Appunti Tecnica delle costruzioni

Appunti tecnica delle costruzioni

Giada Ascari

3 giugno 2026

Capitolo 11. Affidabilità strutturale

1.1 Premessa sui metodi per la valutazione dell’affidabilità

L’affidabilità di una struttura deve essere definita in senso probabilistico. I metodi per valutare l’affidabilità si distinguono in base a livelli:

• Terzo livello detto anche probabilistico pieno: consiste nel calcolo diretto della probabilità di collasso. Richiede la conoscenza delle distribuzioni congiunte delle variabili e il calcolo di un integrale multiplo.
• Secondo livello detto anche FORM: consiste nel calcolo dell’indice di affidabilità. Devono essere fatte assunzioni di linearità, gaussianità e indipendenza.
• Primo livello detto anche semiprobabilistico: consiste nel confronto fra valori nominali di progetto. È un metodo conservativo, in cui i coefficienti parziali dipendono dalla convenzione di calcolo che deve essere formalizzata in una procedura normata.

1.2 Affidabilità strutturale

L’affidabilità strutturale è la probabilità che la struttura non collassi durante la sua vita nominale, considerando incertezze su materiali, carichi, geometria e modelli. Si esprime come 1 − P_F, dove P_F è la probabilità di collasso F(Z = R − S < 0).

• Deterministica classica: usa coefficienti globali di sicurezza, ad esempio tensioni ammissibili.
• Probabilistica: metodo semiprobabilistico (Livello 1), con valori caratteristici (frattile 5%) e coefficienti parziali γ_M (materiali) e γ_F (azioni).

1.3 Valutazione strutturale

La valutazione della sicurezza strutturale si basa sul confronto tra domanda (effetti delle azioni, come carichi e sollecitazioni) e capacità (resistenza dei materiali e della geometria). Nell’esempio delle slide 10-13, si calcola la forza assiale sul tirante (N_S = 18 kN) e si confronta con la resistenza (N_R = 18.45 kN), verificando N_S ≤ N_R. Le norme, come NTC 2018, richiedono questo controllo per stati limite ultimi (resistenza) e di esercizio (deformazioni, vibrazioni).

Quindi per trattare la valutazione della sicurezza è stato preso come esempio un impalcato in acciaio costruito all’interno di un edificio. Da una parte è collegato alla parete, dall’altra è appeso con dei tiranti al soffitto.

Figura 1.1: Impalcato

L’acciaio da carpenteria è sempre identificato con “S123”. La S sta per Steel e i numeri a seguire identificano il tipo di acciaio. Noi ingegneri, per identificare una folla compatta, presupponiamo una forza di 4 kN/m² (come in questo caso). La domanda che dobbiamo porci ora è se il tirante da 10 mm di diametro è sufficiente per sostenere questo peso. Per rispondere a questa domanda bisogna chiedersi quanto è il carico che dovrà sopportare abitualmente (“domanda”, detta sollecitazione) e la resistenza del tirante, detta anche capacità. Posso però verificare anche gli spostamenti senza prendere in considerazione il carico. La capacità deve superare la sollecitazione affinché la struttura regga.

Questo è appunto il criterio fondamentale di verifica strutturale: S ≤ R oppure N_S ≤ N_R.

Per calcolare la resistenza devo pensare al materiale che sto utilizzando. Le cifre dopo la S che indicano l’acciaio indicano la resistenza a snervamento caratteristica f_yk. La y sta per yield, snervamento, k sta per “caratteristico”. f_yk si misura in N/mm², anche indicati come MPa. Per ottenere la resistenza del materiale bisogna moltiplicare la resistenza caratteristica per l’area. Nel caso dell’acciaio S235 la resistenza è f_yk = 235 MPa = 235 N/mm², quindi inizio a fare i calcoli per la verifica.

Calcolo quindi la capacità come N_R = f_yk A = 235 × 78.5 = 18447.5 N = 18.45 kN. In cui l’area è stata calcolata come A = πd²/4 = π 10²/4 = 78.5 mm².

Successivamente calcolo la domanda richiesta come N_S = q_k A_p = 4 × 4.5 = 18000 N = 18.0 kN. In cui l’area di pertinenza è stata calcolata come A_p = 3 × 1.5 = 4.5 m² e in cui come carico variabile distribuito q_k, come detto precedentemente, è stato considerato quello di folla compatta.

