Appunti tecnologie di formatura, modulo plasticità - primo parziale

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BERGAMO

Dipartimento di Ingegneria e Scienze Applicate

Teoria della plasticità

e comportamento meccanico

dei materiali

·

La teoria della plasticità La compressione fra piatti piani

·

Il ring test Le prove di caratterizzazione meccanica

Il legame sforzi–deformazioni

Corso Tecnologia di formatura (plasticità)

Docente prof. Giancarlo Maccarini

Appunti a cura di Cristiano Rollo

Anno accademico 2020/2021

Indice

Notazione 4

I La teoria della plasticità 6

1 Lo stato di sforzo 7

1.1 Il posto della deformazione plastica nel ciclo produttivo . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 La definizione di sforzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Le componenti e la matrice dello stato di sforzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 Il teorema di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5 Il cambiamento di sistema di riferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6 Direzioni e sforzi principali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.7 Componente idrostatica e componente deviatorica . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.8 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Lo stato di deformazione 15

2.1 Che cosa si studia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Il gradiente di spostamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 Il significato fisico delle derivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4 La matrice di deformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5 Grandi deformazioni e velocità di deformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Il legame elastico e i criteri di plasticizzazione 19

3.1 Il legame tensioni–deformazioni in campo elastico . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2 Il lavoro di deformazione elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.3 Il lavoro e la potenza in campo plastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.4 I criteri di plasticizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.5 La rappresentazione grafica dei criteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.6 Il confronto fra i due criteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4 Il legame in campo plastico, lo sforzo e la velocità di deformazione effettivi 24

4.1 Le equazioni di Lévy–Mises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.2 Lo sforzo effettivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.3 La velocità di deformazione effettiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5 Il principio del massimo lavoro e i teoremi di limite 30

5.1 Il principio del massimo lavoro di deformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.2 Il teorema del limite inferiore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.3 Il teorema del limite superiore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.4 L’attrito all’interfaccia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.5 Come si usa l’UBET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1

Indice 2

II La compressione fra superfici piane e parallele 35

6 La soluzione con il teorema del limite superiore 36

6.1 Il processo e le ipotesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6.2 Il campo di velocità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6.3 I due termini dell’UBET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6.4 Il risultato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

7 Il metodo dell’equilibrio e la forza di compressione 40

7.1 Che cos’è il metodo dell’equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

7.2 L’equazione di equilibrio radiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

7.3 Il campo di spostamento cilindrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

7.4 Il criterio di plasticizzazione e l’equazione differenziale . . . . . . . . . . . . . . 41

7.5 La collina d’attrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

7.6 Il limite di aderenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

7.7 Le distribuzioni osservate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

7.8 La forza di compressione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

III Il ring test 47

8 Il ring test 48

8.1 Che cosa misura il ring test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

8.2 L’interpretazione: la superficie neutra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

8.3 La soluzione con il metodo dell’equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

8.4 La soluzione UBET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

8.5 La calibration chart e l’uso pratico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

IV Le prove di caratterizzazione meccanica 54

9 La prova di trazione e la prova di compressione 55

9.1 Perché serve caratterizzare il materiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

9.2 La prova di trazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

9.3 La prova di compressione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

10 Watts e Ford, Sachs, Siebel e Pomp: depurare la prova di compressione 59

10.1 Il metodo di Watts e Ford per la compressione dei cilindri . . . . . . . . . . . . 59

10.2 Il metodo di Sachs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

10.3 Il metodo di Siebel e Pomp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

10.4 Il confronto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

11 La compressione con deformazione piana 63

11.1 La prova e le sue condizioni geometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

11.2 Dalla pressione media allo sforzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

11.3 Come si ricava il coefficiente d’attrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Indice 3

12 Il bulge test e la prova di torsione 67

12.1 Il bulge test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

12.2 La prova di torsione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

12.3 Il quadro delle prove . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

V Il legame sforzi–deformazioni 70

13 La schematizzazione del legame sforzi–deformazioni 71

13.1 Che cosa deve contenere il legame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

13.2 I diagrammi idealizzati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

13.3 Le equazioni empiriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

14 L’influenza della temperatura e della velocità di deformazione 75

14.1 Le lavorazioni a freddo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

14.2 Le lavorazioni a caldo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

14.3 Le tre fasce di temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

14.4 L’esponente di sensibilità alla velocità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

14.5 Duttilità, fragilità e pressione idrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

A Richiami di algebra delle matrici e cambiamento di riferimento 80

A.1 Il cambio di un sistema di riferimento cartesiano ortogonale . . . . . . . . . . . 80

A.2 La matrice del gradiente di spostamento e la sua trasformazione . . . . . . . . 81

A.3 La traccia di una matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

T

[ ] = [ ] [ ][ ]

B A

A.4 Le caratteristiche della trasformazione . . . . . . . . . . . . . . 82

α α

Notazione

Le grandezze che ricorrono in più di un capitolo sono raccolte qui con il simbolo e l’unità

adottati nel testo. I simboli usati in un capitolo solo sono definiti dove compaiono, in legenda

attaccata alla formula. Le sigle sono quelle internazionali, sciolte alla prima occorrenza di

ogni capitolo.

