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Calcolo differenziale in una variabile reale

Teorema: continuità di una funzione derivabile

Siano I=(a,b)⊆ℝ un intervallo e f:I→ℝ una funzione derivabile in x0∈I.

Allora f è continua in x0.

Dimostrazione:

Innanzitutto, osserviamo che se f è derivabile in x0, quest'ultimo è necessariamente un punto di accumulazione per il dominio di f.

Dalla definizione di derivata e dalla proposizione sull'approssimazione di una funzione (in un intorno di x0 tramite un'altra funzione), otteniamo che se f è derivabile in x0

f(x) = f(x0) + f'(x0)(x-x0) + o(x-x0).

Passando al limite per x→x0, abbiamo che

limx→x0 f(x) = limx→x0 [ f(x0) + f'(x0)(x-x0) + o(x-x0) ]

limx→x0 f(x) = limx→x0 f(x0) + ox→x0 (x-x0) + f(x0)

Di conseguenza, per definizione di funzione continua, f è continua in x0.

Calcolo differenziale in una variabile reale

Teorema: continuità di una funzione derivabile

Siano I = (a, b) ⊆ ℝ un intervallo e f: I → ℝ una funzione derivabile in x0 ∈ I. Allora f è continua in x0.

Dimostrazione:

Innanzitutto, osserviamo che se f è derivabile in x0, quest’ultimo è necessariamente un punto di accumulazione per il dominio di f.

Dalla definizione di derivata e dalla proposizione sull’approssimazione di una funzione (in un intorno di x0 tramite un’altra funzione), otteniamo che se f è derivabile in x0.

f(x) = f(x0) + f'(x0) · (x - x0) + o(x - x0)

Passando al limite per x → x0, abbiamo che

limx → x0 f(x) = limx → x0 f(x0) + f'(x0)(x - x0) + o(x - x0)

limx → x0 f(x) = limx → x0 f(x0) + (x - x0)[f'(x0) + o(x - x0)/x - x0]

limx → x0 f(x) = limx → x0 f(x0 + f'(x0)(x - x0)) = f(x0)

Di conseguenza, per definizione di funzione continua, f è continua in x0. ■

Per me: perché xo è un punto di accumulazione?

Per la definizione di funzione derivabile in xo, sappiamo che

f'(xo) = limx→xo (f(x) − f(xo)) / (x − xo) = l ∈ ℝ

Quindi, siccome nella formula soprastante compare x→xo, allora possiamo affermare, per definizione, che xo è un punto di accumulazione per il dominio di f.

Per me: come si ottiene questa formula?

Dalla definizione di derivata, sappiamo che

f'(xo) = limx→xo (f(x) − f(xo)) / (x − xo)

dove f'(xo) è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico, nonché limite del rapporto incrementale, dove quest’ultimo equivale a (f(x) − f(xo)) / (x − xo). Quindi, applicando tutto ciò che abbiamo appena detto, una funzione derivabile in xo la possiamo scrivere in questo modo

f(x) = f'(xo)(x − xo) + f(xo)

Questa, però, è una funzione affine a quella reale, o meglio è quella che si avvicina di più al grafico di f in xo. Ecco, dunque, che subentra la proposizione sull'approssimazione di una funzione in un intorno di xo tramite un'altra funzione g, che dice la seguente cosa

se lim x→x0f(x)/g(x) = l∈ℝ, allora f(x)=lg(x)+o(g(x))

Se adesso sostituiamo alla funzione della retta:

l= f'(x0)

g(x) = x-x0

otteniamo che

f(x)=f(x0) + f'(x0)(x-x0) + o(x-x0)

Per me: ricorda

Definizione di o-piccolo

Siano f,g: D→ℝ, x0∈ℝ di accumulazione per D e g(x)≠0 def. per x→x0.

Si dice f=o(g) se

lim x→x0f(x)/g(x) = 0

Dunque, lim x→x0o(g(x))/g(x) = 0, perché dalla definizione sappiamo che f(x)=o(g(x))

Attenzione

Il teorema appena enunciato non si può invertire:

in generale non è vero che una funzione definita in un intervallo I e continua in x0∈I risulti anche derivabile in x0.

Tabella delle derivate

Funzioni Derivate
f(x) = C 0
xn (n∈ℕ\{0}) n·xn-1
xα (α∈ℝ,α>0) αxα-1
sinx cosx
cosx -sinx
tanx 1/cos2x = 1+tan2
cotx -1/sin2x = -1-cot2x
sinhx coshx
coshx sinhx
tanhx 1/cosh2x = 1-tanh2x
cothx -1/sinh2x = 1-coth2x
ex ex
ax axlna
ln|x| (x≠0) 1/x
loga|x| (x≠0) logae/x
arcsinx (x∈[-1,1]) 1/√1−x2
arccosx (x∈[-1,1]) -1/√1−x2
arctanx 1/1+x2
arccotx -1/1+x2
settsinhx (x∈ℝ) 1/√x2+1
setcoshx (x > 1) 1 / √(x2-1)
settanhx (x∈]-1,1[) 1 / 1-x2
settcothx (|x| > 1) 1 / 1-x2

