Cinematica

cinematica

Significa capire come si muove la particella nello spazio, indipendentemente dalle cause che lo determinano.

Traiettoria e il luogo dei punti occupati dalla particella nei vari istanti di tempo.

Siamo di fronte a un vettore che varia in funzione del tempo.

Velocita media e la rapidita dello spostamento nell'intervallo considerato = Delta r/Delta t

Velocita istantanea e la rapidita dello spostamento nell'istante di tempo considerato, andando a considerare intervalli di tempo piccoli con Delta t che tende a zero ovunque si fa il limite del rapporto incrementale. lim Delta t->0 [r(t+Delta t)-r(t)]/Delta t

Dunque la velocita e la derivata dello spazio in funzione del tempo.

Accelerazione media e la rapidita con cui varia la velocita nell'intervallo di tempo considerato = Delta v/Delta t

Accelerazione istantanea e la rapidita con cui varia la velocita nell'istante di tempo considerato, e la derivata 2' della velocita.

Componenti cartesiane di r, v e a

r = r(t) = r_x(t)i + r_y(t)j + r_z(t)k = x(t)i + y(t)j + z(t)k

v = v(t) = v_x(t)i + v_y(t)j + v_z(t)k = (dx_x/dt)i + (dy_y/dt)j + (dz_z/dt)k

a = a(t) = a_x(t)i + a_y(t)j + a_z(t)k = (dv_x/dt)i + (dv_y/dt)j + (dv_z/dt)k = (d²r_x/dt²)i + (d²r_y/dt²)j + (d²r_z/dt²)k.

Moto rettilineo uniforme

a = 0    v = v₀    a = dv/dt = 0

Equazione differenziale

v(t) = dx/dt -> v(t)dt = dx -> v₀dt = dx, integrando otteniamo

Integrando: ∫_t0^t v₀dt = ∫_x0^x dx -> v₀(t - t₀) = x - x₀

x = x₀ + v₀(t - t₀)

Moto rettilineo uniformemente accelerato

Partendo dall'ipotesi secondo cui l'accelerazione e costante avremo che la prima equazione di tale moto e certamente a(t) = a₀.

Ricordando:

a(t) = dv/dt -> a(t)dt = dv -> ∫_t0^t a₀ dt = ∫_v0^v(t) dv = a₀(t - t₀) = v(t) - v₀ =>

v(t) = v₀ + a₀(t - t₀)

Per arrivare all'equazione relativa alla posizione si puo scrivere che

v(t) = dx/dt -> v(t)dt = dx -> ∫_t0^t v(t)dt = ∫_x0^x(t) dx -> ∫_t0^t [v₀ + a₀(t - t₀)]dt = ∫_x0^x(t) dx =

v₀(t - t₀) + a₀∫_t0^t (t - t₀)dt = x(t) - x₀ => v₀(t - t₀) + 1/2 a₀(t - t₀)² = x(t) - x₀

Utilizzando l'ipotesi di istante iniziale t₀ = 0 le leggi del moto possono essere riscritte in questo modo:

v(t) = v₀ + a₀t

x(t) = x₀ + v₀t + 1/2 a₀t²

Corpo in caduta libera

Tutti i corpi sono soggetti alla stessa forza di gravita g = 9,81 m/s²

Equazioni del moto di caduta di un grave

Le equazioni riguardanti il lancio di un grave lasciato cadere da un altezza h con velocita iniziale nulla

a(t) = -g

V(t) = -g t

y(t) = h - 1/2 g t²

Tempo di caduta y(t) = 0 -> h - 1/2 g t² = 0 t_c = sqrt(2h/g)

Velocita al suolo v(t_c) = -g sqrt(2h/g) = -sqrt(2gh)

Corpo che cade da un altezza h con velocita non nulla e // a g

a(t) = -g

V(t) = -(v_ini + g t)

y(t) = h - v_ini t - 1/2 g t²

Tempo di caduta t_c = -(v_ini + g t) + sqrt(v_ini/g² + 2h)

Velocita al suolo v_c = -sqrt(v_ini² + 2gh)

corpo lanciato verso l'alto

a(t) = -g

v(t) = vini - gt

y(t) = h + vini t - 1/2 gt²

Tempo di caduta (vini/g) + (v²_ini/g² + 2h/g)^1/2

Altezza max h + v²_ini/2g

Velocita al suolo (v²_ini + 2gh)^1/2

Moto parabolico - Proiettile

corpo che cade da h con direzione perpendicolare a a y (Vini + 0)

Asse x = moto uniformeAsse y = moto uniformemente accelerato

Lungo xa_x(t) = 0v_x(t) = V₀ cosdx(t) = (V₀ cosd) t

Lungo ya_y(t) = -gv_y(t) = V₀ sedd - gty(t) = (V₀ sind) t - 1/2 gt²

Altezza max = (V_ini sind)²/(2g)

Gittata = (2 v_ini (cosd)² tg d)/g = [v_ini² sin(2d)]/g

Tempo di volo (2 v_ini sind)/g

La gittata max si ha con l'angolo a 45 sup>sup> = PI/4

Per calcolare la traiettoria esplicitiamo la t e la sostituiamo nella y.

Altezza max

Per trovarla bisogna porre = 0 la componente lungo y della velocita v_y(t) = 0 =>V₀ sind - gt = 0 => V₀ sind = gt(t = V₀sind/g)

y(t)=h = v₀ senα [v₀ senα/g - 1/2 g [v₀² sen²α/g²] => [v₀² sen²α/g] - 1/2 [v₀² sen²α/g] =>

[v₀² sen²α/2g] - Altezza massima.

Gittata punto in cui il proiettile arriva a terra.

poniamo y(t)=0 -> t(v₀senα - 1/2 g t)=0 => v₀senα - 1/2 g²v₀senα/g

x(t)= v₀ cosα 2 v₀ senα/g = v₀² 2 cosα senα/g = v₀²/g sen2α