Appunti Termofluidodinamica - parte 1

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BERGAMO

Dipartimento di Ingegneria e Scienze Applicate

Termofluidodinamica

·

Le equazioni di conservazione Lo strato limite

·

Le approssimazioni di strato limite Le analogie

·

Il metodo di Blasius Il flusso interno

·

Il numero di Grashof La convezione mista

Corso Termofluidodinamica

Docente Prof. G.E. Cossali

Appunti a cura di Cristiano Rollo

Anno accademico 2020/2021

Indice

Notazione e simboli 11

I I meccanismi di trasporto 15

1 Diffusione molecolare e convezione 16

1.1 I tre meccanismi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2 Il divario fra i due meccanismi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Notazione tensoriale e teoremi integrali 18

2.1 L’operatore nabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2 La convenzione di somma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 Il teorema di Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

II Le equazioni di conservazione 20

3 Il teorema del trasporto 21

3.1 L’enunciato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2 La superficie materiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3 L’applicazione: l’equazione di continuità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4 La massa e la quantità di moto 24

4.1 Le due forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.2 Il significato dei termini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.3 La forma non conservativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5 L’energia 26

5.1 Dal primo principio alle potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.2 La forma integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.3 La forma differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5.4 Il problema non è ancora chiuso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

III Le equazioni costitutive 28

6 La conservazione della specie chimica 29

6.1 Il bilancio integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

6.2 La forma differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

6.3 La forma per il fluido incomprimibile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1

Indice 2

7 Il tensore degli sforzi, Fourier e Fick 31

7.1 Il tensore degli sforzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

7.2 Il postulato di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

7.3 La legge di Fick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

7.4 La superficie isoterma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

8 La conduttività termica e il modello incomprimibile 34

8.1 L’ordine di grandezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

8.2 La dipendenza dalla temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

8.3 Il caso incomprimibile: riepilogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

IV I coefficienti di scambio convettivo 37

9 Il coefficiente di scambio termico convettivo 38

9.1 La definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

9.2 Il coefficiente locale e il coefficiente medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

10 Il coefficiente di scambio di massa convettivo 40

10.1 La forma molare e la forma massica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

10.2 La potenza scambiata e i valori medi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

V Lo strato limite 42

11 Gli strati limite dinamico, termico e di concentrazione 43

11.1 Lo strato limite dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

11.2 Lo strato limite termico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

11.3 Lo strato limite di concentrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

12 L’analogia fra i tre trasporti 46

12.1 La riscrittura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

12.2 Perché l’analogia esiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

13 Le regioni dello strato limite e la transizione 48

13.1 Le due regioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

13.2 Il numero di Reynolds critico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

13.3 Che cosa cambia alla transizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

VI Le approssimazioni di strato limite 51

14 Gli ordini di grandezza 52

14.1 Le sette ipotesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

14.2 Le due lunghezze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

14.3 Le derivate prime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

14.4 Le derivate seconde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Indice 3

15 La continuità e la quantità di moto 55

15.1 La continuità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

x

15.2 La quantità di moto in direzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

y

15.3 La quantità di moto in direzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

16 L’equazione dell’energia 57

16.1 L’equazione dell’energia meccanica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

16.2 L’energia interna di un fluido incomprimibile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

16.3 La sottrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

16.4 La divergenza degli sforzi viscosi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

16.5 Le stime di strato limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

17 La specie chimica e il sistema completo 60

17.1 La specie chimica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

17.2 Le equazioni dello strato limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

17.3 La lettura del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

VII L’adimensionalizzazione 62

18 Le variabili adimensionali 63

18.1 Le variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

18.2 I coefficienti che compaiono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

18.3 I quattro numeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

18.4 Il sistema adimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

19 Le condizioni al contorno 66

19.1 I due contorni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

19.2 Da dove vengono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

20 Le dipendenze funzionali 68

20.1 La funzione di forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

20.2 Da che cosa dipende ciascuna soluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

VIII I gruppi adimensionali 70

21 Attrito, Nusselt e Sherwood 71

21.1 Il coefficiente d’attrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

21.2 Il numero di Nusselt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

21.3 Il numero di Sherwood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

21.4 Il quadro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

22 I coefficienti medi 73

22.1 L’integrazione lungo la lastra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

22.2 Perché questo rende possibili le correlazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Indice 4

IX Le analogie 74

23 L’analogia fra calore e massa 75

23.1 L’ipotesi: il numero di Eckert è piccolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

23.2 Le due soluzioni hanno la stessa funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

23.3 La forma esplicita e il numero di Lewis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

24 L’analogia di Reynolds 77

24.1 Le quattro condizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

24.2 Le tre equazioni diventano una . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

24.3 La relazione fra attrito e scambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

24.4 La forma con il numero di Stanton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

25 Chilton–Colburn e le diffusività turbolente 79

25.1 Le condizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