Sforzi 2

t n,

Vettore sforzo agente sulla giacitura di normale N/mm .

.

n ̸ =

ij i j

Componente della matrice dello stato di sforzo; è normale, con è di taglio,

.

σ σ σ

ij ii ij

2

N/mm . 2

̸ =

i j,

Notazione alternativa per la componente di taglio , N/mm .

.

τ σ

ij ij 2

, , Sforzi principali, ordinati in modo decrescente, N/mm .

.

σ σ σ

2 3

1 2

Componente idrostatica dello stato di sforzo, media dei tre sforzi normali, N/mm .

.

σ

idr

′ 2

Componente deviatorica, cioè depurata della parte idrostatica, N/mm .

. σ

σ ij

ij Sforzo effettivo, cioè lo sforzo di trazione monoassiale equivalente allo stato di sforzo in

.

σ

eff 2

atto, N/mm .

Sforzo di flusso del materiale, cioè il valore di che ne provoca la plasticizzazione,

. σ

σ

0 eff

2

N/mm . 2

p. Pressione di contatto fra stampo e pezzo, N/mm .

i j

Coseno direttore fra l’asse del riferimento nuovo e l’asse del vecchio; è la matrice

A

.

α ij che li raccoglie.

Deformazioni

U. Vettore spostamento di un punto del continuo, mm.

e ij

Componente della matrice del gradiente di spostamento.

.

ij ij e

Componente della matrice di deformazione, parte simmetrica di .

.

ε ij ij

Ω ij e

Componente della matrice di rotazione rigida, parte emisimmetrica di .

.

ij ij

=

Scorrimento angolare, 2ε .

.

γ γ

ij ij ij

Velocità di deformazione, 1/s.

.

ε̇ ij Velocità di deformazione effettiva, coniugata di nel prodotto che dà la potenza, 1/s.

.

ε̇ σ

eff eff

Fattore di proporzionalità fra velocità di deformazione e sforzo deviatorico nelle equazioni

λ. 2 ( )

di Lévy–Mises, mm / N s .

Energia, attrito e geometria 3

W. Potenza specifica di deformazione, per unità di volume, W/mm .

=

f f p.

Coefficiente d’attrito coulombiano,

. τ

√ ≤ ≤

= m

m. m 3, con 0 1.

Fattore d’attrito costante, /

τ σ

0

2

E. Modulo di Young, N/mm . 2

G. Modulo di elasticità tangenziale, N/mm . 4

NOTAZIONE 5

Coefficiente di Poisson.

ν.

R, h. Raggio e altezza correnti del cilindro compresso, mm.

v Velocità di discesa dello stampo, mm/s.

.

0

T. T

Forza totale di compressione, N; è invece la temperatura di fusione, K.

fus

Sigle Lower Bound Extreme Theorem, teorema del limite inferiore.

LBET. Upper Bound Extreme Theorem, teorema del limite superiore.

UBET.

Criterio di plasticizzazione di De Saint Venant, detto anche di Tresca.

DSV. Criterio di plasticizzazione di von Mises.

VM. Parte I

La teoria della plasticità

6

Capitolo 1

Lo stato di sforzo

1.1 Il posto della deformazione plastica nel ciclo produttivo

processo che porta il materiale oltre il proprio limite

Lavorazione per deformazione plastica:

elastico per dargli una forma nuova, senza asportare né fondere materia. Il volume resta lo

stesso e la continuità del materiale non si interrompe.

Il ciclo produttivo che ne discende è quello della figura 1.1. La materia prima diventa

semilavorato per due vie alternative, la deformazione plastica e la fonderia; la geometria

finale e le tolleranze le dà poi l’asportazione di truciolo.

deformazione

plastica

materia prima asportazione pezzo finito

semilavorato

(grezzo) di truciolo

fonderia

Figura 1.1: Il posto della deformazione plastica nel ciclo produttivo. Dalla

materia prima si ottiene il semilavorato per due vie alternative, la deformazione

plastica e la fonderia; la geometria finale e le tolleranze le dà poi l’asportazione

di truciolo. Le due vie non sono equivalenti: la deformazione plastica conserva la

continuità delle fibre del materiale, la fonderia no.

Le due vie non sono equivalenti. La deformazione plastica lavora sul materiale allo stato

solido e orienta le fibre secondo la forma del pezzo; la fonderia parte dal materiale fuso e le

fibre non le ha. Da qui la scelta fra le due nei componenti sollecitati. Servono tre

Che cosa serve per progettare una lavorazione per deformazione plastica.

forza potenza

cose: la necessaria, cioè il dimensionamento della macchina; la necessaria,

regga

cioè il motore; e la verifica che il materiale la deformazione richiesta senza rompersi.

