Appunti di Termofluidodinamica

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BERGAMO

Dipartimento di Ingegneria e Scienze Applicate

Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Meccanica

Classe LM-33

Termofluidodinamica

ANNO ACCADEMICO 2023/2024

Indice

1. Introduzione e equazioni di conservazione

1.1 Cos'è il trasferimento di calore?

1.2 Equazioni di conservazione della massa e della quantità di moto

1.3 Teorema del trasporto (di Reynolds)

1.4 Significato fisico dei termini delle equazioni di conservazione

1.5 Equazione di conservazione dell'energia

1.6 Equazione di conservazione della specie chimica

1.7 Equazioni costitutive

1.8 Riepilogo: caso incomprimibile

2. Convezione e strato limite

2.1 Coefficiente di scambio termico convettivo

2.2 Coefficiente di scambio di massa convettivo

2.3 Strato limite dinamico (o di velocità)

2.4 Strato limite termico

2.5 Strato limite di concentrazione

2.6 Ipotesi per approssimare lo strato limite

2.7 Sunto delle equazioni dello strato limite

2.8 Adimensionalizzazione

2.9 Numeri adimensionali

2.10 Soluzioni in forma adimensionale

2.11 Gruppi adimensionali per i coefficienti di scambio

2.12 Analogia tra quantità di moto, energia e massa

2.13 Analogia di Reynolds

2.14 Analogia di Chilton–Colburn

3. Convezione forzata: flussi esterni

3.1 Classificazione della convezione

3.2 Lastra piana in regime laminare: soluzione di Blasius

4. Convezione forzata: regime turbolento e geometrie varie

4.1 Lastra piana in regime turbolento

4.2 Regime misto: laminare + turbolento

4.3 E se non è uniforme?

T s ​

4.4 Flusso esterno attorno a un cilindro

4.5 Correlazioni per il cilindro

5. Convezione forzata: flussi interni

5.1 Regime laminare e regione di ingresso

5.2 Flusso laminare completamente sviluppato in un tubo cilindrico

5.3 Fattore di attrito di Darcy

5.4 Problema termico nei flussi interni

5.5 Bilancio energetico

Termofluidodinamica 1 / 61

5.6 Calcolo di nel flusso laminare sviluppato

h

5.7 Zona di ingresso

5.8 Flusso turbolento

5.9 Condotti non circolari

6. Convezione naturale

6.1 La spinta di Archimede

6.2 Approssimazione di Boussinesq

6.3 Lastra verticale: caso laminare

6.4 Lastra verticale: caso turbolento

6.5 Lastra piana orizzontale, uniforme

T s ​

6.6 Cilindro orizzontale, uniforme

T s ​

6.7 Convezione mista

6.8 Convezione naturale con trasporto di specie chimica

7. Riepilogo: significato dei numeri adimensionali

Legenda

Formula chiave da ricordare (con il suo nome sotto).

Osservazioni, notazione e passaggi delicati.

NOTA Spiegazioni intuitive aggiunte per capire il "perché".

IN PAROLE SEMPLICI

Termofluidodinamica 2 / 61

1. Introduzione e equazioni di conservazione

1.1 Cos'è il trasferimento di calore?

Il trasferimento di calore tra un corpo A e un corpo B è il passaggio di energia che avviene quando

tra i due corpi esiste una differenza di temperatura. Il calore va sempre spontaneamente dal corpo

più caldo a quello più freddo.

Esistono tre modalità di trasmissione del calore:

Modalità Quando avviene

I corpi sono a contatto tra loro ed esiste una differenza di temperatura tra di essi. Il

1. Conduzione calore passa "di molecola in molecola", senza movimento macroscopico di

materia.

Un fluido lambisce (scorre sopra) un corpo e tra fluido e corpo c'è una differenza

2. Convezione di temperatura. Il calore viene trasportato anche dal moto del fluido.

3. Irraggiamento I corpi scambiano calore sotto forma di radiazione elettromagnetica, se è presente

(radiazione) una differenza di temperatura. Non serve un mezzo: avviene anche nel vuoto.

1.2 Equazioni di conservazione della massa e della quantità di moto

Nei miei appunti uso la notazione indiciale (di Einstein): un indice ripetuto due

NOTAZIONE ∂u x +

volte in un termine implica una somma su (cioè ). Per esempio

= 1, 2, 3 ∇ = ​

i x, y, z u

i i ∂x

​ ​ ​

∂u ∂u

y z ∇ ⋅

=

+ . Simboli: = densità, = componente della velocità, = tensore degli

​ ​ u ρ u i T

i ik

∂y ∂z

​ ​ ​ ​

sforzi, = forza di volume per unità di massa (es. gravità), = normale uscente dalla

f n

k i

​ ​

superficie.