25.2 La costruzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

25.3 L’estensione al regime turbolento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

X Il metodo di Blasius 82

26 La funzione di corrente e la similitudine 83

26.1 La funzione di corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

26.2 La variabile di similitudine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

26.3 Le velocità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

26.4 Che cosa significa autosimile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

26.5 La pressione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

27 L’equazione di Blasius 86

27.1 La trasformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

27.2 Le condizioni al contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

28 La soluzione del problema dinamico 88

28.1 Lo spessore dello strato limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

28.2 Lo sforzo tangenziale e l’attrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

XI Il problema termico sulla lastra piana laminare 90

29 La temperatura in similitudine 91

29.1 Il punto di partenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

29.2 Le derivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

29.3 L’equazione ordinaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

30 Il numero di Nusselt locale 93

∗

T h

30.1 Da a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

30.2 Il valore della derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

30.3 Lo spessore dello strato limite termico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Indice 5

31 Lo scambio di massa 95

31.1 Le variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

31.2 Il numero di Sherwood locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

32 Le correlazioni locali e medie 97

32.1 Il quadro delle correlazioni locali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

32.2 Il passaggio ai valori medi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

33 I metalli liquidi 99

≪

33.1 Perché Pr 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

33.2 La correlazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

XII Lo strato limite turbolento sulla lastra piana 101

34 La transizione e le correlazioni turbolente 102

34.1 L’ascissa critica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

34.2 Lo spessore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

34.3 Le correlazioni locali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

35 Il valore medio su lastra mista 104

35.1 L’integrale spezzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

35.2 Il risultato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

36 L’effetto delle condizioni al contorno 106

36.1 Il flusso termico uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

XIII Il cilindro, la sfera e i fasci tubieri 107

37 Il distacco dello strato limite 108

37.1 Perché il cilindro è diverso dalla lastra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

37.2 Il gradiente di pressione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

37.3 La condizione di distacco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

37.4 L’effetto della turbolenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

38 Il Nusselt locale lungo la circonferenza 112

38.1 I due comportamenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

39 La correlazione di Hilpert 114

39.1 La forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

39.2 Il cilindro circolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

39.3 Il cilindro non circolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

40 Zhukauskas e Churchill–Bernstein 116

40.1 La correlazione di Zhukauskas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

40.2 La correlazione di Churchill–Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

40.3 Il confronto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Indice 6

41 La sfera e la goccia 119

41.1 La correlazione di Whitaker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

41.2 Le gocce in caduta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

42 I fasci tubieri 121

42.1 Gli effetti dell’interazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

42.2 La velocità massima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

42.3 La correlazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

42.4 La correzione per pochi ranghi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

XIV Il flusso interno laminare 124

43 La regione d’ingresso e il pieno sviluppo 125

43.1 Il pieno sviluppo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

43.2 Il regime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

43.3 La lunghezza della regione d’ingresso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

44 Il profilo di velocità di Poiseuille 127

44.1 L’equazione di partenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

44.2 Le quattro semplificazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

44.3 Il gradiente di pressione è costante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

44.4 Le due integrazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

45 La velocità media e il fattore d’attrito 129

45.1 La velocità media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

45.2 Il fattore d’attrito di Darcy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

45.3 Il regime turbolento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

XV Il problema termico nel condotto 131

46 La temperatura media di sezione 132

46.1 Perché il profilo di temperatura non si stabilizza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

46.2 La temperatura media di sezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

46.3 Il coefficiente di scambio e la temperatura adimensionale . . . . . . . . . . . . . 133

46.4 La lunghezza della regione d’ingresso termica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

47 Il flusso termicamente sviluppato 135

47.1 Il flusso termico alla superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

47.2 Il coefficiente di scambio è costante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

47.3 La regione d’ingresso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

XVI I profili assiali di temperatura 138

48 Le due condizioni al contorno 139

48.1 Il flusso termico uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

48.2 La temperatura superficiale uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

48.3 Il confronto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

Indice 7

49 Il bilancio energetico e il profilo lineare 141

49.1 Il bilancio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

49.2 Il caso a flusso termico uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

49.3 La potenza totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

50 Il profilo esponenziale e la media logaritmica 143

50.1 L’integrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

50.2 La potenza scambiata, calcolata in due modi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

50.3 I segni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

XVII I profili radiali di temperatura 146

51 L’equazione in coordinate cilindriche 147

h

51.1 Il legame fra e il gradiente radiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

51.2 L’equazione dell’energia in coordinate cilindriche . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

51.3 L’introduzione del campo di velocità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

52 Il flusso termico uniforme 148

52.1 Le due integrazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

52.2 La temperatura media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

52.3 Il numero di Nusselt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

53 La temperatura superficiale uniforme 151

5