Concetto di prodotto scalare e teoremi degli endomorfismi simmetrici

Prodotto scalare

Dato due vettori, di _ℝⁿ il prodotto scalare è: <u,v> = x₁y₁ + ... + x_ny_n

Il risultato è dunque un numero.

Esempio

u = ²3

v = ²-11 ⇒ <u,v> = 2 - 2 + 3 = 3

Due vettori: u,v si dicono ortogonali se <u,v> = 0. La notazione è u⊥v.

u = ²1

v = ^-1-2

<u,v> = 0

Norma di un vettore

Norma di un vettore u ⇒ modulo di un vettore.

||u|| = √<u,v>

È il simbolo.

Se u = ² 3 ⇒ ||u|| = √14

Angolo tra due vettori

Supponiamo che u,v siano due vettori non nulli:

Cos θ = ^<u,v>/_{||u|| * ||v||}

Con i vettori u = ¹, v = ⁰

Cos θ = ^-2/_{√2 * 2} ⇒ θ = cos^-1 <sup>-1/_√2 = π/4

Prodotto scalare

Data due vettori:

_u = ^x₁y₁

e _v = ^x_ny_n

di Rⁿ il prodotto scalare è: < u, v > = x₁y₁ + ... + x_ny_n

Il risultato è dunque un numero.

Esempio

_u = ²¹

e _v = ^-21 ⇒ < u, v > = 2 - 2 + 3 = 3

Due vettori, _u, _v si dicono ortogonali se < u, v > = 0. La notazione è _u ⊥ _v.

_u = ²¹

_v = ^-1-2

< u, v > = 0

Norma di un vettore

Norma di un vettore _u = modulo di un vettore.

|| _u || = √< u, u >

È il simbolo.

Se _u = ^-23 ⇒ || _u || = √1 + 9 + 4 = √14

Angolo tra due vettori

Supponiamo che _u, _v siano due vettori non nulli:

cos θ = ^{< u, v >}_{|| u || || v ||}

Esempio

_u = ^1-1

_v = ¹³

cos θ = ⁰_{√2 · 3}, θ = cos^-10_√2 = π/4

Data u: <u,v>=2

<u,v,w>=u·v+w·v*<v+w>

<u·v,r>=K·K·u·v·r>

Da questa proprietà notiamo che il prodotto scalare si comporta in modo naturale rispetto alle combinazioni lineari.

Ortogonalità e L.I.

Siano v₁,...,v_k vettori non nulli di Rⁿ, a due a due ortogonali. Allora v₁,...,v_k sono L.I..

Dimostrazione

Bisogna dimostrare che se a₁v₁+a₂v₂+ ... a_kv_k=0 → a₁=a₂=a_k=0

Moltiplichiamo ambo i membri per v_i.

⟨a₁v₁,v₁⟩+a₂⟨v₂,v₁⟩+...+a_k⟨v_k,v₁⟩=0

|a₁| |v₁|²=0 → a₁=0 → facendo lo stesso procedimento _vi → Per v₁,v₂,...,v_k si avrà → a₁=a₂=...a_k=0 → L.I. ∎

La matrice A = (1 1 1 11 -1 -1 11 1 -1 -11 -1 1 -1)

⟨v₁,v₂⟩=0

⟨v₁,v₃⟩=0

⟨v₁,v₄⟩=

⟨v₂,v₃⟩=

⟨v₂,v₄⟩=

⟨v₃,v₄⟩

Sono a due a due ortogonali → L.I.

Ha rango 4, infatti,

Corollario

n vettori non nulli, a due a due ortogonali, formano una base di Rⁿ (base ortogonale).

v₁ = (1-1), v₂ = (2)

Formano una base ortogonale di R² perché ⟨v₁,v₂⟩=0

Base ortonormale

B è una base ortonormale se:

• V₁, ..., v_k sono a due a due ortogonali.
• Hanno tutti norma 1.

Esempio

E: x₁ + 4x₂ = 0 quale coppia è base ortogonale?

Il sottospazio ha dimensione 2.

• V₁ = ¹/₋₁, v₂ = ¹/₀ = <v₁, v₂> = 0
• W₁ = ⁻¹/₂, w₂ = ¹/₋₁ = <w₁, w₂> = 0

Normalizzare un vettore

Ogni sottospazio di Rⁿ ammette almeno una base ortonormale.

Se V ≠ 0, allora il vettore u = ¹/_||v|| v ha norma 1.

Si dice