Appunti teorici con dimostrazioni di Analisi matematica 1

Funzioni

Una funzione è una corrispondenza che collega gli elementi di due insiemi. Possiamo definire tranquillamente una funzione dati due insiemi. Una funzione è una relazione che associa gli elementi del primo insieme agli elementi del secondo insieme.

f: A → B

Possiamo parlare di funzione se e solo se, per definizione, ogni elemento dell'insieme A è associato uno ed uno solo elemento di B.

Tipologie di funzioni

Funzione iniettiva

Una funzione si dice iniettiva quando gli elementi distinti del dominio, il quale è l'insieme di esistenza degli elementi della funzione, hanno immagini distinte. Graficamente una funzione iniettiva viene "riconosciuta" quando il grafico della funzione si interseca nel più una retta orizzontale.

Funzioni

Una funzione è una corrispondenza che collega gli elementi di due insiemi. Possiamo definire tranquillamente una funzione dati due insiemi una funzione è una relazione che associa gli elementi del primo insieme agli elementi del secondo insieme.

φ: A → B

Possiamo parlare di funzione se e solo se, per definizione, ogni elemento dell'insieme A è associato uno ed uno solo elemento di B.

Tipologie di funzioni

Funzione iniettiva

Una funzione si dice iniettiva quando gli elementi distinti del dominio, il quale è l'insieme di esistenza degli elementi della funzione, hanno immagini distinte. Graficamente una funzione iniettiva viene "riconosciuta" quando il grafico della funzione si interseca nei più una volta di una retta orizzontale.

Funzione suriettiva

Una funzione si dice suriettiva se, per ogni elemento del codominio B, esiste almeno un elemento a del dominio A tale che c'è un'immagine di a mediante f, ossia a = f(a). Graficamente una funzione suriettiva può essere riconosciuta quando tutti gli elementi del B posseggono almeno una controimmagine.

Funzione biunivoca o biiettiva

Una funzione biunivoca, nulla significa più semplice, è una funzione che è contemporaneamente iniettiva e suriettiva. Quindi una funzione è biunivoca se ogni elemento del codominio è immagine di uno e un solo elemento del dominio.

Assiomi

Un assioma è una proposizione matematica che si considera vera senza essere dimostrata.

Proprietà

• Relativo alle operazioni: definite alle operazioni + e x
• Relativo all'ordinamento: definito dalla relazione =
• Relativo alla completezza: definisce che i numeri R sono eseguiti con continuità.

L'assioma di completezza stabilisce che i numeri reali si susseguono con continuità, ossia che l'insieme R dei numeri reali è privo di buchi, permettendo quindi di mettere in relazione l'insieme di numeri reali con i punti della retta.

Tutti i teoremi discendono dagli assiomi.

Principio d'induzione

Il principio di induzione o procedimento induttivo, è una tecnica che consente di dimostrare la veridicità del caso di una tesi, delle verifica di 2 condizioni:

• La validità del passo zero
• La validità del passo induttivo

Il principio di induzione stabilisce che, se valgono le seguenti condizioni:

• Passo zero P(m)_o è vero per m = 0, cioè P(0) è vera,
• Passo induttivo se, provando che P(m) sia vera, m _o consegue che P(m+1) è vera

P(m) => P(m+1)

Es.: 1+2+2²+2³+...+2^m= ...

Passo zero

M=1

Induttivo

M = M_o+1

• M_n=1...M_...2ⁿ⁺¹...2(M-2)...(M-1)2^m+3...

Successioni

Una successione è una legge che ad ogni numero naturale n fa corrispondere uno ed un solo numero reale a_n.

Una successione è una funzione che va dai numeri naturali N ai numeri reali R: a: N → R a_n n ∈ N.

Una successione si indica con il simbolo a_n. Gli elementi di successioni possono essere rappresentati su un piano riportando le coppie (n,a_n) o più semplicemente su una retta riportando solo i valori a_n in C ell.

Una successione (a_n) si dice limitata se esistono due numeri reali c,m tali che c ≤ a_n ≤ m per ogni n ∈ N.

• Limitata inferiormente se esiste un em c tale che a_n ≥ c ∀n ∈ N
• Limitata superiormente se esiste un em tale che a_n ≤ m ∀n ∈ N
• Illimitata se non esistono né m né c tali che sono definiti

Successione monotona

Una successione (a_n) è detta crescente (o al crescente) se a_n+1 > a_n per ogni n ∈ N. Queste successioni sono dette monotone.