Condizioni ed enunciati dei teoremi

Condizioni teoremi

Teorema degli zeri

Continua in (a,b) con f(a) · f(b) ₀

Condizioni teoremi. Teorema degli zeri di continua in (a,b) con f(a) · f(b) ≤ 0

Teorema di Weierstrass

Continua in [a,b]

Teorema dei valori intermedi

Continua su [a,b]. Minimo e massimo m ∈ f([a,b]) s.t. f(x)=m

Teorema di monotonia

f:(a,b) → R con f' monotona

Teorema di continuità

Funzione derivabile f:(a,b) → R e x_o ∈ (a,b)

Algebra delle derivate

Derivata dell’inversa f:(a,b) → R

Punti di non derivabilità

• Punto angoloso
• Flesso a t_o verticale
• Cuspide

Lemma di Fermat

f:[a,b] → R derivabile in (a,b), x_o ∈ (a,b) punto di max o di minimo

Punto estremo

Teorema del valore medio di Lagrange continua in [a,b] e derivabile in (a,b)

Test di monotonia

F:(a,b) → R derivabile in (a,b)

Test di monotonia: f:(a,b) → ℝ derivabile in (a,b)

f è crescente in (a,b) sse ∀x ∈ (a,b) f'(x) > 0

f è decrescente in (a,b) sse ∀x ∈ (a,b) f'(x) 0

O-grande e O-piccolo

f,g:[a,b] → ℝ x₀ ∈ [a,b] f è O-grande di g per x → x₀ sse ∃M

O-piccolo: f,g: [a,b] → ℝ e x₀ ∈ (a,b) f_x0(g) per

Formula di Taylor

Approssimare localmente una funzione con un polinomio

Lemma 1

Lemma 2: [f;[a,b]) → R continua in x₀, con derivate continue in x₀ fino all’n-esima. Se f(x₀)=f’(x₀)...f⁽ⁿ⁾(x₀)=0

Teorema di Taylor con resto secondo Peano

f;[a,b]) → R, x₀ ∈C[a,b] continua e derivabile con continuità n volte in x₀ P_n(x₀) (f(x₀) + f’(x₀))

Se x₀=0 → P_n(x₀) : polinomio di Maclaurin

Teorema di Taylor con resto di Lagrange

f;[a,b]) → R, x₀∈c[a,b] e continua e derivabile n+1

woltw di I_x0. Allora ∃ξ∈[x,x₀ coefficiente binomiale generalizzato

Derivata n-esima

Somma di Cauchy-Rieman

Funzione integrale integrale definito

Teoremi

f;[a,b] → R funzione continua allora f è integrabile in [a,b] F: R funzione monotona e limitata allora f è integrabile in [a,b]

Primo teorema fondamentale: f;[a,b] → R continua, F primitiva di f ∃ Additivo

Diseguaglianza maggiorazione del moduli

Teoria Pagina 3

Diseguaglianza di Schwarz |∫_a^b f(x)g(x)dx| ≤ √[∫_a^b f²(x)dx · ∫_a^bg²(x)dx]

Integrazione per Parti

∫f'(x)g(x)dx = f(x)g(x) - ∫f(x)g'(x)dx

Integrali per Sostituzione

f: [c, d] → ℝ continua e φ: [α, β] → [a, b] funzione invertibile e derivabile

∫_a^bf(x)dx = ∫_γ(c)^γ(d) φ'(t) f(γ(t)) dt

Teorema Valore Medio Integrale

a, b ∈ ℝ, a ∃c ∈ (a, b) t.c. : ∫_a^bf(x)dx = f(c)(b-a)

Teorema Valore Medio Generalizzato

a, b ∈ ℝ, a ∫_a^bg(x)f(x)dx = f(c) ∫_a^b g(x)dx

Secondo Teorema (Torricelli-Barrow)

f: [a, b]→ℝ continua in [a, b], x₀ ∈ [a, b] F(x)= ∫_x0^x f(t)dt

F(x) è continua e derivabile in [a, b] e ∀x∈ [a, b] si ha F'(x)= F(x)

Teorema

f: [a, b] → ℝ continua e derivabili, sia F(x)= ∫_a^x f(t)dt F'(x)= f(s)g'(s)-g(s)

Teorema

f continua F= funzione integrale, f cambia segno in intorno di x̄. In x̄ F ha minimo o un massimo

Integrali e Taylor

f :[a,b] → ℝ derivabile n volte, F funzione integrale f è derivabile n+1 si ha ∫_a^x f(t)dt si ha f_bx = f_x0(c) + (k₁/k₁)x^k₁ + o

Integrali e Seno Ampiezzo

∫_a^b f(x)dx : (a,b)→ℝ t.c. ybs →bc→ f(x)→∞

Teorema

∫_a^xx⁻^α dx e ∫₁^b 1/x^α dx convergenti se α