Autovalori e autovettori

Autovalori e autovettori

Trasformazioni lineari con dominio = codominio

In caso di matrici → matrici quadrate (n° righe = n° colonne)

Def.: L: V → V lineare, dove V = spazio vettoriale.

∀v ∈ V, v ≠ 0 si dice autovettore di L se L(v) = λv, (esiste un numero λ, detto autovalore, tale che L(v) = λv)

Esempio:

L_a: ℝ² → ℝ²

A = [^{1 0}/_{0 2}]

L_w: ℝ² → ℝ²

A = [^{-1 0}/_{0 1}]

A = [²/₀]

Autovalori e autovettori

Trasformazioni lineari con dominio = codominio

In caso di matrici -> matrici quadrate (n° righe = n° colonne)

Def.: $\mathscr{L} : V \to V $ lineare, dove $V =\text{spazio vettoriale} $

$ \forall v \in V, v \ne 0 $ si dice autovettore di $\mathscr{L} $ se $ \mathscr{L}(v) = \lambda v $, (esiste un numero $\lambda $, detto autovalore, tale che $ \mathscr{L}(v) = \lambda v $)

Esempio

$\mathscr{L}_{a} : \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{2} $

$A = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} $

$\mathscr{L}_{a} \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4x_{1} \\ 2x_{2} \end{bmatrix} $

$x_{2} = x_{4}$   $y_{2} = 2y_{1}$

$\mathbb{R}^{2} (x_{1}, y_{1})   \mathbb{R}^{2} (x_{2}, y_{2}) $

$A_{1} (1;0)   (1;0) $

$A_{2} (3;0)   (3;0) $

$A_{3} (2;3)   (2;6) $

$A_{4} (1;4)   (1;8) $

$A_{5} (1;3)   (1;6) $

$ v_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} $ $ v_{2} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} $

$ v_{3} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} $

$ v_{L_{a}2} = \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \end{bmatrix} $

$ v_{4} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} $

$ v_{L_{a} =} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} $

$ v_{3m} = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \end{bmatrix} $

$ v_{L_{a}m+} \begin{bmatrix} -1 \\ -2 \end{bmatrix} $

L(_v₁) = v₁ = 1v₁

v₁ autovettore con autovalore λ = 1

L(_v₂) = λv₂

L(_v₃) = λv₃ = 2v₃

v₃ autovettore con autovalore λ = 2

L(_v₄) = χv₄

Esempio 2

R_θ: ℝ² → ℝ²

R_θ lineare e per ogni v ≠ 0

R_θ(v) ≠ χv

Non sono autovettori / autovalori reali (sì sono se consideriamo i numeri complessi)

Esempio 3

V = C^∞ (ℝ) = { f: ℝ → ℝ} f ammette derivate di ogni ordine

L: V → V

L(f) = f' f' è derivata di f

Ad esempio, se f(x) = cos x => L(f)(x) = -sin x

f(x) è autovalore di L con autovalore λ se f'(x) = λ f(x)

=> Si nota che la funzione f(x) = e^λx verifica

=> e^λx è autovettore di L con autovalore λ

Problemi sugli autovalori

Data L_ϕ: ℝⁿ → ℝⁿ con A matrice n x n

• Come si trovano gli autovalori? Problema non lineare
• Dato un autovalore, come si trovano i relativi autovettori?

Si risolve un sistema lineare.

Polinomio caratteristico

Def.: un polinomio caratteristico di una matrice A n x n è

p_A(λ) = det (A - λI_n)

Esercizio

A = ^{1 2} _{3 4}

p_A(λ)  (1-λ) (4-λ) - 6 = = 1-4λ + 4λ + λ² - 6,   λ² - 5λ - 2

A - λI₂  = ^{[1 2]} _{[3 4]} - λ ^{[1 0]} _{[0 1]}

= ^{[1-λ 2]} _{[3 4-λ]}

Esempio con matrice 3 x 3

A = ^{1 2 5} _{-1 2 7 3 4 4}

p_A(λ) = -λ³ + λ + 2λ² + 6λ + 16

(1-λ) ^{[2 λ 7]} _{[1 4-λ]}   -   2 ^{-1 7} _{3 4-λ}   +   5 ^{-1 2-λ} _{3 1}

= (4-λ) ^[2-λ] λ [λ²] - 2 ^{-4-λ] - 2λ} [4-λ]   [ -1-3(2-λ) ] = = (4-λ) ^{[3 2λ - λ]} - 2 _{[ -4λ+λ2] + 5 [ -1-6+3λ ]}

= (1-λ) ^{[2 - 6λ + 1]} -2 _{[ λ - 25 - 5 . 3λ . 7 ]}

= -λ³ + 6λ² - λ + λ² - 6λ + 1 - 2λ + 50 + 15λ - 35 =

= -λ³ + λ + 2λ² + 6λ + 16

Teorema sugli autovalori

Teorema: sia = Rⁿ applicazione lineare associata alla matrice A = n x n, allora gli autovalori di A sono tutte e sole le radici del polinomio caratteristico, ossia i numeri λ che verificano

p_λ(λ) = 0

Dimostrazione

λ autovalore di A ⇒ ∃ v ≠ 0 ∧ A v = λ v

A v - λ v = 0

A v - λ (I_n v) = 0

(A - λ I_n)v = 0

v ≠ 0 è autovettore relativo all'autovalore λ

⇔ (A - λ I_n)v = 0

⇔ v ≠ soluzione non banale del sistema lineare omogeneo (A - λ I_n)x = 0

⇔ le colonne (A - λ I_n)x = 0 ammette una soluzione non banale

⇔ rango (A - λ I_n) < n       - Rouché Capelli

v ≠ 0 è autovettore relativo all'autovalore λ

⇔ λ è autovalore di A

⇔ rango (A - λ I_n) < n

⇔ det (A - λ I_n) = 0     ⇔ p(A) = 0

A - λ I_n matrice quadrata di ordine n

Polinomio caratteristico e grado

Un polinomio è

p(t) = a₀ t^r + a₁ t^r-1 + a₂ t^r-2 + ... + a₂ t² + a₁ t + a₀

n ≠ 0 si dice grado del polinomio     (t³- 2t²+t - 1 è di grado 3)