L’area di pertinenza viene calcolata considerando il fatto che per distribuire i carichi di una struttura isostatica, posso associare al mio tirante una certa area di pertinenza, che si ottiene valutando come viene distribuito il carico lungo la trave. Se per esempio la trave è sostenuta da due tiranti, l’area di pertinenza di un singolo tirante sarà il quadrato avente come semilato metà trave. In una trave isostatica il carico, se uniforme, si distribuisce in maniera uguale sui due vincoli che la sorreggono.

Figura 1.2: Distribuzione carichi

Quindi alla fine della verifica si è appurato che in questo caso la capacità è superiore alla domanda. Questo rientra appunto nei limiti, però si deve considerare anche il fatto che potrebbe non essere sicuro perché si possono realizzare delle situazioni non abituali in cui la domanda è maggiore alla resistenza.

C’è quindi un problema di incertezza perché le variabili che consideriamo hanno carattere incerto: l’acciaio potrebbe essere leggermente peggiore di quello che dovrebbe essere, il carico potrebbe essere leggermente superiore ecc. Devo quindi avere un fattore di sicurezza che mi consenta di eliminare o ridurre questa incertezza. Queste considerazioni che facciamo sono dette a priori. Noi siamo sempre in situazione a priori perché dimensioniamo la struttura in base al suo utilizzo previsto, che poi sarà quello effettivo. Dovremo quindi valutare tutto il necessario a priori.

Queste considerazioni vengono fatte secondo il regio decreto 16/11/1939 N. 2229, in cui l’art. 17 tratta della qualità dei materiali, che devono ottenere determinati risultati commentati appunto nell’articolo. Per quanto riguarda l’acciaio dolce il carico di rottura per trazione è compreso fra 42 e 50 kg/mm², con limite di snervamento non inferiore a 23 kg/mm² e allungamento di rottura non inferiore al 20%. Inoltre viene specificato che qualora la prova fallisca si devono ripetere entrambe le prove su due campioni prelevati dallo stesso gruppo di 1000 pezzi, e fallendo una qualunque di queste il gruppo viene rifiutato.

1.4 Valore caratteristico di resistenza

Il valore caratteristico di resistenza è un parametro statistico fondamentale nell’ingegneria strutturale, usato nelle normative come Eurocodice 0 e NTC 2008 per rappresentare le proprietà dei materiali, come calcestruzzo, acciaio, suolo o roccia, in modo sicuro e conservativo. Si definisce tipicamente come il 5° percentile, o frattile inferiore al 5%, della distribuzione statistica delle resistenze misurate: significa che il 95% dei valori effettivi di resistenza del materiale supera questo valore, garantendo un alto livello di confidenza nella progettazione.

L’Eurocodice 0, al paragrafo 4.2, stabilisce che le proprietà dei materiali, siano essi materiali da costruzione, terreno o roccia, o dei prodotti devono essere rappresentate tramite valori caratteristici, come specificato nella sezione 1.5.4.1 della normativa.

Un aspetto importante è che quando una verifica allo stato limite risulta particolarmente sensibile alla variabilità di una proprietà materiale, è necessario tenere in considerazione sia i valori caratteristici superiori che quelli inferiori di tale proprietà. L’Eurocodice stabilisce poi una regola generale, salvo diverse indicazioni nelle norme specifiche da EN 1991 a EN 1999:

• Quando un valore basso della proprietà del materiale è sfavorevole per la sicurezza strutturale, il valore caratteristico deve essere definito come il 5° percentile della distribuzione statistica.
• Viceversa, quando un valore alto della proprietà è sfavorevole, il valore caratteristico deve corrispondere al 95° percentile.

