Autovalori e autovettori - Dimostrazioni teoremi spiegate

Autovalori e autovettori

Proposizione

Sia T: V→V un endomorfismo di uno spazio vettoriale V (di dimensione n) e v₁,...,v_K ≠ 0 (K ≤ n) autovettori di T corrispondenti ad autovalori distinti λ₁,...,λ_K ∈ ℝ. Allora v₁,...,v_K sono linearmente indipendenti.

Oss.

Avere autovalori distinti significa che λ_i ha molteplicità 1 ∀i=1,...,K, ovvero λ_i ≠ λ_j per i,j=1,...,K

Dimostrazione

Procediamo per induzione su K. Per K=1, non c'è nulla da dimostrare. Per K-1, invece, supponiamo che v₁,...,v_K-1 siano linearmente indipendenti. Siano α₁,...,α_K ∈ ℝ t.c. α₁v₁+...+α_Kv_K=0

Applicando l'endomorfismo T, abbiamo

0 = T(α₁v₁+...+α_Kv_K)

0 = α₁T(v₁)+...+α_KT(v_K)

Autovalori e autovettori

Proposizione

Sia T:V→V un endomorfismo di uno spazio vettoriale V (di dimensione n) e v₁,...,v_k≠0 (k≤n) autovettori di T corrispondenti ad autovalori distinti λ₁,...,λ_k ∈ℝ. Allora v₁,...,v_k sono linearmente indipendenti.

Oss.

Avere autovalori distinti significa che λ_i ha molteplicità 1 ∀i=1,...,k, ovvero λ_i≠λ_j per i,j=1,...,k

Dimostrazione

Procediamo per induzione su k. Per k=1, non c'è nulla da dimostrare. Per k-1, invece, supponiamo che v₁,...,v_k-1 siano linearmente indipendenti. Siano α₁,...,α_k ∈ℝ t.c. α₁v₁+...+α_kv_k=0

Applicando l'endomorfismo T, abbiamo

0=T(α₁v₁+...+α_kv_k)

0 = α₁T(v₁) + ... + α_kT(v_k)

Per definizione di autovettori e autovalori, avremo

0 = α₁λ₁v₁ + ... + α_Kλ_Kv_K(1)

Sapendo che α_Kv_K = - α₁v₁ - ... - α_K-1v_K-1 sostituiamo quest'ultima all'ultima uguaglianza trovata (1), otteniamo

0 = α₁λ₁v₁ + ... + λ_K(- α₁v₁ - ... - α_K-1v_K-1)

0 = α₁(λ₁ - λ_K)v₁ + ... + α_K-1(λ_K-1 - λ_K)v_K-1

Siccome λ₁, ..., λ_K sono tutti distinti per ipotesi e inoltre, per ipotesi induttiva, v₁, ..., v_K-1 sono linearmente indipendenti, avremo che

α₁ = ... = α_K-1 = 0

Quindi, α_K v_K = 0, e di conseguenza, essendo v_K ≠ 0, v₁, ..., v_K sono linearmente indipendenti.

Proposizione sulla molteplicità

La molteplicità algebrica di un autovalore _a(λ) è sempre maggiore o uguale alla sua molteplicità geometrica _g(λ).

_a(λ) ≥ _g(λ)

Oss. importante

n ≥ _a(λ) ≥ _g(λ) ≥ 1    (n = dim V)

_g(λ) = 0  Non esiste, perché, per definizione di autovettore, V ≠ 0, ovvero gli autovettori devono essere sempre non nulli.

Dimostrazione

Sia λ_o ∈ sp(T), _g(λ_o) = h e {v1, ..., vh} una base di Vλ_o.

Ipotizziamo che T:V → V sia t.c. dim V = n e h ≥ n, allora completiamo la base di Vλ_o con una base di V: {v1, ..., vh, v_h+1, ..., v_n}.

Rispetto a questa base, l'endomorfismo T è rappresentato da una matrice A della forma

A = | λ_oI_h   B |      |       O       C | (vedi spiegazione)

dove B e C sono due generiche matrici del tipo

B ∈ R^hx(n-h)

C ∈ R^(n-h)x(n-h)

Dunque:

A-λI_n =

Sviluppando con Laplace il determinante di A rispetto alle prime h colonne, il polinomio caratteristico di A sarà

P_T(λ) = det(A-λI_n) = (λ_o-λ)^h・P_C(λ) → Δ

Può sicuramente λ_o t.c. P_C(λ_o) = 0, √□ quindi, siccome la molteplicità algebrica di λ_o, per definizione, è la sua molteplicità come radice del polinomio caratteristico P_T(λ), in altri termini è il più grande h tale per cui (λ_o-λ)^h divide P_T(λ) ne consegue che μ_A(λ_o) ≥ h, e quindi μ_A(λ_o) ≥ μ_C(λ_o). □

① Per me: spiegazione formula

Il determinante di una matrice triangolare superiore è uguale al prodotto degli elementi sulla diagonale principale

det(A) = ∏_i=1,…,n a_ii

② Per me: perché P_C(λ_o) = 0?

Se P_C(λ_o) = 0 vuol dire che, quindi, anche P_T(λ)=0. Di conseguenza possiamo trovare T, ovvero radice del polinomio P_T(λ) tale per cui sia un autovalore di T, (p.s.: se può essere aperto, se P^...)