Le prime due si ottengono dalla teoria della plasticità, la terza dalla caratterizzazione

sperimentale del materiale.

Il capitolo formula le leggi generali che regolano il comportamento di un corpo continuo

deformato oltre il limite elastico. I concetti di sforzo e deformazione sono richiamati per

intero, ma si suppongono già noti dalla Scienza delle costruzioni; i richiami di algebra delle

matrici che servono per seguirli stanno nell’appendice A.

1.2 La definizione di sforzo

Si consideri un continuo soggetto a un insieme di forze esterne in equilibrio. Le forze possono

essere applicate sulla superficie esterna del corpo oppure sollecitare ogni elemento della

sua massa. Il corpo si deforma fino a generare al proprio interno un campo di tensioni che

reagisce al sistema di forze applicate. 7

1. Lo stato di sforzo 8

A un dato sistema di forze esterne in

Teorema di unicità dell’equilibrio elastico.

equilibrio corrisponde un solo campo di tensioni interne. È la ragione per cui ha senso

dello

parlare stato di sforzo di un corpo, e non di uno fra i tanti compatibili con il carico.

m–m

Si esegua una sezione ideale che divida il corpo in due parti e se ne rimuova una

(figura 1.2). La parte che resta è ancora equilibrata se si immagina di far agire sulla superficie

S del taglio le stesse sollecitazioni che la parte asportata vi esercitava.

m–m:

Figura 1.2: Il corpo continuo tagliato dalla superficie ideale rimossa

una delle due parti, l’equilibrio della parte che resta si ristabilisce applicando

S

sulla superficie del taglio le stesse azioni che la parte asportata vi esercitava.

∆S ∆F,

P

Sull’elemento di area che contiene il punto agisce la forza e il rapporto

∆S, t

fra le due, al tendere a zero di definisce il vettore sforzo secondo la normale

n. n

P S S P,

Sia un punto appartenente a e la normale a in definita positiva se uscente dal

∆S

S P,

corpo. Si delimiti su un elemento di area che contenga anche sul contorno; su di esso

∆F. ∆S ∆F

agisce la forza elementare Al tendere a zero di anche diventa infinitesima:

∆S ∆F

= =

lim dS, lim dF. (1.1)

∆S ∆S

→ →

0 0

n. È il limite del rapporto fra la forza agente sull’elemento

Sforzo secondo la direzione

di superficie e l’area dell’elemento stesso, quando questa tende a zero:

∆F dF

t = =

lim . (1.2)

n ∆S dS

∆S → 0

t

=

Ne discende dF dS: la forza infinitesima agente su una superficie infinitesima è lo

n

sforzo moltiplicato per la superficie. Per il principio di azione e reazione vale inoltre

−

t t

= .

− n n t n

La componente di secondo la normale si chiama la com-

componente normale σ;

n t, n n

( )

ponente secondo l’intersezione del piano con il piano perpendicolare a si chiama

o

componente tangenziale di taglio τ.

1. Lo stato di sforzo 9

P: giacitura

Lo sforzo non è funzione del solo punto dipende anche dalla della superficie.

′ ′

m P

Sezionando il corpo con un’altra superficie –m sempre passante per ma con normale

t

diversa, il valore e l’orientamento di cambiano. A ogni punto resta dunque associato

t,

un insieme infinito di vettori ed è questo insieme a costituire lo nel

stato di sforzo

punto.

1.3 Le componenti e la matrice dello stato di sforzo

n

x, y, z x,

Fissato un riferimento cartesiano e orientata secondo l’asse lo sforzo che si trova

t

prende il nome di e le sue componenti secondo i tre assi si indicano con , , .

σ τ τ

x x xy xz

Analogamente si definiscono , , e , , .

τ σ τ τ τ σ

yx y yz zx zy z

t t t non x, y z:

, e sono le componenti di un vettore secondo e sono tre vettori distinti,

x y z

uno per ciascuna delle tre giaciture coordinate. Ciascuno ha a sua volta tre componenti,

ed è per questo che le quantità in gioco sono nove e non tre. P,

Le nove componenti si raccolgono nella nel punto riferita

matrice dello stato di sforzo

x, y, z:

al sistema  

σ τ τ

x yx zx

[ ] = . (1.3)

σ τ σ τ

x,y,z xy y zy

 

τ τ σ

xz yz z

Il significato fisico delle componenti si legge sul parallelepipedo elementare di figura 1.3:

̸ =

i, i j

è la componente normale alla faccia di normale con è la componente di taglio

σ σ

ii ij

j.

che giace su quella faccia ed è diretta secondo

1.3.1 L’equazione indefinita di equilibrio

Si isoli il parallelepipedo di lati dx, dy, dz della figura 1.3, sul cui volume agisca una forza di

f t

x P

massa . Sulla faccia di normale parallela a pas