Le Norme Tecniche per le Costruzioni italiane del 2008 seguono un approccio semiprobabilistico agli stati limite. In questo contesto, la sicurezza strutturale viene verificata confrontando la resistenza con l’effetto delle azioni. Per garantire la sicurezza, la resistenza dei materiali e le azioni sono rappresentate dai loro valori caratteristici, indicati come R_ki per le resistenze ed F_kj per le azioni. Questi sono definiti rispettivamente come il frattile inferiore delle resistenze e il frattile superiore o inferiore delle azioni che minimizzano la sicurezza. In generale, i frattili vengono assunti pari al 5%. Tuttavia, per grandezze con piccoli coefficienti di variazione, oppure per grandezze che non riguardano univocamente resistenze o azioni, si possono considerare frattili al 50%, ovvero i valori mediani della distribuzione.

Questo grafico indica la distribuzione della resistenza, quindi la probabilità che ottenga, da un campione, delle resistenze inferiori a 235 MPa. Secondo la normativa odierna, prendendo un acciaio 235 MPa, bisogna che il 95% dei campioni superi la resistenza caratteristica.

Figura 1.3: Distribuzione resistenze

1.5 Distribuzione discreta e continua

Il percorso per comprendere la sicurezza delle costruzioni inizia dall’analisi delle incertezze attraverso la statistica. Prendiamo come esempio base il lancio di un dado: la probabilità di ottenere un singolo valore è discreta e pari a 1/6. Se lanciamo due dadi, la distribuzione della loro somma cambia forma, assumendo un aspetto a “campana” dove i valori centrali, come il 7, sono più probabili degli estremi, 2 o 12. Per descrivere matematicamente queste incertezze, utilizziamo dei parametri fondamentali:

• Media (μ_x): Rappresenta il valore atteso; nel caso di un dado è 3.5, mentre per due dadi è 7.
• Varianza (σ²_x): Indica quanto i dati sono dispersi attorno alla media.
• Deviazione standard (σ_x): È la radice quadrata della varianza; ci dice che il risultato tipico sarà la media più o meno questo scarto, ad esempio ±3.5 per un dado.
• Coefficiente di variazione (CoV): È il rapporto tra deviazione standard e media (σ_x/μ_x). È un indice di variabilità relativa: nel passaggio da uno a due dadi, notiamo che il CoV scende dal 48% al 35%, indicando una minore incertezza relativa.

Nel caso delle strutture la media è il corrispettivo del momento statico, che è uguale al baricentro, di una sezione di area unitaria e la varianza è il corrispettivo del momento d’inerzia e la deviazione standard del raggio d’inerzia.

Per le variabili discrete nel calcolo viene utilizzata una sommatoria, invece nel caso delle variabili continue viene utilizzato un integrale. Infatti se la variabile è continua la probabilità di un particolare valore è nulla e possiamo definire:

• La densità di probabilità, o densità di massa, f_X(x), cioè la probabilità che un valore cada tra a e b è l’area sottesa alla curva in quell’intervallo, come P(a ≤ x ≤ b) = ∫_a^b f_X(x)dx e ∫_−∞^∞ f_X(x)dx = 1.
• La funzione di probabilità cumulata, cioè la funzione F_X(x), che associa a ciascun valore x la probabilità dell’evento: “la variabile casuale X assume valori minori o uguali di x”, definita come F_X(x) = P(X ≤ x) = ∫_−∞^x f_X(x)dx.

All’interno della funzione cumulata di probabilità è facile individuare i frattili perché sono quei valori che hanno la probabilità del 5% di non essere ecceduti. Il frattile X% è quel valore la cui probabilità di ottenere un valore inferiore è del X%.

1.6 Stato limite e probabilità di collasso

La probabilità di collasso è data da due variabili aleatorie: la sollecitazione S e la resistenza R. Per calcolare la probabilità di collasso dobbiamo definire formalmente una funzione di stato limite. Questo metodo è un metodo probabilistico pieno o del terzo livello.

Uno stato limite è il punto di passaggio fra lo stato di sicurezza e di collasso. È rappresentato con una funzione Z(R, S) ed è data da Z = R − S, in cui:

• Se siamo in dominio di sicurezza Z > 0.
• Se siamo in dominio di collasso Z < 0.

Questa funzione non è unica, ne esistono di quadratiche, cubiche, ma questa indicata è la più semplice perché è lineare.

