Calcolo differenziale (derivate) - Dimostrazioni teoremi spiegate

CALCOLO DIFFERENZIALE IN UNA VARIABILE REALE

Teorema (Continuità di una funzione derivabile)

Siano I=(a,b)⊆ℝ un intervallo e f:I→ℝ una funzione derivabile in x₀∈I.

Allora f è continua in x₀.

Dimostrazione:

Innanzitutto, osserviamo che se f è derivabile in x₀, quest'ultimo è necessariamente un punto di accumulazione per il dominio di f.

Dalla definizione di derivata e dalla proposizione sull'approssimazione di una funzione (in un intorno di x₀ tramite un'altra funzione), otteniamo che se f è derivabile in x₀

f(x) = f(x₀) + f'(x₀)(x-x₀) + o(x-x₀).

Passando al limite per x→x₀, abbiamo che

lim_x→x0 f(x) = lim_x→x0 [ f(x₀) + f'(x₀)(x-x₀) + o(x-x₀) ]

lim_x→x0 f(x) = lim_x→x0 f(x₀) + o_x→x0 (x-x₀) + f(x₀)

Di conseguenza, per definizione di funzione continua, f è continua in x₀.

CALCOLO DIFFERENZIALE IN UNA VARIABILE REALE

Teorema (Continuità di una funzione derivabile)

Siano I = (a, b) ⊆ ℝ un intervallo e f: I → ℝ una funzione derivabile in x₀ ∈ I. Allora f è continua in x₀.

Dimostrazione:

Innanzitutto, osserviamo che se f è derivabile in x₀, quest’ultimo è necessariamente un punto di accumulazione per il dominio di f

Dalla definizione di derivata e dalla proposizione sull’approssimazione di una funzione (in un intorno di x₀ tramite un’altra funzione), otteniamo che se f è derivabile in x₀.

f(x) = f(x₀) + f'(x₀) · (x - x₀) + o(x - x₀)

Passando al limite per x → x₀, abbiamo che

lim_{x → x0} f(x) = lim_{x → x0} f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀) + o(x - x₀)

lim_{x → x0} f(x) = lim_{x → x0} f(x₀) + (x - x₀)[f'(x₀) + ^{o(x - x₀)}/_{x - x0}]

lim_{x → x0} f(x) = lim_{x → x0} f(x₀ + f'(x₀)(x - x₀)) = f(x₀)

Di conseguenza, per definizione di funzione continua, f è continua in x₀. ■

Per me: Perché x_o è un punto di accumulazione?

Per la definizione di funzione derivabile in x_o, sappiamo che

f'(x_o) = lim_x→xo (f(x) − f(x_o)) / (x − x_o) = l ∈ ℝ

Quindi, siccome nella formula soprastante compare x→x_o, allora possiamo affermare, per definizione, che x_o è un punto di accumulazione per il dominio di f.

Per me: Come si ottiene questa formula?

Dalla definizione di derivata, sappiamo che

f'(x_o) = lim_x→xo (f(x) − f(x_o)) / (x − x_o)

dove f'(x_o) è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico, nonché limite del rapporto incrementale, dove quest’ultimo equivale a (f(x) − f(x_o)) / (x − x_o). Quindi, applicando tutto ciò che abbiamo appena detto, una funzione derivabile in x_o la possiamo scrivere in questo modo

f(x) = f'(x_o)(x − x_o) + f(x_o)

Questa, però, è una funzione affine a quella reale, o meglio è quella che si avvicina di più al grafico di f in x_o. Ecco, dunque, che subentra la proposizione sull'approssimazione di una funzione in un intorno di x_o tramite un'altra funzione g, che dice la seguente cosa

se _{lim x→x0}^f(x)/_g(x) = l∈ℝ, allora f(x)=lg(x)+o(g(x))

Se adesso sostituiamo alla funzione della retta:

• l= f'(x₀)
• g(x) = x-x₀

otteniamo che

f(x)=f(x₀) + f'(x₀)(x-x₀) + o(x-x₀)

Per me:

RICORDA

Definizione di o-piccolo

Siano f,g: D→ℝ, x₀∈ℝ di accumulazione per D e g(x)≠0 def. per x→x₀.

Si dice f=o(g) se

_{lim x→x0}^f(x)/_g(x) = 0

Dunque, _{lim x→x0}^o(g(x))/_g(x) = 0, perché dalladefinizione sappiamo che f(x)=o(g(x))

ATTENZIONE!

Il teorema appena enunciato non si può invertire:in generale NON è vero che una funzione definita inun intervallo I e continua in x₀∈I risulti anche deri□bile in x₀.

TABELLA DELLE DERIVATE

FUNZIONI

• f(x) = C
• xⁿ (n∈ℕ\{0})
• x^α (α∈ℝ,α>0)
• sinx
• cosx
• tanx
• cotx
• sinhx
• coshx
• tanhx
• cothx
• e^x
• a^x
• ln|x| (x≠0)
• log_a|x| (x≠0)
• arcsinx (x∈[-1,1])
• arccosx (x∈[-1,1])
• arctanx
• arccotx
• settsinhx (x∈ℝ)

DERIVATE

• 0
• n·x^n-1
• αx^α-1
• cosx
• -sinx
• ¹/_cos²x = 1+tan²
• -¹/_sin²x = -1-cot²x
• coshx
• sinhx
• ¹/_cosh²x = 1-tanh²x
• -¹/_sinh²x = 1-coth²x
• e^x
• a^xlna
• ¹/_x
• log_ae/x
• ¹/_√1−x²
• -¹/_√1−x²
• ¹/_1+x²
• -¹/_1+x²
• ¹/_√x²+1

setcoshx     (x > 1)

settanhx    (x∈]-1,1[)

settcothx    (|x| > 1)

