Appunti Tecnica delle costruzioni

Tecnica delle ostruzioni

1. Introduzione

1.1 Requisiti del progetto

1. Resistenza, non deve avvenire un collasso dell’edificio o di una delle sue parti come travi, pilastri, ecc. Il collasso può avvenire per rottura o altre cause.

2. Efficienza funzionale.

3. Stabilità.

4. Durabilità, l’opera deve conservare nel tempo tutte le sue capacità solo con elementi di ordinaria manutenzione.

5. Robustezza strutturale, la struttura deve rispondere in maniera decente ad eventi eccezionali.

1.2 Analogia di Mohr

Analogia: due equazioni differenziali rappresentano lo stesso fenomeno solo se le costanti di interazione sono uguali tra loro. Equazioni di congruenza: Equazioni di equilibrio:

Di conseguenza si può ottenere: La struttura delle equazioni che reggono il problema statico di una trave ad asse rettilineo è analoga alla struttura delle equazioni che reggono il problema statico-cinematico.

Ricorda: Secondo una trave ausiliaria con un carico la cui forma è pari al diagramma dei momenti ottengo direttamente l’abbassamento e la rotazione. Con il taglio ottengo la rotazione mentre con il momento ottengo l’abbassamento. Risolvo il problema cinematico attraverso la risoluzione di un problema statico. Per fare ciò devo trasformare le condizioni al contorno, ossia devo imporre condizioni di deformazione compatibili con i vincoli applicati.

• Trave reale (cinematica)
• Trave ausiliaria (statica)

1.2.1 Caso A: Trave appoggiata con forza concentrata

Per poter determinare la rotazione ϕ e l’abbassamento v basta andarsi a calcolare il momento ed il taglio della struttura ausiliaria.

Trave reale: Trave ausiliaria:

Legame momento – carico= = Problema simmetrico: = ...

1.2.2 Caso B: Trave appoggiata con carico uniforme

Trave reale: Trave ausiliaria:

Per trovare Y e Y considero la risultante del carico parabolico. L’area sottesa all’area di parabola è pari a 2/3 dell’area del rettangolo circoscritto = ...

1.2.3 Caso C: Mensola con carico concentrato

Trave reale: Trave ausiliaria:

Vado ad inserire l’incastro in B, in questo modo non abbiamo la rotazione e dunque c’è il momento MB così ho VB ≠ 0 = ...

1.2.4 Caso D: Trave appoggiata con un momento applicato ad un estremo

Questo caso viene definito come problema asimmetrico. Trave reale: Trave ausiliaria:

La rotazione dove è applicato il momento risulta essere il doppio rispetto all’altra estremità.

Ricorda: Quando ho due momenti devo sovrapporre gli effetti.

2. Acciaio

Il modello del materiale che considero deve essere:

• Omogeneo, ovvero stesse caratteristiche in funzione della posizione
• Isotropo, ovvero stesse caratteristiche in funzione della direzione di sollecitazione, stesse proprietà meccaniche nelle varie direzioni
• Legame costitutivo, elasticità lineare

L’acciaio è una struttura monocristallina. A livello microcristallino è anisotropo questo perché i cristalli sono disposti caoticamente e reagiscono diversamente nelle varie direzioni ma a livello di dimensioni si può definire isotropo, isotropia statistica. Esiste una diversa anisotropia nel verso di attraversamento del materiale.

2.1 Prova a trazione monoassiale

Dalla prova a trazione di un provino di acciaio vengono determinate le leggi costitutive. I parametri che devono essere determinati sono:

• F_t = tensione di rottura a trazione
• F_y = tensione di snervamento
• ε = allungamento %
• E = modulo elastico circa pari a 210000 N/mm

Fasi della prova:

• OA – Tratto elastico lineare, vale la legge di Hooke. Le deformazioni risultano essere reversibili. Allungamento direttamente proporzionale ai carichi σ-ε, il rapporto tensione/deformazione è lineare. Il punto A = limite di proporzionalità.
• AB – Tratto elastico non lineare, le deformazioni non sono proporzionali ai carichi. Gli allungamenti possono essere di tipo reversibile e tipo irreversibile.
• BC – Tratto di snervamento, è la parte iniziale del tratto plastico. Si ha lo scorrimento dei piani cristallini, ed è una fase tipica dei materiali duttili. Le deformazioni plastiche sono irreversibili, le deformazioni aumentano senza che il carico vada ad aumentare.
• CD – Tratto di incrudimento del materiale, si recupera parte dell’elasticità. Si ha un aumento della resistenza, gli allungamenti aumentano notevolmente. Nel punto D si ha il massimo carico che porta a rottura, corrisponde alla massima forza sopportata dalla provino.
• DE – Tratto detto di strizione che porta a rottura il provino. Allungamento localizzato della provetta anche se il carico diminuisce. L’allungamento tanto è grande tanto è maggiore la duttilità.

