Corpo rigido e moto di puro rotolamento

Corpo rigido

Corpo rigidoSistema di punti materiali in cui la distanza tra tutte le coppie possibili di punti è costante.

Sistema di punti indeformabili (discreto)_{CM TOT}^{= ∑ _i=1 m_i= ∑ _i=1 x_i × m_i}

Corpo rigido esteso (continuo)CMMTOTMTOTCM = ∫dmTOT = ∫ xdm

Densità

DensitàDensità volumetrica: ρ = Densità superficialeDensità lineare_CM = ∫ _dm= ∫ / ∫_TOT = ∫ x ρ

Corpo rigido

Corpo RigidoSistema di punti materiali in cui la distanza tra tutte le coppie possibili di punti e' costante.

Sistema di punti indeformabili (discreto) Corpo rigido esteso (continuo) M_TOT M_TOT M_TOT Densità Densità volumetrica: Densità superficiale: Densità lineare:

Forza peso su un corpo rigido

∫ dF_z = ∫ dm g F_P = ∫ dF_P = ∫_M dm g = ∫ ρ(r) dV g = _MTOT g M_P = ∫ z × dF_P = ∫ z × dm g = ∫ ( dm ) × g M_TOT = z_cm × M_tot g = r_cm × F_P

Il Centro di Massa e il Baricentro dei SistemaUn corpo esteso ha più gradi di libertà (rotazioni) rispetto al punto materiale

Descrizione del moto

Traslazione variazione di :x_o(t), y_o(t), z_o(t) ⇒ 3 gradi di libertà

Rotazione defl. assi x',y',z' rispetto a x,y,zθ(t), φ(t), ψ(t) ⇒ 3 gradi di libertà

6 equazioni per descrivere il motoEquazioni cardinai per il moto del corpo rigido \( \dot{R}_{\text{est}} = \int_{\text{int}} \frac{d\vec{p}}{dt} = \dot{P}_{\text{tot}} = M_{\text{tot}} \cdot \vec{a}_{\text{moto di traslazione}} \) \( \dot{M}_{\text{est}} = \frac{d\vec{L}_{\text{tot}}}{dt}, \quad \vec{L}_{\text{atm}} = \int_\Omega \vec{r} \times \vec{v} \, dv \) \( \Delta_{\vec{a}, \text{asse}} \) fissa momento a origine O ≠ 0

Teorema dell'energia cinetica

\( \Delta E_k = L'^{\text{NT}} + L'^{\text{CST}} \) \( dL = dL^{\text{MT}} + dL^{\text{CST}}, \quad dL^{\text{NT}} = \vec{F}_{i}^{\text{int}} \cdot d(\vec{r}_{i2} - \vec{r}_{i1}) = 0 \) \(\Delta E_k = L'^{\text{est}}\)

Statica del corpo rigido

Statica del corpo rigido \( \dot{P}_{\text{tot}} - M_{\text{tot}} \cdot \vec{a}_{\text{cm}} = 0 \) \( \dot{L}_{\text{tot}} = 0 \) \( \frac{d\vec{r}_{\text{tot}}}{dt} = \frac{\vec{r}_{\text{tot}} - \vec{r}_{\text{0}}}{t} \)

Condizioni in statica R = 0 \( \Rightarrow \vec{F}_{z1} + \vec{F}_{z2} + \vec{F}_P = 0 \Rightarrow F_1 = F_2 = M_{\text{tot}} \cdot g \) \( M_{s2} = 0 \Rightarrow M_{x2} + M_{x1} + M_{P} = 0 \Rightarrow N_{x2} = N_{x1} \) \( M = 0 \Rightarrow M_{x2} = \vec{r}_1 \cdot F_1 \)

Moto di traslazione del corpo rigido

Moto di traslazione del corpo rigido 3 gradi di libertà \( \dot{R} = \frac{d\vec{P}_{\text{tot}}}{dt} = M_{\text{tot}} \cdot \vec{a}_{\text{cm}} \)

Energia cinetica \( E_{c} = \frac{1}{2} M_{\text{tot}} \vec{v}_{\text{cm}}^2 \) \( L'^{\text{est}} = \Delta E_k \)

Moto di rotazione attorno ad un asse fisso

Moto di rotazione attorno ad un asse fisso (no traslazione)L_Z=ω_Z ^ds/_dt ∫ ^dL/_dt=LZ_TOT

