Costruzione di macchine - seconda parte

TAGLIO E TORSIONE

Azione tagliante su un'area - corrisponde a far scorrere le due facce della regione -

Tmed = Ty / A -> t media sulla superficie considerata

In realta non e detto che la t sia uguale in ogni punto, quindi nella realta si ha t(x,y) -> tzx(x,y) e tzy(x,y)

consideriamo un cubetto - sulla faccia di normale x, ci possono essere delle t parallele ad y (e positiva quando e' concorde all'asse y)

convergono o divergono dallo spigolo comune

Esiste la legge di reciprocita: txy = tyx - deriva dalle condizioni di equilibrio e dal fatto che hanno uno spigolo in comune - considerando il caso bidimensionale:

Se non fossero uguali avrei un momento netto rispetto ad o

le leggi di reciprocita valgono in tutte le direzioni: txz = tzx, tzy = tyz, txy = tyx

le t sono il al bordo della regione.

t della superficie esterna sono 0 - perche non ho nessun vincolo che applica tensione, la faccia e' scarica, non c'e sollecitazione (situazione alla de Saint Venant).

tzx = tzx = 0 - anche se volessi tracciare una txz, cercherei una reciproca tzx, che non c'e - quindi anche la txz deve essere = 0.

La distribuzione delle t deve essere tale da rispettare la legge di reciprocita

le t hanno direzione solo parallela al bordo, non l perche nella superficie esterna non c'e nulla che possa equilibrare.

sull'asse di simmetria le t sono parallele rispetto a quest'ultimo. nell'intersezione tra il bordo e l'asse di simmetria superiore ed inferiore per reciprocita la t e nulla.

Formula di Jourawsky per la soluzione approssimata delle tensioni T di taglio, nell'ipotesi che la sezione sia compatta (cioe priva di buchi e cavita) e simmetrica; il caso considerato e quello della sezione rettangolare, alla quale e applicato il taglio Ty.

q = dTy/dz T = - dMf/dz → dMfx/dz = -Ty

σz = Mfx · y / Jx → eq. di NAVIER

gradiente del momento, che non e costante, quindi a z + dz il momento e Mf + dMf

Il taglio Ty produce delle t, che dovranno essere tendenzialmente parallele ad y; consideriamo una generica corda: segmento dato da una linea chiusa intersecata con la superficie, le t in corrispondenza della corda si considerano uniformi.

A* - elemento tra il perimetro di sezione e la corda, "volume di controllo" che serve per ricavare la formula - non e un'area infinitesima, ma e finita, e l'area della superficie racchiusa dalla linea chiusa.

Ridisegniamo il cono di trave in vista laterale:

Equilibrio alla traslazione in z del volume di controllo - somma di tutte le forze in direzione z deve essere nulla:

- ∫_A* σz dA + ∫_A* (σz + dσz) dA + τyz · b · dz = 0

- ∫_A* σz dA + ∫_A* σz dA + ∫_A* dσz dA + τyz · b · dz = 0

τyz · b · dz = - ∫_A* dσz dA

τyz · b = - ∫_A* dσz/dz dA

Ricordando che σz = Mf_x · y / Jx

τyz · b = - ∫_A* d/dz (Mf_x · y / Jx) dA = - ∫_A* dMf_x/dz · y/Jx dA = - ∫_A* (-Ty) y/Jx dA = Ty/Jx ∫_A* y dA

τyz · b = Ty Sx(A*)/Jx

Quindi τyz = τzy = Ty Sx(A*)/(Jx · b) FORMULA DI JOURAWSKY

Il momento statico di una superficie rispetto al suo baricentro è nullo -

τ dipende dalle direzioni; T dipende da taglio che viene applicato;

S non è di tutta la sezione, ma solo di quella racchiusa dalla linea chiusa, utilizzata per studiare la superficie; J riguarda tutta la sezione; b = lunghezza della corda

se fosse:

τzx = Tx Sy(A*)/(Jy · h)

parabola dei moduli

A* = (h/2 - y)b

Sx* = A* ((h/2 + y)/2) = b/2 (h/2 - y)(h/2 + y) = b/2 (h²/4 - y²)

tauzy(y) = TS/Jb = Ty Sx(A*)/Jx b = Ty (b/2) (h²/4 - y²) (12/bh³) 1/b = 6Ty/bh³ (h²/4 - y²)

andamento parabolico dei moduli di tau -> |tauzy(y)|

tau max (y=0) = 6Ty/bh³ h²/4 = 3/2 Ty/bh = 3/2 Ty/A = 3/2 taumed

La trave a flessione cede per colpa delle G

Andamento delle tensioni di una sezione circolare

andamento tau non sono uniformi

in mezzera c'e tau max

tau max =?

tauzy = Ty Sx(A*)/Jx 2r

per la tau max prendi Amax, che e il semicerchio

A* = pi r²/2

yg = 4r/3 pi - dai manuali

Sx(A*) = pi r²/2 4r/3 pi = 2/3 r³

timax = Ty 2r³/3 / (pi r⁴/4) 2r = 4/3 Ty/pi r² = 4/3 Ty/A

nella sezione piu' sollecitata che e' quella dell'incastro, quando applico una forza P:

tau max = 4T/3A

non c'e una corrispondenza dei punti massimi delle sigma e delle tau

sezione rettangolare cava

T = T·S / Jb

Fibra 1: Tzy = Ty·Sx(A*₁) / Jxx·2·tw

mano a mano che vai avanti tagli sempre lo stesso "bi", quindi)

Tzy₂ = Ty·Sx(A*₂)