2.2 Classificazione degli acciai

NTC 2018: Cap.4.2.1.1 - acciaio laminato

“Gli acciai per impiego strutturale devono appartenere ai gradi da S235 a S460 e le loro caratteristiche devono essere conformi ai requisiti di cui al § 11.3.4 delle presenti norme. Per le applicazioni nelle zone dissipative delle costruzioni soggette ad azioni sismiche sono richiesti ulteriori requisiti specificati nel § 11.3.4.9 delle presenti norme. In sede di progettazione, per gli acciai di cui alle norme europee armonizzate UNI EN 10025-1, UNI EN 10210-1 ed UNI EN 10219-1, si possono assumere nei calcoli i valori nominali delle tensioni caratteristiche di snervamento fyk e di rottura ftk riportati nelle tabelle seguenti.”

NTC 2018: Tab. 4.2.I - Laminati a caldo con profili a sezione aperta piani e lunghi

2.3 Modello elasto-plastico perfetto

OA – Fase elastica.

AB – Fase plastica-perfetta. La capacità portante viene limitata al raggiungimento della tensione di snervamento, trascurando l’incrudimento di resistenza del ramo incrudente. La tensione di snervamento è il valore della tensione in corrispondenza del quale il materiale comincia a deformarsi plasticamente ovvero passando da un comportamento elastico ad un comportamento plastico.

Coefficiente di Poisson: dove ν=0.3 o ν=0.5 (plasticizzazione) = −

La sicurezza e le prestazioni devono essere valutate in relazione agli stato limite: condizione superata la quale la struttura in esame o uno dei suoi elementi costitutivi non soddisfa più le esigenze per le quali è stata progettata. Gli stati limiti ultimi possono essere di due tipi:

• Stato limite ultimo, associato al valore estremo della capacità portante o ad altre forme di cedimento strutturale che possono mettere in pericolo la sicurezza della persona. Generalmente causati da elementi di notevole intensità. Superamento -> collasso (irreversibilità).
• Stato limite esercizio, stati oltre i quali non sono più soddisfatti i requisiti di esercizio prescritti (reversibili, irreversibili). Lo stato limite d’esercizio secondo la norma serve per controllare la deformabilità della trave.

2.4 Metodi di verifica

2.4.1 Metodo semiprobabilistico agli stati limite

Il metodo agli stati limite consente di effettuare una verifica che abbia una valenza probabilistica, variabili aleatorie intervengono nella fase di progettazione e non sono valori unicamente noti.

R = Resistenza o capacità di prestazione, valore di sollecitazione resistente valutato in modo da avere una piccola probabilità di NON essere superato.

S = Sollecitazione o richiesta di prestazione, valore di sollecitazione agente valutato in modo da avere una piccola probabilità di essere superato.

• Coefficienti parziali di sicurezza (γ_M e γ_S), tengono conto di tutte le aleatorietà e incertezza e sono calibrate dalle normative in relazione al tipo di rischio e al tipo di materiale utilizzato e trasformano i valori caratteristici in valori di calcolo.

Per ogni grandezza ho due curve:

• Funzione di densità di probabilità cumulata o di distribuzione cumulata: Rappresenta la probabilità che la variabile non superi un certo valore assegnato. Solitamente il certo valore assegnato è 1 di conseguenza l’area sottesa alla curva ha valore unitario anche se può avere forme diverse.
• Funzione di densità di probabilità relativa o di distribuzione delle probabilità: Questa seconda curva si ottiene andando a derivare l’equazione numero 2. Questa curva esprime la possibilità che si manifesti un evento.