Momento angolare totaledL_Z=x⋅dm⋅v∫dL=^x⋅dm⋅v/_dt ^{perch'é il dt è in ogni istante}Rω²⇒L_Z=ωR²dm=ωR²dm ^ωR2dm/ζωL^ω_Z=ω⋅I_Z(P=U⋅H) I_Z=tensione del corpo rispetto con afferasi al cambiamento di moto rotatorio rispettoad un asse Z

Osservazioni sulla rotazione attorno ad asse fisso

Osservazioni sulla rotazione attorno ad asse fissoL_XL_ZI_Z^diosi>dall'asse considerando I_Z^engnon dipende dal polo scelto sull'asse (Z_L dipende dal polo P) In generale _Z non è parallelo ω (Z=Z₃+Z³)

Moto di precesione (se L₄∪0), Z_Z Quando es un asse di simmetria del sistema => L_Z⇒Z_Xω₂

• CM^conω
• _{primitivo rispetto ai con la unes stress steso massatà}
• ∀P P' primitivo rispetto ai con la ness stessa massa1 è _eorizzontale

Moto rotatorio attorno a asse fisso e di simmetria

Moto rotatorio attorno a asse fisso e di simmetriaL_i = cost. ⇒ L_z = I_z ⋅ ω̅P_IST = M_IST ⋅ J̇_CM J̇_CM = 0 ⇒ Ṗ_IST = 0 L_IST = cost. ⇒ R_EST = dL_IST/dt = 0 I eq. cardinaledL_z/dt = dL_z/dt (I_z ⋅ ω̅) = I_z ⋅ dω̅/dt = I_z ⋅ α̅ = M_estM_est = I_z ⋅ α̅ (vale anche per L≠0)

Rotazione si trasforma in un problema 1Dα̅ = M_ex/I_z ω(t) = ω₀ + α̅ ⋅ t θ(t) = θ₀ + ∫ ω(t') dt'

se M_z = 0 ⇒ ω(t) = ω₀ MCU θ(t) = θ₀ + ω₀t

se M_z = cost. ⇒ ω(t) = ω₀ + α̅ ⋅ t MCUA θ(t) = θ₀ + ω₀t + 1/2α̅t²

se M_z varia ⇒ moto vario

Moto di precessione di L̅

Moto di precessione di L̅L≠0 asse di rotazione ≠ asse di simmetriaL = L_z + I_z

Se ω̅ = costante ⇒ |L| costante precessione uniforme|L| = costante ⇒ dL_z/dt = I_z/dtdL/dt relatore di Eulero1/2 J' ω̅ x J' = M̅ ⇒ (1) L̇_z = M̅L_z = O evoluzione di Eulero

Dinamica del bilanciere

Dinamica del bilanciereM_est = dL_z/dt = L_z ⋅ ω̅M = 2⋅π⋅m⋅g⋅R⋅cos θ ⇒ 2⋅π⋅m⋅ω² R⋅cos θ

Rotazione attorno ad un asse variabile

Rotazione attorno ad un asse variabile\(\mathbf{Z} = I_z\, \mathbf{\Omega} \)\(\mathbf{M} = \mathbf{r} \times \mathbf{m}\mathbf{g} = \frac{d\mathbf{L}}{dt}\)\(\frac{d\mathbf{L}}{dt} \parallel \mathbf{Z}, \mathbf{\omega} \)\(\frac{d\mathbf{\hat{u}}}{dt} = \vec{\omega} \times \hat{u}\)\(\mathbf{L} = I\mathbf{\omega}\hat{u} \Rightarrow \hat{u} \times \mathbf{m}\mathbf{g}\)\(\Rightarrow \mathbf{L} = \frac{L}{I\omega}\mathbf{\hat{u}} = \mathbf{r} \times \mathbf{m}\mathbf{g}\)\(\mathbf{M}_p = \mathbf{r} \times \mathbf{F}_p = \mathbf{x} \times \mathbf{m}\mathbf{g}\)\(\mathbf{M}_{\hat{z}} = I_z\, \ddot{\hat{\alpha}}\)