Forma locale (vale punto per punto) ∂ρ ∇ ( ) = 0

+ ρu

i i

∂t ​ ​ ​ ​

divergenza

Equazione di continuità (conservazione della massa)

∂(ρu )

k ∇ ( ) = ∇ +

+

​ ρu u T ρf

i i k i ik k

∂t ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Equazione di conservazione della quantità di moto

Forma globale (vale per un volume finito)

d ∫ 0

=

ρ dV

​ ​

dt Ω(t)

Equazione di continuità

Termofluidodinamica 3 / 61

d ∫ ∫ ∫

+

= ρf d dS

ρu dV V T n

k k ki i

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

dt Ω(t) Ω(t) ∂Ω(t)

Equazione della quantità di moto

Ω(t) ∂Ω(t)

= volume; = la sua superficie di contorno.

Sono riferiti a un volume materiale: una superficie che racchiude sempre la stessa massa e che si

muove insieme a essa. Quindi la superficie non viene mai attraversata dalla materia che contiene.

Ω(t)

La forma locale vale puntualmente; la forma globale vale per qualunque volume , purché sia

un volume materiale.

= è il tensore degli sforzi (simmetrico): forza per unità di superficie.

T T

ik ki

​ ​

1.3 Teorema del trasporto (di Reynolds)

( (

Volume racchiuso dalla superficie , che si muove con velocità ; è la normale uscente.

V t) S t) v n

m m

​ ​

(t) (t)

= superficie, = volume

S V

m m

​ ​ (t)

= velocità della superficie , = normale

v S n

m ​

= una grandezza qualsiasi (massa, velocità, energia, …) per unità di volume

ψ ∂ψ

d ∫ ∫ ∫ )

( ⋅

= +

ψ ψ v n dS

dV dV

∂t

​ ​ ​ ​ ​

dt V V S

Teorema del trasporto — valido per qualsiasi superficie

La variazione nel tempo di "quanta c'è dentro il volume" è dovuta a due

ψ

IN PAROLE SEMPLICI

contributi: (1) cambia nel tempo in ogni punto interno; (2) il volume si sposta/deforma e

ψ

"ingloba" o "lascia" attraverso il contorno. Il teorema permette di portare la derivata temporale

ψ

dentro l'integrale.

Esempio: ricavare l'equazione di continuità in forma locale

d ∫ 0

=

Parto dalla forma globale e applico il teorema del trasporto:

ρ dV

​ ​

dt V ∂ρ

d ∫ ∫ ∫ )

( ⋅

= + v n dS

ρ

ρ dV dV

∂t

​ ​ ​ ​ ​

dt V V S

Termofluidodinamica 4 / 61

Il secondo integrale è di superficie: lo trasformo in un integrale di volume con il teorema della diver‐

∫ ∫

=

⋅ ∇ ⋅

genza :

V n dS V dV

​ ​

S V ∂ρ ∂ρ

[ ]

∫ ∫ ∫

+ =

= (ρ ) = + ∇ ⋅ (ρ ) 0

∇ ⋅

dV dV

v dV v

∂t ∂t

​ ​ ​ ​ ​

V V V

Poiché questo vale per qualunque volume , deve annullarsi l'integrando:

V

∂ρ + ∇ ⋅ (ρ ) = 0

v

∂t ​

= cost

Se il fluido è incomprimibile ( ), si ottiene la condizione di incomprimibilità:

ρ ∇⋅ = 0

v

1.4 Significato fisico dei termini delle equazioni di conservazione

Quantità di moto, forma locale: ∂(ρu )

k ∇ ( ) = ∇ +

+

​ ρu u T ρf

i i k i ik k

∂t ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Forma globale: d ∫ ∫ ∫

+

= T n dS ρf dV

ρu dV

k ki i k

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

dt V S V

termine sorgente

termine di accumulo termine diffusivo

Accumulo: quanto cambia nel tempo la quantità di moto contenuta nel volume.

Diffusivo: ciò che entra/esce attraverso la superficie (qui: le forze di superficie, pressione e attrito

viscoso).

Sorgente: ciò che viene "generato" all'interno del volume (qui: le forze di volume, es. il peso).

