Appunti completi lezioni di Costruzione di macchine - Parte 2

POLITECNICO DI MILANO

Autore

Andrea Viale

Ingegneria Meccanica

Corso di Laurea: 2025/2026

Anno Accademico:

I

Semestre: Costruzione di Macchine

Insegnamento: 062374

Codice Insegnamento:

10

Numero di CFU:

Patriarca Luca

Professore: Costruzione di Macchine 1 – P. Davoli

Libro di testo (di riferimento):

Descrizione:

Il seguente file è interamente basato sulle lezioni frontali del corso ed integrato tramite il libro di

testo di riferimento, indicato dal professore. Sono inoltre presenti alcuni approfondimenti

riguardanti gli argomenti più complessi e delicati, all’interno degli stessi paragrafi, oppure a parte.

Cosa include il seguente file:

Lezioni teoriche sui fondamenti della progettazione meccanica e sulla costruzione di macchine

DALLA 17 ALLA 28

Documento redatto a scopo di studio personale. È severamente vietata la riproduzione, la condivisione e la rivendita non

autorizzata a terzi. Questo materiale non sostituisce lo studio sui testi ufficiali o la frequenza alle lezioni.

Programma del corso:

Nella prima parte del corso vengono introdotÝ i concetÝ fondamentali della

• schematizzazione degli organi meccanici (assi, alberi, ingranaggi, cuscinetÝ, telai, giunti,

molle, ecc.) per lo studio dell'equilibrio e del calcolo delle reazioni vincolari, delle azioni

interne, degli sforzi e delle deformazioni, in base al legame elastico lineare, nonché della

deformabilità delle strutture. Verranno trattati i sistemi isostatici e semplici sistemi

iperstatici, con particolare attenzione all'analisi cinematica dei sistemi.

Successivamente il corso ha come obietÝvo l'impostazione del dimensionamento e verifica

• dei più elementari componenti e organi delle macchine. A questo scopo è illustrato il

comportamento meccanico dei materiali utilizzati in campo ingegneristico sollecitati

staticamente e a fatica, sono quindi evidenziati i coefÏcienti che tengono conto della

presenza di intagli (coefÏciente di sovrasollecitazione teorico, Kt, sperimentale, Ks, e di

fatica, Kf) nei componenti reali. Lo stato di sforzo e di deformazione nel piano è studiato per

determinare le sollecitazioni e le direzioni principali o in una prefissata direzione.

Infine, sono illustrati i principali criteri di resistenza statici e a fatica per materiali dutÝli e

• fragili.

Versione del file: 1.2

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Nota dell’autore:

Grazie per il tuo acquisto!

“

Grazie di cuore per l'acquisto e per la fiducia che mi hai dimostrato! Ho dedicato molto tempo e

cura alla stesura di questo documento; spero vivamente che queste dispense ti siano utili per

alleggerire lo studio, comprendere al meglio la materia e per superare l'esame con successo.

Se ti sei trovato bene e reputi questo materiale di qualità, ti chiedo un piccolo favore: parlane con i

tuoi amici qualora dovessero aver bisogno di appunti chiari e afÏdabili su cui prepararsi. Il

passaparola è il supporto più prezioso che tu possa darmi: il ricavato di queste vendite, infatÝ, è ciò

che mi permette di continuare questa atÝvità, dedicando tempo e risorse alla stesura, alla

revisione e alla pubblicazione di nuove dispense per i prossimi corsi.

Un grande in bocca al lupo per il tuo esame e per il proseguimento dei tuoi studi! ”

Andrea

Altre mie pubblicazioni:

- Dispense di Fisica Tecnica (lezioni, esercitazioni e riassunti)

- Dispense di Principi di Ingegneria Elettrica (lezioni, esercitazioni e riassunti)

- Dispense di Statistica (lezioni, esercitazioni e riassunti)

- Dispense di Meccanica Applicata alle Macchine (lezioni, esercitazioni e riassunti)

- Dispense di Meccanica dei Fluidi (lezioni, esercitazioni e riassunti)

- Dispense di Tecnologia Meccanica (lezioni, esercitazioni e mappe mentali)

Elenco aggiornato a Luglio 2026 "Se ho visto più lontano, è perché stavo sulle spalle di giganti."

