Appunti temi di Tecnica delle costruzioni (3)

Tecnica delle costruzioni

Tema esame del 19 novembre 2019

Docenti: Prof. Giovanni A. Plizzari

Durata: 2 ore e 30 min.

_A+ΔT₂    -ΔT₂6q3q_E+ΔT_1Cll/2k_η = 8 ^EI/_l³αΔT₂/h = ^{37 ql²}/_{8 EJ}αΔT₁ = ¹/₁₆ ^ql³/_EJ

Esercizio

Dato il telaio in figura, si richiedono i grafici di:

• Momento flettente (con il valore e la posizione dei massimi);
• Taglio;
• Azione assiale;
• Deformata qualitativa con posizione dei flessi.

Si assuma EA → ∞, EJ = costante.

I grafici possono essere realizzati in matita, mentre i calcoli necessari per lo sviluppo del tema devono essere in tratto non cancellabile. Il tutto deve essere riportato chiaramente.

Tecnica delle costruzioni

Tema esame del 19 novembre 2019

Docenti: Prof. Giovanni A. Plizzari

Durata: 2 ore e 30 min.

Esercizio

Dato il telaio in figura, si richiedono i grafici di:

• Momento flettente (con il valore e la posizione dei massimi);
• Taglio;
• Azione assiale;
• Deformata qualitativa con posizione dei flessi.

Si assuma EA → ∞, EJ = costante.

I grafici possono essere realizzati in matita, mentre i calcoli necessari per lo sviluppo del tema devono essere in tratto non cancellabile. Il tutto deve essere riportato chiaramente.

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Tema esame tecnica delle costruzioni 19/11/19