Forma alternativa (non conservativa) della quantità di moto

∂ρ ∇ ( ) = 0

+

Ricordo la conservazione della massa e sviluppo con la regola del prodotto le deri‐

ρu

i i

∂t ​ ​ ​

vate a sinistra dell'equazione della quantità di moto:

∂(ρu ) ∂ρ ∂u

k k

∇ ( ) = ∇ ( ) + ∇

+ + +

​ ​

ρu u u u ρu ρu u

ρ

i i k k k i i i i k

∂t ∂t ∂t

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

∂ρ ∂u ∂u

( ) k k

= + ∇ ( ) ∇ = ∇

+ +

+ ​

u ρu ρu u ρu u

ρ ρ

k i i i i k i i k

∂t ∂t ∂t

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

= 0 (continuit aˋ )

Sostituendo ottengo: ∂u k ∇ = ∇ +

+

​ ρu u T ρf

ρ i i k i ik k

∂t ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

1.5 Equazione di conservazione dell'energia

Ricordo il 1° principio della termodinamica per un sistema chiuso:

Termofluidodinamica 5 / 61

dU dE δL δQ

c

+ = + ⟹ + = +

​

dU dE δL δQ

c ​ ​ ​ ​ ​

dt dt dt dt

Q < 0

L > 0 L < 0

Sistema

Q > 0

Convenzione dei segni: calore e lavoro entranti nel sistema sono positivi.

= energia interna, = energia cinetica

U E c ​

= lavoro, = calore

L Q

Divido per la massa , così considero le grandezze specifiche (per unità di massa), e scrivo il bilan‐

dm

cio su un volume materiale:

d ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

1

+ + + −

=

( )

e u u f Q̇ T u n q n

ρu dV ρ dV dS dS

ρ dV

k k k k ik k i k k

2

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

dt V V V S S

Equazione dell'energia in forma globale

Termine Significato

1 ) variazione della somma energia interna + energia cinetica

(e +

d ∫ u u dV

ρ k k

2

dt V

​ ​ ​ ​ ​ potenza delle forze di volume

∫ ρu f dV

k k

V ​ ​ potenza generata all'interno (es. reazioni, effetto Joule)

∫ ρ dV

Q̇

V ​ potenza delle forze di superficie

∫ T u n dS

ik k i

S ​ ​ ​ ​ potenza termica trasmessa attraverso il contorno (il segno "−" dipende dalla

− ∫ q n dS

k k convenzione: è uscente, quindi un flusso uscente toglie energia)

S ​ ​ ​ n

= /m = energia interna specifica

e U

= flusso termico (W/m²)

q k ​ = potenza generata per unità di massa

Q̇ ​ ⇒

= forze di volume = potenza delle forze di volume (forza × velocità)

ρf ρu f

k k k

​ ​ ​

⇒

= forze superficiali = potenza delle forze di superficie

T n T u n

ik i ik k i

​ ​ ​ ​ ​

Forma locale

La ricavo con il teorema del trasporto e quello della divergenza. Definisco la derivata materiale (la va‐

riazione "vista" da una particella di fluido che si muove):

∂s

Ds ∇ (s = grandezza considerata)

= + u s

k k

∂t

​ ​ ​ ​

Dt Derivata materiale (o sostanziale)

1

+

( )

D e u u

k k

2 + ∇ ( ) − ∇

= +

​ ​ ​ ρu f Q̇ T u q

ρ ρ

k k i ik k k k

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Dt

Termofluidodinamica 6 / 61

∂(⋅)

D(⋅) ∇ (⋅)

= +

Siccome , l'equazione diventa:

ρu

ρ ρ j j

∂t

​ ​ ​ ​

Dt 1

∂ +

( )

e u u

k k

2 1 −

∇ + = + ∇ ( ) + ∇

+ ( )

​ ​ ​ ρ

ρu e u u ρu f T u Q̇ q

ρ j j k k k k i ik k k k

2

∂t ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Per risolvere questo tipo di problemi è necessario che il numero di incognite sia uguale al numero di

equazioni, cosa che qui non succede. Per chiudere il problema devo riscrivere grandezze come ,

e q k

e in funzione dei campi incogniti di temperatura e velocità (→ equazioni costitutive, §1.7).

T ik ​

1.6 Equazione di conservazione della specie chimica

Il meccanismo del trasporto di materia è molto simile al trasporto di energia: basta fare qualche cor‐

rezione a quest'ultimo per ottenere quello della materia.

Esempio: un fluido (aria) lambisce la superficie di una piscina: l'aria porta via l'acqua che evapora.