Il confine tra i campi di sicurezza e collasso è lo stato limite. Per capire se la mia struttura è sicura o meno devo calcolare la probabilità che io mi trovi nel dominio di collasso. Devo quindi fare una distribuzione congiunta delle mie probabilità. Dovrò quindi fare l’integrale di questa probabilità congiunta. Questa procedura però è molto complicata perché le variabili possono non essere solo due ma anche 5 o 6. Questo calcolo si semplifica se una variabile per esempio è deterministica e riusciamo a calcolarla a priori.

Quindi la probabilità di collasso si caratterizza come P_F.

P_F = P(Z < 0) = ∫∫_Z<0 f_RS(r, s)drds

Figura 1.4: Esempio di una distribuzione continua

In base alle variabili S e R si possono distinguere vari modi in cui calcolare la probabilità di collasso:

• Se la sollecitazione S è deterministica: P_F = P(R < S) = ∫_−∞^S f_R(r)dr = F_R(S).
• Se la resistenza R è deterministica: P_F = P(R < S) = ∫_R^∞ f_S(s)ds = 1 − F_S(R).
• Se la sollecitazione S e la resistenza R sono variabili aleatorie e indipendenti posso calcolarla in due modi:

1. In cui in base alla sollecitazione trovo la resistenza: P_F = ∫₀^∞ f_S(s)[∫₀^s f_R(r)dr]ds = ∫₀^∞ f_S(s)F_R(S)ds.
2. In cui in base alla sollecitazione trovo la resistenza: P_F = ∫₀^∞ f_R(r)[∫_r^∞ f_S(s)ds]dr = ∫₀^∞ f_S(s)[1 − F_R(S)]dr.

Quindi da queste caratterizzazioni dei casi si evince che l’integrale da calcolare dipende dal numero di variabili, quindi con due variabili serve un integrale doppio e che quindi l’onere computazionale sale esponenzialmente con il numero di variabili.

Un esempio per comprendere meglio la differenza delle variabili è il caso in cui devo calcolare la probabilità che un ponte collassi quando passa un camion. Il peso del camion lo posso sapere perché basta pesarlo, variabile deterministica, mentre la probabilità di rottura del ponte è probabilistica, ipotizzo la sollecitazione massima a cui può resistere, non riesco a conoscere quella esatta finché non si rompe. Questo descrive il caso in cui la sollecitazione è deterministica.

Capitolo 22. Indice di affidabilità

Invece di calcolarmi gli integrali esiste un qualche altro metodo per calcolarmi la probabilità? Sì, esiste un metodo probabilistico detto anche di secondo livello, ma che può essere utilizzato solo sotto certe condizioni. Definisco quindi un altro metodo dato che non sempre esiste una forma chiusa degli integrali, trovo appunto un modo che mi semplifichi i calcoli per non avere un onere computazionale enorme. Consideriamo quindi le condizioni per ottenere una forma chiusa dell’integrale, cioè una sua soluzione:

• La funzione stato limite è lineare: Z = R − S.
• Le variabili sono indipendenti, cioè che la conoscenza di una variabile non modifica la distribuzione dell’altra variabile, non sono correlate fra di loro. Questa indipendenza delle variabili dipende dalla natura del problema. Ad esempio la resistenza dell’acciaio dipende da quale tipo si sceglie e la sollecitazione dipende dall’utilizzo dell’impalcato durante la sua vita utile e la domanda è: queste due quantità sono correlate? No perché dipendono da cose completamente diverse e quindi le due variabili sono completamente indipendenti. Normalmente è così dato che i carichi sono indipendenti fra di loro, ma ci sono dei casi in cui per la formalità del calcolo c’è questa dipendenza, ad esempio per quanto riguarda l’azione sismica ed il calcolo per strutture sismiche, dato che il movimento del terreno produce degli sforzi che sono identici a quelli che produrrebbe una forza statica equivalente e quando si modella l’azione sismica si introduce questa forza statica equivalente, che rende un po’ più semplice il calcolo, e quindi utilizzo come domanda la forza statica equivalente che per come è definita dipende dalle dimensioni delle membrature, in particolare più è rigida la struttura e più è alta la forza. Quindi se aumento le membrature aumenta la resistenza ma aumenta anche la domanda.
• Le distribuzioni sono normali o gaussiane, quindi distribuzioni definite da due parametri: il primo è un parametro di localizzazione, cioè