Isaac Newton

— Sir

Lezione 17 - 14/11/25

Energia associata alla flessione pura

Dato un corpo di lunghezza soggetto a flessione pura nellʼipotesi di materiale

L

elastico e lineare

Dato che L

L

M M M

∫

∫ =

=

Δθ =

= = ⇒ dk

dθ

dθ k dx L

dk ⋅ ⋅

⋅ E J E J

E J 0

0 (z) (z)

(z)

necessaria a flettere il corpo risulta

allora lʼenergia 2

1 1 M L

Δθ =

=

L M 2

2 E J (z)

Flessione - Effetto di più forze

Dato un corpo soggetto ad un momento flettente che provoca uno stato di

M

flessione del corpo ed una forza assiale applicata lungo lʼasse neutro del

N

corpo, considerando il sistema di riferimento baricentrico a distanza dalla

c

faccia superiore e da quella inferiore

b PSCE

analizzarlo tramite il (principio di sovrapposizione delle cause e

È possibile

degli effetti)

Lezione 17  14/11/25 1

1  Forza assiale (normale) N

Tale forza provoca su una generica sezione del corpo uno sforzo normale

N

=

σ x A

2  Momento flettente M

Come precedentemente visto (corpo soggetto a flessione pura), usando la

formula di Navier è possibile calcolare lo sforzo a cui una generica sezione del

corpo è soggetta a causa del momento flettente

M

= −

σ y

x J n

In totale

Il corpo sarà soggetto ad uno sforzo sulle facce superiore ed inferiore pari a

N M N M

=

= −

+ σ

σ c b

x

x inf

sup J A J

A

essi sono i due punti (facce) a sforzo massimo trovandosi alla massima

distanza rispetto allʼasse neutro

Forza decentrata

Nel caso in cui la forza assiale sia decentrata rispetto allʼasse neutro, per poter

P

analizzare lo stato di sforzo del corpo è necessario spostarla lungo lʼasse neutro,

in quanto le azioni interne (e le formule che conosciamo) sono riferite agli assi

baricentrici

Lo spostamento della forza provoca la comparsa di un momento flettente pari

M

alla forza per la distanza a cui originariamente si trovava rispetto allʼasse neutro

≡ =

N P M P e

Lezione 17  14/11/25 2

È poi possibile analizzare il sistema come precedentemente visto, ricavando che

lo sforzo subito dal corpo è pari a N M P P e

= = = +

+ y y

σ σ

x x sup J

J A

A

con il segno positivo dovuto alla direzione delle fibre tese, verso il basso

È inoltre possibile individuare la pozione dellʼasse neutro imponendo che lo

sforzo sia nullo P P J

e

= 0 ⇒ ( ) 0 ⇒ =

+ −y =

σ y

0 0

x A J A e

Flessione deviata

Si parla di flessione deviata quando il vettore momento flettente non coincide con

gli assi principali di inerzia (dunque la sezione non ha doppia simmetria )

=

J J



x y

Dato un corpo soggetto ad una forza “inclinataˮ rispetto agli assi principali di

P

inerzia

Bisogna dunque scomporla lungo di essi

= sin = cos

P P θ P P θ

z y

Tali forze provocano dunque la comparsa di due momenti sul corpo, i cui punti di

momento massimo sono allʼincastro del corpo

= cos = sin

M P L θ M P L θ

z y

Tali componenti possono essere ricondotte ad un vettore momento flettente

(anchʼesso deviato) 2

2 =

= + P L

M

M M y

z

Lezione 17  14/11/25 3

Anche in questo caso, per trovare lʼasse neutro bisogna imporre che lo sforzo sia

nullo M M M M J M

y z y z z y

= 0 ⇒ =

− =

= ⇒

σ z y z y y z

x J J J

J J M

y y y

z z z

Che dunque individua una retta passante con angolo che è possibile

=

O β θ



ricavare come y M J J

y z z tan

=

=

tan = θ

β M J J

z z y y

Flessione deviata con più forze

Si analizza come visto precedentemente, tramite lʼindividuazione dei momenti

flettenti ed il PSCE

Le forze sugli assi principali dʼinerzia sono

= sin = cos

P P θ P P θ

z y

E dunque i momenti allʼincastro risultano

= cos = sin

M P L θ M P L θ

z y

Il momento flettente totale quindi 2

2 =

= + P L

M

M M y

z

E dato che lo sforzo provocato dalla forza assiale è allora lo sforzo totale

= F

σ x A

risulta F M M

y z

= −

+

σ z y

x A J J

y z

Lezione 17  14/11/25 4

Ed usando il PSCE è possibile individuare il punto soggetto allo sforzo massimo:

è possibile infatti individuare le zone soggette allo sforzo maggiore (segnate in

arancione) per ogni contributo

Momento Momento Forza assiale

M F

M y

z F

M h M b

+ +

+ y

z = =

= σ σ

σ max

2

2 max

max J b h

J y

z

Dato che la zona soggetta allo sforzo maggiore per i momenti è

quella più lontane rispetto al suo punto di applicazione mente per la

forza assiale lo sforzo è uniformemente distribuito su tutta la

sezione; il punto di sforzo massimo risulta quindi

flessione deviata

In generale -

 Individuare il baricentro

sistema principale dʼinerzia

 Individuare il

 Scomporre forze e momenti esterni lungo gli assi principali di inerzia

Calcolo degli sforzi tramite equazioni



Sforzo da forza assiale Sforzo da momento di Euler-

(equazione

Navier)

N

=

σ M

A =−

σ y

J n

Lezione 17  14/11/25 5

Sforzi di taglio

Dato che il momento è la derivata del taglio

dM ( … ) ( )

= T x

dx

allora se il taglio è nullo il momento è costante; se invece è presente unʼazione di

taglio il momento ha un andamento lineare crescente

Dunque, dato un corpo soggetto ad una forza di taglio T

Ipotesi:

Sezione compatta: disegnando una linea chiusa allʼinterno della sezione,

essa contiene solamente punti appartenenti allʼarea (dunque non presenta

fori)

È possibile considerare un elemento infinitesimo della sezione ed esso sarà

soggetto ad un sforzo che è possibile supporre costante lungo per simmetria

τ z

( ) = const

τ z

Inoltre dato che il taglio è antisimmetrico sullʼelemento infinitesimo compariranno

altri sforzi di taglio τ

+

M dM M =

∫ ∫ F τ b dx

3

= =

F y F y dA

dA

1 2 J

J z z

A A

1 2

E per equilibrio quindi

− − = 0

F F F

1 2 3

+

M dM M

∫

∫ −

− = 0

dA

dA y τ b dx

y J

J z

z A

A 2

1 1

dM dM ∫

∫ ⋅

= ⇒ ( ) = dA

dA τ b dx τ y y

y 1 ⋅

dx

J J b

z z A

A 1

1

Lezione 17  14/11/25 6

e dato che 1 1

dM ∫ =

⋅

( ) = dA

y T S

τ y 1 z

⋅ ⋅

J b J b

dx z z

A 1 formula

con momento statico di rispetto allʼasse neutro ; si ricava così la

S A z

1

z

di Jourawsky, per il calcolo degli sforzi tangenziali provocati da unʼazione di

taglio T S n

( ) =

τ y b J n

con asse neutro

n

Dimostrazione formula Jourawsky dal libro

Lezione 17  14/11/25 7

Lezione 18 - 18/11/25

Applicazioni formula di Jourawsky

Sezione rettangolare

Dato un corpo con sezione rettangolare soggetto ad una forza di taglio

Sullʼelemento infinitesimo della sua sezione comparirà uno sforzo che è

τ

costante lungo ed il cui valore in funzione di è calcolabile mediante la

z y

formula di Jourawsky ( )

T S y

=

τ xy b J z

Allora lʼandamento della sollecitazione tangenziale lungo la

τ

sezione seguirà un andamento simil-parabolico

Dunque il punto di sforzo massimo si troverà in corrispondenza della nulla

y

3 T

( = 0 ) =

τ y

max 2 A

Sezione circolare

Dato un corpo con sezione rettangolare soggetto ad una forza di taglio, gli

sforzi saranno sempre tangenziali rispetto alla sezione

τ

In questo caso la formula di Jourawsky va bene solo per calcolare lo sforzo

massimo e non per il calcolo degli sforzi negli altri punti

Lezione 18  18/11/25 1

Comunque anche in questo caso lʼandamento della

sollecitazione tangenziale lungo la sezione seguirà un

τ

andamento simil-parabolico

E quindi il punto di sforzo massimo si troverà in corrispondenza della nulla;

y

dato che 4 4

r

=2 4 (

2 )

b r h π

π d

=

y =

=

J

G 3 π z 64 64

2

2 4

r r

⋅

( = 0 ) = =

S y A y G 2 3 π

allora lo sforzo massimo risulta ( = 0 ) 2 64 4

T S y T T

3

=

( = 0 ) = =

r

τ y

max 3

2 3

16 4 A

r

b J π r

z

Deformazione reale sforzo di taglio

Dato un corpo soggetto ad uno sforzo di taglio la deformazione è

γ

τ

=

γ G

misura di quanto la sezione trasversale smette di essere perpendicolare

γ

all'asse della trave, indica cioè la variazione dell'angolo retto tra due

segmenti (che prima della deformazione erano perfettamente

perpendicolari)