Dati

_ΔT₂ = ¹/₁₆ ql³ / EJ

_ΔT₂ / H = ³/₈ ql² / EJ

K_M = ⁸ EJ / l³

Convenzioni adottate

Mφ +F +A

Analisi preliminare

8 gradi di vincolo

6 DOF

Struttura a nodi spostabili

Risoluzione

Asta DB - Apendice isostatica

_Σ H_(D) = 0 - H_D = 0

_Σ V_(D) = 0 - V_D = ³/₂ ql

_Σ M _(D) = 0 - M_D = 3ql _e/₂ . e / 4 = ³/₈ ql²

Scelta incognite

Equazioni di equilibrio

{ ∑ M(C)₀ = 0 → m_ϕD ϕ_D + m_DO + M_D + m_DF = 0

∑ H_C0 = 0 → h_mϕ ϕ_D + h_m♥ m_D + h_mF = 0 }

ϕ_D = 1

_{mϕD = ^3EI/e + ^4EI/e = ^7EI/e}

_{hmϕ = ^6EI/e²}

M_D = 1

F = k_t♥ M₀ = k_nA = ^eEI/_e³

1.^A/_3EI/e2

2.^E/_3EI/e3

M_OL = - ^6EI/_e²

3EI/e³l_NM = - 3EI/e³ - 8EI/e³ - 12EI/e³ - 23EI/e³

h_NM

F = 8EI/e³12EI/e³12EI/e³

p = 6q → ρl²/8 = 6ql²/8 = 3/4 ql²

3ql6q3q3/4 q3ql9/4 ql15/4 ql

m_qF = 3/4 ql² - 3/8 ql² = 3/8 ql²

h_qF = 0

∆T₁ = 0

m_∆T1 = 3EI/e² ∙ ∆T₁ l = 3EI/e ∙ ∆T₁ = 3EI/e ∙ 1/16 ql³/EI = 3/16 ql²

m_∆T1 = 3/16 ql²

h_∆T1 = 0

ΔT₂ ≠ 0

M_ΔT₂ = 3EϪ2ΔT₂/H = 3EϪ. 3Ϫ qe²/8EϪ = -Ϫ qe²

M_ΔT₂^opf = 0

h_mψ = Ϫ qℓ

Sistema risolvente

{ H_C0 = 0 → M_opfϕ₀ + M_Dmn₀ + M_Dfm = q + M_ΔT₁^Df + M_ΔT₂^Df = 0

{ H_CD = 0 → h_nϪqϕ₀ + h_mϪn₀ + h_nϪ^q + h_nψ^q + h_mψ = 0

Ϫ EϪ ϕ₀ + (- 6EϪ/e²) n₀ + 3/8 qℓ² + 3/16 qe² + ϖ = 0

ϪEϪ ϕ₀ + (-23EϪ/e²) n₀ + ϖ + ϖ + 111 qℓ = 0

ϪEϪ ϕ₀ - 6EϪ/e² n₀ + 9/16 qe² = 0

7EϪ ϕ₀ - 6EϪ/e² n₀ + 9/16 qe² = 6EϪ/e² n₀ → M_D = E²/6EϪ (7EϪ/e ϕ₀ + 9/16 qe²)

M_D = 7/6 ℓ ϕ₀ + 3/32 qe⁴

6EϪ/e² ϕ₀ - 23EϪ/e³ (7/6 ℓϕ₀ + 3/32 qe⁴/EϪ) + 111 qℓ = 0

6EϪ/e² ϕ₀ - 161EϪ/e² ϕ₀ - 69/32 qe + 111 qℓ = 0

-125EϪ/e² ϕ₀ + 375/32 qe = 0 → 125/6EϪ/e² ϕ₀ = 375/32 qe → ϕ₀ = 9/16 qe³/EϪ

7EϪ. 9/16 qe³/EϪ + 3/32 qe⁴/EϪ → M_D = 7/6 ℓ. 9/16 qe³/EϪ + 3/32 qe⁴/EϪ →

M₀ = 21/32 qe⁴/EϪ + 3/32 qe⁴/EϪ → M₀ = 3/4 qe⁴/EϪ

Aste e diagrammi

Asta DB

M₁ + M₂ = ¹¹¹/₈ qℓ² - ⁹/₄ qℓ² = ⁹³/₈ qℓ²

Asta AE

M₁ = ^3EΓ/_e², n₀ = ^3EΓ/₄ qℓ⁴

M₂ = ¹¹¹/₈ qℓ²

N₁ + N₂ - N₃ = - ⁶/ ₁₆ qℓ = - ³/₈ qℓ

Asta DC

M_z = ^4ET/_e · φ₀ = ^4ET/_e · ⁹/₁₆ · qℓ³/_ET = ⁹/₄ qℓ²

M₂ = ^2ET/_e · φ₀ = ^2ET/_e · ⁹/₈ · qℓ³/_ET = ⁹/₈ qℓ²

M₃ = ^6ET/_e² · M₀ = ^6ET/_e² · ³/₄ qℓ⁴/_ET = ⁹/₂ qℓ²

M₄ = ^6ET/_e · M₀ = ⁹/₂ qℓ²

V₁ = ^6ET/_e² · φ₀ = ^6ET/_e² · ⁹/₁₆ qℓ³/_ET = ²⁷/₈ qℓ

V₂ = ²⁷/₈ qℓ

V₃ = ¹²/_e³ · ET · φ₀ = ¹²/_e³ · ET · ³/₄ qℓ⁴/_ET = 9 qℓ

V₄ = 9 qℓ

N₁ = ^3ET/_e² · φ₀ = ^3ET/_e² · ⁹/₁₆ qℓ³/_ET = ²⁷/₁₆ qℓ

N₂ = ¹⁵/₄ qℓ

N₃ = ³/₁₆ qℓ

N₄ = ³/₂ qℓ

M₁ + M₃ = ⁹/₄ qℓ² - ⁹/₄ qℓ² + ⁹/₂ qℓ²

M₂ + M₄ = ⁹/₈ qℓ² - ⁹/₈ qℓ² = ²⁷/₈ qℓ²

V₁ + U₃ = V₂ + U₄ = ²⁷/₈ qℓ - 9qℓ = - ⁴⁵/₈ qℓ

N₁ + N₂ + N₃ + N₄ = ( ²⁷/₁₆ + ¹⁵/₄ + ³/₁₆ + ³/₂ ) qℓ = ¹¹⁴/₁₆ qℓ = ⁵⁷/₈ qℓ

x → π = ²⁷/₈ qℓ² = ⁴⁵/₈ qℓ x = 0 → x = ^27·8/₄₅ ℓ = ³/₅ ℓ = 0,6 ℓ

Asta E0

M_z = \(\frac{3EI}{e}\)ϕ₀ = \(\frac{3EI}{e}\) \(\frac{9}{16}\) \(\frac{q \ell^3}{EI}\) = \(\frac{27}{16}\) q \(\ell^2\)