Energia cinetica e lavoro nel moto del corpo rigido

Energia cinetica e lavoro nel moto del corpo rigido\(\cdot\) Asse fisso di rotazione \(\mathbf{Z} = I_z\, \mathbf{\omega}_z + \mathbf{Z}_1\)\(dE_k = \frac{1}{2} I_z \omega_z^2 + \frac{1}{2} \int \omega^2 r^2 dv \Rightarrow E_k = \int dE_k = \int \frac{1}{2} \omega^2 r^2 dv = L_0^2 \int R^2 dv \)\(\mathcal{E}_k = \frac{1}{2} I_z \omega^2\)\(W_v = \Delta E_k = \frac{1}{2} I_z \vec{\omega}_2^2 - \frac{1}{2} I_z \omega_1^2\)\(dW = dE_k \Rightarrow \mathbf{N} E_k = d\left(\frac{1}{2} I_z \omega^2\right) = dI_z \omega\omega \Rightarrow \mathbf{d}E_k = M_{\hat{d}}\mathbf{d}\theta \)\(\cdot\) Moto di traslazione \(\vec{E}_c = \frac{1}{2} M_{\text{tot}} \cdot U_{\text{cm}}^2\)

Momento d'inerzia con che passa per CM

Momento d'inerzia con che passa per CMAsta omogeneaL, M_totI_z = ∫ x² dm = ∫ x² dV = ρ ∫ x² dx ⋅ S = x² dx ⋅ λdm = λ x² dxλ = [(x³)^1/2]_−1/2=> I_z = 1/12 L³ M_tot

Disco omogeneo che ruota attorno a CM

Disco omogeneo che ruota attorno a CMI_z = 1/2 M_tot R²

Teorema Huygens - Steiner

Teorema Huygens - SteinerI_z = I_CM + M_tot ℓ²distanza tra l'asse I_z e l'asse del centro di massaDIM.x = x′ z = z′ y = y′ + ℓI_z = ∫ (R²) dVI_Z = 1/12 M L² + M (L/2)² = M L²/3

Pendolo fisico

Pendolo fisicoM_z = I_z ω̇M_B = r̅ × F_P = r̅ × M_tot g̅ ⇒ |M_B| = r M_tot g sinθr M_tot g sinθ = I_z θ̈equazione esatta del pendolo

Piccole oscillazioni

Piccole oscillazioni- r M_tot g θ ≅ I_z θ̈θ̈ + x M_tot g θ / I_z = 0equazione oscillatore armonicoω̅_z = √(x M_tot g / I_z)T = 2π / ω₀ = 2π √(I_z / x M_tot g)

Pendolo semplice

Pendolo sempliceM_s I_z = I_CM + M_L ℓ² ⇒ I_z = M_tot ℓ²ω₀ = √(x M_tot g / M_tot ℓ) = √(g / ℓ)

Rototraslazione senza strisciare

Rototraslazione senza strisciare _{CM GM} ^{ω P} ǹ_pCM + _PƳ + ^ω🌞

Condizione di puro rotolamento

Condizione di puro rotolamento

• NJ =!
• Ǩ
• ^p
• Ǩ

^Ǒ = ^ǎ

Dinamica puro rotolamento

Dinamica puro rotolamento ^Ƴ _Ǫ Equazione cardinale ^/ = ^M_Ư

Osservazioni

Osservazioni Ὀ _CM = ^ǩ _Ǘ ὀ

Puro rotolamento con forze

Puro rotolamento con forzeI eq card_x: F - Fas = m⋅a_cmy: N - m⋅g = 0II eq cardM_B = dL_B/dt = I_z⋅α

Asse per CM

Asse per CMM̅_F = (r̅_c x F̅_t) = R⋅F (k̂_o)M̅_poi = 0 (r̅_mf)M̅_N = 0 (k̂_o)M̅_AS = r_z x F_as = R⋅F_as (k̂_o)I_cmα = R⋅F_asF - F_as = m⋅a_cma_cm = α⋅RR²F - I_cma_cm = m⋅a_cmR²a_cm = ^FR²/_{Icm + mR²}

Asse per CM

Asse per CM̅_F = p̅_c x F̅_t = R⋅F (k̂_z)M̅_poi = 0 (r̅_op)M̅_N = 0 (k̂_o)M̅_AS = 0 (k̂_z)I_cα = -R⋅FF - F_as = m⋅a_cma_cm = α⋅RF = ^I_ca_cm/_R²a_cm = ^FR²/_IcI_c = I_cm + m_totR²F - F_AS = μ_sm_totg ≤ μ_sm_totg ( ^I_c/_{Ic + mtotR²})