E lʼandamento di lungo la sezione del corpo è simil-parabolica, con il

τ

massimo in corrispondenza di ed agli estremi sforzo e deformazione nulli

= 0

y

Dato un elemento del corpo, a livello microscopico nella

realtà, esso si deforma nel seguente modo:

E visto che agli estremi la sezione forma un angolo retto allora =0

γ

Lezione 18  18/11/25 2

Dato che, come si è osservato nel disegno del profilo parabolico, varia lungo

γ

tutta la sezione, è possibile considerare lo spostamento infinitesimo verticale in

funzione di come

γ medio = ⋅

dv dx γ medio

ma in tal modo i calcoli successivi diventano molto complicati. È allora

possibile, per le travi snelle, assumere che le sezioni rimangano piane e

perpendicolari all'asse deformato e che quindi sia nullo lungo tutta la sezione.

γ

La deformazione dellʼelemento del corpo, data questa

ipotesi, segue allora questa forma (simili a quella

osservabile macroscopicamente)

Questa ipotesi presenta però delle criticità in quanto porta ad un paradosso:

essendo nulla la deformazione anche lo sforzo dovrebbe risultare nullo

τ

(secondo il legame costitutivo tra sforzo e deformazione ); inoltre

τ γ

assumendo che le sezioni rimangano piane e perpendicolari all'asse deformato,

quindi assumendo costante lungo la sezione, ai bordi del corpo (come

γ

osservabile sopra) la deformazione mostra un angolo distorto (per cui )

= 0



γ

proprio dove la fisica impone che sia nullo (vedi forma parabolica dello

γ

sforzo) a causa dellʼassenza di sforzi

Tale ipotesi porta però ad errori piccolissimi, solitamente inferiori allʼ ,

1%

assolutamente accettabili nellʼambito dellʼingegneria civile e meccanica, e

semplificando enormemente i calcoli successivi questo paradosso è pertanto

accettabile

Nel calcolo della linea elastica deformata (spostamento dell'asse), il

contributo della deformabilità a taglio è trascurabile per travi snelle (ipotesi di

Eulero-Bernoulli), mentre diventa rilevante per travi tozze (modello di

Timoshenko)

Nella deformabilità a taglio si trascura la deformazione γ

Lezione 18  18/11/25 3

Torsione

Ipotesi:

Piccoli spostamenti e rotazioni

Le sezioni rimangono piane e perpendicolari all'asse deformato

Momento torcente costante

M t

Dato un corpo soggetto ad un momento torcente (torsione)

Compare una deformazione provocata dagli sforzi interni

γ τ dϕ

’ ⋅ = ⇒ =

bb = γ dx r dϕ γ r dx

E dato che il momento torcente è costante per ipotesi allora

dϕ = const = Φ

= const ⇒

M t dx

angolo unitario di torsione

dove è detto

Φ = Φ (1)

γ r

Inoltre integrando lʼespressione soprastante

ϕ L

dϕ dϕ

∫ ∫

= Φ ⇒

=

Φ ⇒ =Φ

dx ϕ L

dx dx

0 0 unitario di

da cui è possibile ricavare una seconda espressione per lʼangolo

torsione ϕ (2)

Φ= L

lʼangolo di torsione è proporzionale al momento torcente (in quanto anche ϕ

lo è) [vedi sotto]

Lezione 18  18/11/25 4

1

Sostituendo nellʼespressione della relazione tra e lʼequazione è possibile

τ γ

relazione tra sforzo tangenziale ed angolo unitario di torsione

ricavare la τ

(1) (3)

= = ( Φ )

G

τ γ r G

da cui si può osservare che è sulla circonferenza esterna in quanto in

τ max

tale zona il raggio ha la dimensione maggiore =

r R

Considerando lʼespressione del momento torcente

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2 2

= ( )

= = = Φ = Φ

M r τ dA r r r

dM dF G dA G dA

t t t

A A A A A

unitario di torsione

da cui si ricava una terza espressione per lʼangolo M t

= Φ ⇒ Φ= (4)

M G J

t P G J P

in questa è possibile notare chiaramente la proporzionalità dellʼangolo di

torsione con il momento torcente (come precedentemente scritto)

4 3 sforzo

Inoltre, sostituendo lʼequazione nella è possibile ricavare lo τ

provocato da un momento torcente: M M r

t t

= ( Φ ) = =

τ r G r G J

G J P

P

Lezione 18  18/11/25 5

Rigidezza torsionale