La resistenza viene associata alla risposta strutturale. Le azioni vengono associate alle sollecitazioni. Prendo un intervallo di tempo a me conveniente e prendo un campione di edifici e vado a misurare massimi carichi e li vado a studiare. Alle variabili aleatorie associo la densità di probabilità. Di queste distribuzioni assumono particolare importanza più che i valori medi i valori che vengono definiti valori caratteristici.

S_K = Valore che abbia una bassa probabilità di essere superato, in particolare il frattile inferiore 95% (valore al di sotto del quale include il 95% dei valori aleatori). Ho il 5% di probabilità di essere superato.

R_K = Valore che abbia un’alta probabilità di essere superato, in particolare il frattile inferiore 5% (valore al di sotto del quale ricade il 5% dei valori aleatori). Ho il 95% di probabilità di essere superato.

a= scarto medio o ampiezza( ) Misura lo scostamento dal valore medio, dipende dall’altezza della curva =

Le due curve le posso inserire in un unico diagramma: La risposta deve essere maggiore della domanda. Quando la risposta è minore i sistemi entrano in crisi. La probabilità composta dell’evento sfavorevole è legata alla sovrapposizione di due diagrammi quindi con prodotto delle due probabilità dei singoli eventi.

R = R_m – k*a k = gauss = 1.64 Esistono valori per cui si verifica la disuguaglianza, il problema è decidere quale è il margine di errore voluto.

Devo verificare che: R_d ≥ S_d

Dal punto di vista probabilistico gli errori hanno ordini di grandezza molto piccolo (10^-7/10^-4).

Come posso fare per allontanare le due curve? Utilizzo i coefficienti parziali in modo tale da mettermi in sicurezza dato che cerco di portare l’errore quasi a zero anche se ciò non sarà mai possibile dato che le curve vanno da -∞ a +∞.

SLE 10^-3÷10^-2

SLU 10^-7÷10^-5 (ordine di probabilità di collasso)

Per le sollecitazioni agenti S_d scelgo il valore caratteristico che mi lascia il 95% a sinistra ed il 5% a destra. S_K coinciderà con il max dei massimi.

Per le sollecitazioni resistenti R_d scelgo il valore che mi lascia il 5% a sinistra ed il 95% a destra. R_K coinciderà con il min dei minimi.

2.4.1.1 Valutazioni delle sollecitazioni agenti S_d

F_d – Valore di progetto delle azioni, combinazioni delle azioni agenti con i rispettivi coefficienti parziali (G₁, G₂, Q)

Q_k – Valore caratteristico di un’azione variabile, azioni che possono agire contemporaneamente.

Q_k1 = Azione dominante (quelle con il valore più alto)

Q_k2, Q_k3 = Azioni contemporanee

Q_ki combinati con i coefficienti di combinazione ψ_oJ, ψ_1J < 1 e tengono conto delle contemporaneità delle azioni.

Esistono valori per cui le azioni E_s sono maggiori della resistenza per cui non viene soddisfatta la disuguaglianza. Con l’impiego dei coefficienti parziali allontano le curve e questa area si riduce e quindi riduco il rischio che le azioni siano maggiori delle resistenze.

Classificazione delle azioni:

• Dirette, concentrata e distribuite
• Indirette, variazioni temperatura e umidità
• Statiche, non implicano accelerazioni alla struttura
• Dinamiche, causano significative accelerazioni alla struttura
• Permanenti, costanti nel tempo: Strutturali G₁, Non strutturali G₂
• Variabili Q
• Eccezionali

NTC 2018: Cap.2.5.3 – Combinazione delle azioni

“Ai fini delle verifiche degli stati limite, si definiscono le seguenti combinazioni delle azioni.

Combinazione fondamentale, generalmente impiegata per gli stati limite ultimi (SLU):

F_d = γ_G1 G₁ + γ_G2 G₂ + γ_P P + γ_Q1 Q_k1 + γ_Q2 Q₀₂ ... [2.5.1]”

Ψ = coefficiente di combinazione riduttiva, tiene conto della ridotta probabilità che i carichi raggiungano il valore massimo contemporaneamente ψ < 1

NTC 2018: Tab. 2.6.I – Coefficienti parziali per le azioni o per l’effetto delle azioni nelle verifiche SLU

Noi andiamo ad utilizzare la colonna A1 e possiamo trovare due combinazioni F_dmin e F_dmax