Introduco la concentrazione della specie chimica : [kg/m³]. Scrivo la legge di conservazione:

x ρ x ​

d ∫ ∫ ∫

−

=

ρ Ṁ J n

dV dS

dV

x x x,k k

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

dt V V S

Forma globale

= massa della specie generata per unità di tempo (e di volume) da una reazione chimica

Ṁ x

x ​

= vettore flusso di massa (diffusivo)

J

Passo alla forma locale con il teorema del trasporto:

∂ρ ∂ρ

d ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

x x

) = (ρ )

( ⋅ ∇ ⋅

= + +

​ ​

ρ ρ v n dS v dV

dV dV dV

x x x

∂t ∂t

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

dt V V S V V

∂ρ x ∇ ( ) = ∇

+ −

​ ρ u Ṁ J

k x k x k x,k

∂t ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Forma locale

Se sono presenti più specie, devo scrivere un'equazione per ogni specie.

Definisco la frazione massica: ρ x

= =

⟹

​

χ ρ ρ χ

x x x

​ ​ ​ ​

ρ

e riscrivo l'equazione:

∂(ρχ ) ∂χ

x x

∇ ( ) = ∇ ⟹ ∇ = ∇

+ +

− −

​ ​

ρχ u Ṁ J ρu χ Ṁ J

ρ

k x k x k x,k k k x x k x,k

∂t ∂t

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

(il passaggio usa ancora l'equazione di continuità). Applicando la definizione di derivata materiale:

Dχ x ∇

= −

​ Ṁ J

ρ x k x,k

​ ​ ​ ​

Dt

Termofluidodinamica 7 / 61

1.7 Equazioni costitutive

Le equazioni costitutive nascono per chiudere il problema e rappresentano la descrizione delle pro‐

prietà del materiale che stiamo considerando.

= ( −p + ∇ ) + ( ∇ + ∇ )

T λ u δ μ u u

ℓ ℓ

ik ik i k k i

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Tensore degli sforzi (fluido newtoniano)

dove è la pressione, la viscosità dinamica, il secondo coefficiente di viscosità e il delta di

p μ λ δ ik ​

Kronecker: 1 0 0

= 0 1 0 1 se = 0 altrimenti)

(δ =

δ i k,

ik ik

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

0 0 1 = −k ∇

q T

i ik k

​ ​ ​

Flusso termico (caso generale, anisotropo)

′′ = −k ∂T /∂x

Questo non è ancora il postulato di Fourier ( ), perché qui la conducibilità è una ma‐

q k ik ​

trice: k k k

xx xy xz

​ ​ ​

=

k k k k

ik yx yy yz

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

k k k

zx zy zz

​ ​ ​

Il postulato di Fourier vale solo per un materiale isotropo, ossia con caratteristiche uguali in ogni dire‐

=

zione: in quel caso .

k k δ

ik ik

​ ​

Ipotesi semplificative ∇ = 0

Ipotesi 1 – Fluido incomprimibile: .

u

i i

​ ​ = cost

Un fluido può essere considerato incomprimibile non solo quando , ma anche quando le velo‐

ρ

≤ 0,3

cità in gioco sono basse: numero di Mach . Con questa ipotesi il termine con si annulla e il

M a λ

tensore degli sforzi diventa: = −p + ( ∇ + ∇ )

T δ μ u u

ik ik i k k i

​ ​ ​ ​ ​ ​

Ipotesi 2 – Fluido newtoniano (sforzi viscosi proporzionali alle velocità di deformazione, come scritto

sopra). =

Ipotesi 3 – Materiale isotropo: . Da qui si ottengono il postulato di Fourier e la legge di Fick.

k k δ

ij ij

​ ​ = −k ∇

q T

i i

​ ​

Postulato di Fourier

Ω ( ) = Ω ∇T ⊥ Ω ⊥ Ω

Conseguenza: se una superficie è isoterma ( su ), allora e quindi anche .

T x T q

0 ​ ​

∇T

Nel caso isotropo il flusso termico è sempre parallelo a (e diretto verso le temperature decre‐

scenti); se il materiale non fosse isotropo questo non sarebbe vero.

Nel trasporto di massa definisco un legame analogo, la legge di Fick:

Termofluidodinamica 8 / 61

= −D ∇

J ρ

x,k x k x

​ ​ ​ ​

Legge di Fick (flusso di massa diffusivo)

È l'equivalente del postulato di Fourier per la massa ( = coefficiente di diffusione); come quest'ulti‐

D x ​

mo, è una legge empirica.

1.8 Riepilogo: caso incomprimibile

= cost ⟺ ∇ = 0 ∇ ( ) = 0

Fluido incomprimibile: (deriva dalla continuità ).

ρ u ρu

i i i i

​ ​ ​ ​

Quantità di moto (equazione di Navier–Stokes)

∂u k ∇ = −∇ + ∇ ∇ +

+

​ ρu u p μ u ρf

ρ i i k k i i k k

∂t ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Energia D 1 −

+ + ∇ ( ) + ∇<