Breve riepilogo di Meccanica razionale

Velocità virtuale

Il moto dei punti di un sistema vincolato è descritto da l parametri lagrangiani dove l è la dimensione dello spazio delle configurazioni a cui appartengono i punti del sistema. La velocità dell’i-esimo punto è data dalla derivata nel tempo del punto P il quale dipende dagli l parametri lagrangiani q (i quali dipendono dal tempo) e dal tempo stesso. La velocità si può scomporre in due componenti: una parte tangente alla varietà (e quindi tangente al vincolo) e una parte ortogonale. La componente tangenziale prende il nome di velocità virtuale e non è altro che la proiezione della velocità del punto sul vincolo. Se il vincolo fosse fisso, velocità virtuale e totale combacerebbero. La componente ortogonale è la velocità di trascinamento ed è la parte di velocità dovuta alla velocità del vincolo stesso. Lo spostamento dei punti lungo il vincolo dovuto alla velocità virtuale è detto spostamento virtuale.

Stabilità dei sistemi dinamici

Intuitivamente, osservando i ritratti di fase dei vari sistemi dinamici si può osservare che fissato un intorno U di un punto di equilibrio e un punto della traiettoria all’istante iniziale appartenente ad un intorno U’ incluso in U. Un punto risulta di equilibrio stabile se la traiettoria che si origina da esso non esce mai da U qualunque istante di tempo consideri. Il punto risulta asintoticamente stabile se invece la traiettoria tende verso esso per t che tende ad infinito.

Sistemi dinamici lineari

I sistemi dinamici lineari sono lineari se il campo vettoriale è una funzione lineare. Pertanto sono rappresentabili tramite una trasformazione lineare individuata da una matrice A. Generalmente non è una matrice simmetrica, quindi può essere diagonalizzabile solo nei complessi. Si vedrà che può anche non essere diagonalizzabile. Nel caso in cui è diagonalizzabile si arriva alla conclusione dove: se A ha un autovalore con parte reale positiva allora l’equilibrio è instabile. Se ogni autovalore ha parte reale negativa o nulla allora l’equilibrio è stabile. Se tutti gli autovalori hanno parte reale strettamente negativa allora l’equilibrio è asintoticamente stabile. Se però A non è diagonalizzabile vanno fatte alcune considerazioni. Anzitutto una matrice non è diagonalizzabile se la molteplicità algebrica di un suo autovalore è maggiore della dimensione del proprio autospazio, ovvero della propria molteplicità geometrica. Pertanto la conclusione finale varia sulla stabilità e diventa: l’equilibrio del sistema è stabile se ogni autovalore ha parte reale negativa o nulla, in particolare, se è nulla, l’autovalore deve avere MG=MA.

Sistemi non lineari

Adesso non possiamo applicare nessuna matrice associata ad una trasformazione lineare, una strada che possiamo percorrere è la linearizzazione del sistema per arrivare a sfruttare le proprietà viste precedentemente. Linearizzare il sistema dinamico vuol dire approssimare attraverso uno sviluppo di Taylor al primo ordine calcolato nel punto di equilibrio. Ciò che otteniamo è un campo vettoriale dove il grado 0 è nullo e tutto ciò che è superiore al grado 2 è trascurabile, il grado 1 è individuato dalla sommatoria delle derivate parziali prime del campo vettoriale nelle componenti del vettore di stato per il vettore spostamento dal punto di equilibrio. La sommatoria delle derivate parziali non è altro che la matrice jacobiana del campo vettoriale. Studiando questa matrice ci riconduciamo al criterio di stabilità linearizzata il quale dice che: se ogni autovalore di J ha parte reale negativa allora l’equilibrio è asintoticamente stabile, se uno ha parte reale positiva allora l’equilibrio è instabile. Questo criterio è utile per trovare l’instabilità ma è molto debole per la stabilità, infatti se un autovalore ha parte reale nulla non posso giungere a nessuna conclusione. Per questo motivo è utile introdurre un altro criterio che ci permette di definire se un punto di equilibrio è o meno stabile: il criterio di Ljapunov. Sia D(u) una funzione definita in un intorno U del punto di equilibrio. Se D nel punto di equilibrio ha un minimo isolato e D(u) non cresce lungo la traiettoria u(t) allora il punto di equilibrio è stabile. Dimostrando che, fissato un punto iniziale appartenente ad un intorno U’ contenente il punto di equilibrio, la traiettoria che si origina da esso non esce dall’intorno U di equilibrio.