Se polinomio caratteristico di una matrice di ordine n è un polinomio di grado n,

A =     [ a    b ]     [ c    d ]      ↦ p_A (λ) grado 2

A =     [ a₁₁  a₁₂  a₁₃ ]     [ a₂₁  a₂₂  a₂₃ ]     [ a₃₁  a₃₂  a₃₃ ]      ↦ p_A (λ) grado 3

ρ_A(λ) = |a₁₁-λ a₁₂ a₁₃| |a₂₁ a₂₂-λ a₂₃| |a₃₁ a₃₂ a₃₃-λ| + termini di 2^o grado

A matrice 4 x 4 ρ_A(λ) = λ⁴ + termini di 3^o grado

In generale

Se A è una matrice di ordine n il polinomio caratteristico

ρ_A(λ) ⟨λⁿ + termini di grado < n se n pari

-λⁿ + termini di grado < n se n dispari

Radici di un polinomio

Quante radici ha un polinomio di grado n?

n = 1

p(t) = at + b a ≠ 0

p(t) ha esattamente una radice t₀ = -b/a

n = 2

p(t) = at² + bt + c a ≠ 0

Δ = b² - 4ac: se

Δ > 0: t₁ = -b + √Δ/2a; t₂ = -b - √Δ/2a

Δ = 0: t₁ = t₂ = -b/2a

ρ(t) ha 0 ≤ r ≤ 2 radici reali

Numeri complessi

Δ ≠ 0: p(t) ha 2 radici t₁; t₂ = -b ± √Δ/2a

Δ = 0: p(t) ha 1 radice t₀ = -b/2a

In questo caso: p(t) = 2 (t + ^b/_2a)²

=> -^b/_2a = radice di molteplicità = 2

Se consideriamo i numeri complessi e consideriamo le molteplicità delle radici, un polinomio di 2° grado ha esattamente 2 radici se contate con le relative molteplicità

Teorema fondamentale dell'algebra

Ogni polinomio (a coefficienti complessi) prende esattamente n radici, se contate con la relativa molteplicità

Quindi ogni matrice di ordine n ammette n autovalori se contati con le relative molteplicità (algebriche)

Teorema

p(t) polinomio, t₀ numero.

Allora p(t₀) = 0 <=> p(t) = (t - t₀) q(t) con q(t) polinomio di grado pari al grado di p(t) diminuito di 1

Molteplicità di una radice e sviluppo di Taylor

f ∈ C^∞ (ℝ) x₀ ∈ ℝ

f(x) = f(x₀) + f'(x₀) (x - x₀) + f''(x₀) / 2! (x - x₀)² + ... + f⁽ⁿ⁾(x₀) / n! (x - x₀)ⁿ + R_n(x)

R_n(x) = o((x - x₀)ⁿ)

Se f è un polinomio di grado n, R_n(x) = 0

f(x) = f(x₀) + f'(x₀) (x - x₀) + f''(x₀) / 2! (x - x₀)² + ... + f⁽ⁿ⁾(x₀) / n! (x - x₀)ⁿ

Se f(x₀) = 0

f(x) = f'(x₀) (x - x₀) + f''(x₀) / 2! (x - x₀)² + ... + f⁽ⁿ⁾(x₀) / n! (x - x₀)ⁿ = f(x) = (x - x₀) [ ^{f(1) (x₀)} ⁄_1! (x - x₀) + ... + ^f(n) ⁄_n! (x - x₀)^n-1 ]

q(x) = polinomio di grado ≤ n-1

Quindi f(x) = (x - x₀) q(x)

Se f⁽¹⁾ (x₀) = 0: f(x) = [ ^{f(2) (x₀)}⁄_2! (x - x₀)² + ... + ^f(n) ⁄_n! (x - x₀)ⁿ ] = (x - x₀) [ ^{f(2) (x₀)}⁄_2! (x - x₀) + ... + ^f(n) ⁄_n! (x - x₀)^n-2 ]

q(x) = polinomio di grado ≤ n-2

f(x) = (x - x₀)² q(x)

x₀ è uno zero con molteplicità ≥ 2

Molteplicità: si dice che x₀ è uno zero di molteplicità k di f ∈ C^∞(R) se

f⁽⁰⁾ = f⁽¹⁾ = ... = f^(n-1) (x₀) = 0 e f⁽ⁿ⁾ (x₀) ≠ 0

Se f(x) è un polinomio di con questo equivale a dire

f(x) = (x - x₀)^k q(x) q(x) di grado n-k

Es 1

A = [ 1+t 0 0 2+t]

p_A(t) = - (1-t) (2-t)

t = 1 t = 2 autovalori

ciascuno ha molteplicità algebraica 1 ovvero molteplicità 1 ↔ semplice e multiplo