme

regola

dalla d

76)

b ↳

a +

= =

Ya la data

algebrica

rappresentazione da

= Tux

v vy

= m

* v

N

Cy ay +

↳ VX b

ax +

] ) =

Es a

: = =

) -a 2,=

(

a +

+ =

= - =

Punti e vettori

↑

P E

P(x) scelare

PRODOTTO - I

X

. scefore

· lettere

Prodotto per uno scalare

af w

quind

JeR de = Jay

Wy =

-di -

1(z 0ds

163 t

- 2da =

= =

= - #3

1 =

2 ,

Jay

Wi W

v w

= = =

= T

w -

h 7

- >

L

L Wz

= 1)v

( (

We x

x =

= , & B

Jg* Jak Wo

Ws Wa =

= =

paralleli

Diciamo vettri tale

esiste y

che che

sono

z se numero

= G &

2 =

= = = S

estende =

Versori con

il direzione

indicato

Dato è

associato

N 1

versare a e

- uguali modello unitario

verso

e m

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