1 / √(x²-1)

1 / 1-x²

1 / 1-x²

TABELLA CALCOLO DELLE DERIVATE

1. D[ ƒ(x)+g(x) ] = ƒ'(x) + g'(x)
2. D[ ƒ(x)·g(x) ] = ƒ'(x)·g(x) + ƒ(x)·g'(x)
3. D[ ƒ(x) / g(x) ] =
   • ƒ'(x)·g(x) = ƒ(x)·g'(x)
   • [g(x)]²
   (g(x) ≠ 0)
4. D[ 1 / g(x) ] = -
   • g'(x)
   • [g(x)]²
   (g(x) ≠ 0)
5. D[ g( ƒ(x) ) ] = D( g · ƒ ) = g'( ƒ(x) ) · ƒ'(x)
6. D[ h( ƒ( g(x) ) ) ] = h'( ƒ( g(x) ) ) · ƒ'( g(x) ) · g'(x)
7. D[ ƒ(x)^g(x) ] = ƒ(x)^g(x) · [ ƒ'(x) · ln(ƒ(x)) + g'(x) / g(x) · ƒ'(x) ]
8. D[ ƒ^-1(x) ] = ƒ'( ƒ^-1(x) )

Teorema di Fermat

Siano I = (a, b), x₀ ∈ I e ƒ: I → ℝ funzione derivabile in x₀.

Se x₀ è un punto di estremo locale (massimo o minimo), allora ƒ'(x₀) = 0.

N.B. In questo caso, x₀ è anche detto punto stazionario (e critico).

Dimostrazione:

Supponiamo che x₀ sia un punto di massimo relativo (il caso con il minimo locale è del tutto analogo).

Dalla definizione di punto di massimo locale, sappiamo che Ɛ > 0 t.c. ∀x ∈ I_x0-Ɛ, x₀ + Ɛ ∩ I ƒ(x₀) ≥ ƒ(x)

Vediamo ora come si comportano le derivate destra e sinistra in x₀.

ƒ'+(x0) = limx → x0+ ƒ(x) - ƒ(x0)⁄x - x0

Sapendo che in un intorno qualsiasi di: x₀, del tipo ]x₀, x₀ + δ[, ∀x t.c. x₀ < x < x₀ + δ

^{ƒ(x) - ƒ(x₀)}⁄_{x - x0} ≤ 0 ①

per il corollario del teorema del confronto, possiamo affermare che anche

ƒ'+(x0) = limx → x0- ƒ(x) - ƒ(x0)⁄x - x0 ≤ 0

Del tutto analogo è il ragionamento per la derivata sinistra:

f'_-(x₀) = lim_{x → x0} (f(x) - f(x₀)) / (x - x₀)

Sapendo che in un intorno qualsiasi di x₀, del tipo ]x₀ - δ, x₀[, ∀ x t.c. x₀ - δ < x < x₀:

(f(x) - f(x₀)) / (x - x₀) ≤ 0

Per il corollario del teorema del confronto, possiamo affermare che:

f'_-(x₀) = lim_{x → x0} (f(x) - f(x₀)) / (x - x₀) ≤ 0

Poiché da ipotesi sappiamo che f è derivabile in x₀, allora per il teorema sulle funzioni derivabili in un punto, otteniamo che:

f'_-(x₀) = f'₊(x₀) = f'_-(x₀)

Dunque, f'(x₀) non può essere altro che uguale a zero.

ATTENZIONE!

Il teorema di Fermat non si può invertire, cioè non è detto che se f'(x₀) = 0, allora necessariamente x₀ è un punto di estremo locale (massimo o minimo).

*

Per me: Caso con il minimo locale

DIMOSTRAZIONE: [in brevissimo]

Supponiamo che x₀ sia un punto di minimo relativo, allora

∃δ>0 t.c. ∀x∈]x₀-δ, x₀+δ[_∩] ƒ(x₀)≤ƒ(x)

\dfrac{ƒ(x)−ƒ(x₀)}{x−x₀}\ge 0 ∀ x₀-δ x₁ ⇒ f(x₂) ≥ f(x₁) ∀x₁, x₂ ∈ D_f.

Quindi, essendo f derivabile possiamo studiare anche solo il segno della derivata prima(in quanto f'(x₀) = f'(c₀) = f'(x₀))

Dunque, ∀x, x₀ ∈ I (dove x = x₂ e x₀ = x₁)

f(x) − f(x₀) / x - x₀ ≥ 0 Corollario

del teorema del confronto

f'(x) = lim_x→x0 f(x) − f(x₀) / x - x₀ ⇒ 0

⇐) Supponiamo ora che f'(x) ≥ 0 ∀x ∈ I.

Siano x₁, x₂ ∈ I t.c. x₁ ≠ x₂.

Siamo nelle condizioni di poter applicare il teoremadi confronto alla funzione f nell’intervallo [x₁,x₂] di conseguenza

∃x ∈ (x₁,x₂) t.c.

f(x₂) − f(x₁) / x₂ - x₁ = f'(x)

Sapendo che f'(x) _≥ 0, allora

∫(x₂) = ∫(x₁) ➔ ∫(x₂) _≥ ∫(x₁)

(perché avevamo supposto che x₂ ≥ x₁)

ovvero f è crescente.

P.S.

Il caso 2) è del tutto analogo al caso 1).

Per i casi 3) e 4), invece, la dimostrazione è del tutto simile alla seconda parte della dimostrazione del caso 1).