Piccole oscillazioni

Una volta trovate le configurazioni di equilibrio stabile di un sistema vincolato posso studiarne il moto in presenza di piccole perturbazioni. Alle variabili del punto di equilibrio aggiungo una variabile di perturbazione e sostituisco alle equazioni di Lagrange i parametri con quelli perturbati. Linearizzando il sistema ottengo una nuova scrittura che pone in uguaglianza la derivata nel tempo del prodotto fra la matrice hessiana dell’energia cinetica valutata nel punto di equilibrio e la derivata prima della variabile di perturbazione con il prodotto fra la matrice hessiana dell’energia potenziale valutata sempre all’equilibrio e la variabile di perturbazione. Quello che otteniamo è un sistema di l equazioni accoppiate del secondo ordine. Per ottenere l equazioni indipendenti devo disaccoppiare il sistema, ovvero devo diagonalizzare simultaneamente le matrici hessiane. Per definizione le matrici hessiane sono simmetriche, pertanto per il teorema spettrale esiste una base ortogonale che le diagonalizza. Ottengo così l equazioni indipendenti. La matrice dell’energia cinetica è sempre definita positiva, pertanto i suoi autovalori x sono sempre positivi. La matrice dell’energia potenziale valutata nell’equilibrio stabile è definita semipositiva, per semplicità la considero definita positiva e quindi con autovalori y positivi. Scegliendo la k-esima equazione si ha questa scrittura: x A’’ = - y A da cui si può giungere a A’’ = - y/x A che è proprio un’oscillazione con pulsazione w²=y/x. Si può concludere che ogni sistema dinamico si comporta come un sistema di l oscillatori intorno alla configurazione di equilibrio stabile. Ogni singola equazione disaccoppiata viene detta modo normale dell’oscillazione del sistema. Conoscere i modi normali ci permette di confermare le conclusioni che si ottengono col criterio di Dirichelet e di poter agire sul sistema per renderlo ancora più stabile aggiungendo ulteriori vincoli.

Thm di Huygens

Il teorema di Huygens mi permette di poter calcolare il momento d’inerzia di qualunque punto del corpo rigido conoscendo il momento d’inerzia calcolato nel centro di massa e la distanza fra centro di massa e punto in cui lo voglio calcolare.

Forze posizionali

Le forze posizionali sono forze che non dipendono dalla velocità del corpo ma solo dalla sua posizione. Un sistema di forze posizionali ha pertanto una configurazione di equilibrio nel punto (x -eq). Il tipo di equilibrio si studia attraverso il criterio di stabilità linearizzata il quale individua la matrice Jacobiana. Pertanto se Re{l}>0 equilibrio instabile, se Re{l}<0 equilibrio asintoticamente stabile.

Sistemi dinamici

Sono sistemi di N equazioni differenziali del primo ordine. Il campo vettoriale che descrive la dinamica del sistema dipende dal vettore u detto vettore di stato il quale può o meno dipendere dal tempo, e dal tempo. Il vettore di stato si può muovere in uno spazio R detto spazio degli stati di dimensione pari a N. Un caso particolare di sistema dinamico è il sistema meccanico il quale ha N=6 equazioni. Grazie al teorema di Cauchy la soluzione di un sistema dinamico calcolata in un intorno delle condizioni iniziali assegnate al sistema è unica. Pertanto possiamo concludere che la meccanica è deterministica, ovvero conoscendo le condizioni del sistema ad un determinato istante, per l’unicità della soluzione io posso determinare come sono arrivato in quel punto e come esso continuerà a muoversi in futuro. Una soluzione u(t) del sistema è una curva appartenente allo spazio delle fasi R detta traiettoria o orbita. Il campo vettoriale f(u(t),t)=u’(t) può essere individuato come l’assegnazione istante per istante della tangente alla curva. Se il campo vettoriale non dipende dal tempo il sistema dinamico si dice autonomo. In questo caso, nello spazio delle fasi non potremo mai avere due traiettorie incidenti poiché questo sarebbe in contrasto con l’unicità della soluzione ottenuta dal teorema di Cauchy. Se ho due traiettorie incidenti ho due possibili casi: il primo è che il campo vettoriale sia non autonomo e quindi nulla mi vieta che le due traiettorie passino per il punto di incidenza in due istanti diversi, il secondo invece è che il campo vettoriale sia sempre autonomo ma le traiettorie non siano soluzioni valide.