Tabella calcolo delle derivate

  1. D[ ƒ(x)+g(x) ] = ƒ'(x) + g'(x)
  2. D[ ƒ(x)·g(x) ] = ƒ'(x)·g(x) + ƒ(x)·g'(x)
  3. D[ ƒ(x) / g(x) ] = ƒ'(x)·g(x) = ƒ(x)·g'(x)[g(x)]2(g(x) ≠ 0)
  4. D[ 1 / g(x) ] = - g'(x)[g(x)]2(g(x) ≠ 0)
  5. D[ g( ƒ(x) ) ] = D( g · ƒ ) = g'( ƒ(x) ) · ƒ'(x)
  6. D[ h( ƒ( g(x) ) ) ] = h'( ƒ( g(x) ) ) · ƒ'( g(x) ) · g'(x)
  7. D[ ƒ(x)g(x) ] = ƒ(x)g(x) · [ ƒ'(x) · ln(ƒ(x)) + g'(x) / g(x) · ƒ'(x) ]
  8. D[ ƒ-1(x) ] = ƒ'( ƒ-1(x) )

Teorema di Fermat

Siano I = (a, b), x0 ∈ I e ƒ: I → ℝ funzione derivabile in x0.

Se x0 è un punto di estremo locale (massimo o minimo), allora ƒ'(x0) = 0.

N.B. In questo caso, x0 è anche detto punto stazionario (e critico).

Dimostrazione:

Supponiamo che x0 sia un punto di massimo relativo (il caso con il minimo locale è del tutto analogo).

Dalla definizione di punto di massimo locale, sappiamo che Ɛ > 0 t.c. ∀x ∈ Ix0-Ɛ, x0 + Ɛ ∩ I ƒ(x0) ≥ ƒ(x)

Vediamo ora come si comportano le derivate destra e sinistra in x0.

ƒ'+(x0) = limx → x0+ ƒ(x) - ƒ(x0)⁄x - x0

Sapendo che in un intorno qualsiasi di: x0, del tipo ]x0, x0 + δ[, ∀x t.c. x0 0 + δƒ(x) - ƒ(x0)⁄x - x0 ≤ 0 ①

per il corollario del teorema del confronto, possiamo affermare che anche

ƒ'+(x0) = limx → x0- ƒ(x) - ƒ(x0)⁄x - x0 ≤ 0

Del tutto analogo è il ragionamento per la derivata sinistra:

f'-(x0) = limx → x0 (f(x) - f(x0)) / (x - x0)

Sapendo che in un intorno qualsiasi di x0, del tipo ]x0 - δ, x0[, ∀ x t.c. x0 - δ 0:

(f(x) - f(x0)) / (x - x0) ≤ 0

Per il corollario del teorema del confronto, possiamo affermare che:

f'-(x0) = limx → x0 (f(x) - f(x0)) / (x - x0) ≤ 0

Poiché da ipotesi sappiamo che f è derivabile in x0, allora per il teorema sulle funzioni derivabili in un punto, otteniamo che:

f'-(x0) = f'+(x0) = f'-(x0)

Dunque, f'(x0) non può essere altro che uguale a zero.

Attenzione

Il teorema di Fermat non si può invertire, cioè non è detto che se f'(x0) = 0, allora necessariamente x0 è un punto di estremo locale (massimo o minimo).

Per me: caso con il minimo locale

Dimostrazione: [in brevissimo]

Supponiamo che x0 sia un punto di minimo relativo, allora

∃δ>0 t.c. ∀x∈]x0-δ, x0+δ[∩] ƒ(x0)≤ƒ(x)

\dfrac{ƒ(x)−ƒ(x0)}{x−x0}\ge 0 ∀ x0-δ x1 ⇒ f(x2) ≥ f(x1) ∀x1, x2 ∈ Df.

Quindi, essendo f derivabile possiamo studiare anche solo il segno della derivata prima(in quanto f'(x0) = f'(c0) = f'(x0)) Dunque, ∀x, x0 ∈ I (dove x = x2 e x0 = x1) f(x) − f(x0) / x - x0 ≥ 0 Corollario del teorema del confronto

f'(x) = limx→x0 f(x) − f(x0) / x - x0 ⇒ 0

⇐) Supponiamo ora che f'(x) ≥ 0 ∀x ∈ I.

Siano x1, x2 ∈ I t.c. x1 ≠ x2.

Siamo nelle condizioni di poter applicare il teorema di confronto alla funzione f nell’intervallo [x1,x2] di conseguenza

∃x ∈ (x1,x2) t.c. f(x2) − f(x1) / x2 - x1 = f'(x)

Sapendo che f'(x) ≥ 0, allora

∫(x2) = ∫(x1) ➔ ∫(x2) ≥ ∫(x1)

(perché avevamo supposto che x2 ≥ x1)

ovvero f è crescente.

P.S.

Il caso 2) è del tutto analogo al caso 1).

Per i casi 3) e 4), invece, la dimostrazione è del tutto simile alla seconda parte della dimostrazione del caso 1).

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Scienze matematiche e informatiche MAT/05 Analisi matematica
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Ilragazzoatomico di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi matematica 1 e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli studi Ca' Foscari di Venezia o del prof Fasano Giovanni.
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