M₂ = \(\frac{3}{4}\) q \(\ell^2\)

M₃ = \(\frac{3}{16}\) q \(\ell^2\)

V₁ = \(\frac{3EI}{e^2}\)ϕ₀ = \(\frac{3EI}{e^2}\) \(\frac{9}{16}\) \(\frac{q \ell^3}{EI}\) = \(\frac{27}{16}\) q \(\ell\)

V₂ = \(\frac{9}{4}\) q \(\ell\)

V₃ = \(\frac{15}{4}\) q \(\ell\)

V₄ = \(\frac{3}{16}\) q \(\ell\)

N₁ = \(\frac{6EI}{e^2}\)ϕ_o = \(\frac{6EI}{e^2}\) \(\frac{9}{16}\) \(\frac{q \ell^3}{EI}\) = \(\frac{27}{8}\) q \(\ell\)

N₂ = \(\frac{3EI}{e^3}\) M₀ = \(\frac{3EI}{e^3}\) \(\frac{4}{3}\) q \(\ell^4\) = \(\frac{9}{4}\) q \(\ell\)

M₁ + M₂ + M₃ = \(\left(\frac{27}{16} + \frac{3}{4} + \frac{3}{16}\right)\) q \(\ell^2\) = \(\frac{42}{16}\) q \(\ell^2\) = \(\frac{21}{8}\) q \(\ell^2\)

V₁ + V₂ + V₄ = \(\left(\frac{27}{16} - \frac{9}{4} + \frac{3}{16}\right)\) q \(\ell\) = \(-\frac{6}{16}\) q \(\ell\) = \(-\frac{3}{8}\) q \(\ell\)

V₄ + V₃ + V₄ = \(\left(\frac{27}{16} + \frac{15}{4} + \frac{3}{16}\right)\) q \(\ell\) = \(\frac{90}{16}\) q \(\ell\) = \(\frac{45}{8}\) q \(\ell\)

N₃ = \(\frac{8 \, E \, T}{e^3}\cdot h_0\) = \(\frac{8 \, E \, T}{e^3} \cdot \frac{3}{4}q \, e^4_{E \, T}\) = 6q \, e\)

N₄ = \(\frac{12 \, E \, T}{e^3}\cdot h_0\) = \(\frac{12 \, E \, T}{e^3} \cdot \frac{3}{4} q \, e^4_{E \, T}\) = 9q \, e\)

N₅ = \(- \frac{111}{8}\) ql

N₂ + N₃ + N₅ = \(\left(\frac{9}{4} \cdot h - \frac{111}{8}\right) ql\) = \(-\frac{45}{8} ql\)

N₁ + N₄ = \(\left(\frac{27}{8} q e - 9 q e\right)\) = \(-\frac{45}{8} ql\)

x_ED' = V = 0 → M = M_AX → \(\frac{3}{8} q \, e^l - 6q x'_ {ED} = 0\) → \(x'_{ED} = \frac{3}{48} e = \frac{1}{16} e\)

H_MAX→H_{MAX} = \(\frac{3}{8} qel \, x'_{ED} - 6q x'_{ED} x'_{EO} = \frac{3}{8} qel \, e_{16}\) - \(6q \frac{1}{16} e 1 \, e = \frac{3}{128} qe^l - \frac{3}{256} qe^2\)

M'' = M = 0

\(\frac{21}{8} q e^2 + 6q x''_{EO} x'_{EM} - \frac{45}{8} qe^l x''_{ED}\) = 0

\(\frac{21}{8} qe + 3q x''_{EO} - \frac{45}{8} qe x''_{ED}\) = 0

0.875 qe² + 9q \, x''_ED - 4.875 qe^l x''_ED = 0

9 x''_ED - 1.875 q e^xm + 6.875 qe² = 0

\(x''_{ED} = \frac{1.875 \pm \sqrt{3.516 - 3.5}}{2} \approx \frac{1.875 \pm 0.126}{2}\)

Diagrammi