F_dmin = 1.0 G₁ + 0.8 G₂ + 0 Q

F_dmax = 1.3 G₁ + 1.5 G₂ + 1.5 Q

ΔF_d = F_dmax – F_dmin

NTC 2018: Cap.2.5.3 – Combinazione delle azioni

“Combinazione caratteristica, cosiddetta rara, generalmente impiegata per gli stati limite di esercizio (SLE) irreversibili:

F_d = G₁ + G₂ + Q_ki

Combinazione frequente, generalmente impiegata per gli stati limite di esercizio (SLE) reversibili:

F_d = G₁ + G₂ + ψ₁₁ Q_ki

Combinazione quasi permanente (SLE), generalmente impiegata per gli effetti a lungo termine:

F_d = G₁ + G₂ + ∑ Q

Per le combinazioni allo SLE vengono omessi i carichi Q_k1 che danno un contributo favorevole ai fini delle verifiche. Per la verifica allo SLE faccio riferimento alla normativa, più nello specifico:

• NTC 2018: Cap.4.2.4.2 – Verifiche agli stati limite di esercizio
• NTC 2018: Tab. 4.2.XII – Limiti di deformabilità per gli elementi di impalcato delle costruzioni ordinarie

2.4.1.2 Linee di influenza

Linee di influenza: Servono ad individuare la configurazione più sfavorevole. La linea di influenza di una data grandezza relativa ad una prefissata sezione è il diagramma che ne rappresenta la legge di variazione (in funzione dell’ascissa del punto di applicazione) di un carico concentrato unitario mobile. La variazione della grandezza al variare della posizione del carico unitario sulla trave. Mediamente le linee di influenza di una certa grandezza relativa ad una prefissata sezione, è possibile calcolare la grandezza predetta per qualunque configurazione di forze agenti parallelamente alla direzione del carico unitario concentrato.

Il problema delle linee di influenza nasce a metà del XIX secolo quando i problemi iniziano ad essere di tipo iperstatico. Nel 1968 viene brevettato il metodo delle linee di influenza da Otto Mohr. Con le linee di influenza è possibile notare che sommando i carichi agenti ottengo un diagramma che mi dimostra che non è detto che se aumento il carico la situazione sia più gravosa. Esempio: Prendo in considerazione una trave isostatica, il vincolo del carrello è appoggiato in quanto la trave non è interrotta. Divido in due riferimenti: Se considero in contemporanea le due parti avrò un momento che è pari a 10-3=7 Questo dimostra che se considero I due momenti insieme ho un momento sfavorevole minore rispetto a se considerasse un carico solo. Si possono avere due metodi

• Metodo diretto, concettualmente più facile
• Metodo generale, detto anche metodo grafico

2.4.1.2.1 Metodo diretto

La linea di influenza di una data grandezza η può essere tracciata partendo dalla definizione stessa di linea di influenza. Si pone il carico p=1 sull'ascissa ε₁ si calcola l'effetto η₁ nella prefissata sezione S, si sposta poi il carico in un’altra ascissa ε₂ e si trova il corrispondente valore η₂ dell’effetto studiato sempre sulla sezione S, si ripete infine il procedimento spostando il carico P su altre ascisse ed ottenendo gli altri valori η. Basterà riportare in un diagramma i valori di η sulla verticale di corrispondenza dei valori di ε per ottenere le linee di influenza di η sulla sezione S.

Caso isostatico

Essendo una struttura isostatica non c’è lavoro di deformazione in quanto la struttura si deforma rigidamente. Se avessi avuto una struttura iperstatica avrei avuto una deformazione e quindi L_int ≠ 0 e si sarebbe utilizzato il Teorema di Betti.

Rappresentazione della linea di influenza della sezione do incastro:

Caso iperstatico, vado a calcolare la linea di influenza del momento con appoggio in 2. Nel diagramma pulito della linea di influenza il valore ottenuto sull'appoggio in 2 lo vado ad inserire li dove ho applicato il carico ipotetico 1.

2.4.1.2.2 Metodo generale o metodo grafico

Th. Betti: Il lavoro generato da un lavoro A rispetto a B è lo stesso generato dal sistema B rispetto ad A. Viene anche chiamato Teorema di reciprocità. L₁₂ = L₂₁

Alla base del metodo grafico vi è il fatto che la linea di influenza è la deformata del sistema. Con questo metodo possiamo trovare sia le linee di influenza per il momento sia per il taglio.