Appunti sulle variabili aleatorie e sulle funzioni di probabilità

Proprietà di media e varianza

X v.a. a, b ∈ ℝ

E[aX + b] = aE[X] + b

E[aX] = aE[X], E[b] = b

Var(aX + b) = a² Var(X)

Var(aX) = a² Var(X), Var(b) = 0

Dim. g(X) = aX + b

E[g(X)] = ∫_-∞^+∞ g(x)fₓ(x)dx == ∫_-∞^+∞ (ax + b)fₓ(x)dx = ∫_-∞^+∞ axfₓ(x)dx + ∫_-∞^+∞ bfₓ(x)dx =

Proprietà di media e varianza

X v.a. a, b ∈ ℝ

E[aX + b] = aE[X] + b

(E[aX] = aE[X], E[b] = b)

Var(aX + b) = a²Var(X)

(Var(aX) = a²Var(X), Var(b) = 0)

Dim. g(X) = aX + b

E[g(X)] = ∫_-∞^+∞ g(x)f_x(x)dx == ∫_-∞^+∞ (ax + b)f_x(x)dx = ∫_-∞^+∞ axf_x(x)dx + ∫_-∞^+∞ bf_x(x)dx == a ∫_-∞^+∞ x f_x(x) dx + b ∫_-∞^+∞ f_x(x) dx == a E[X] + b

Ψ = aX + b

Var(Ψ) = E [(Ψ - E{Ψ})²] == E [(aX + b - E[aX + b])²] == E [(aX - aE[X])²] = E [a²(X - E{X})²] = a² E [(X - E{X})²], = a²Var(X)

Più in generale se λ₁, λ₂ ∈ ℝ:

E[λ₁ g₁(X) + λ₂ g₂(X)] == λ₁ E[g₁(X)] + λ₂ E[g₂(X)]

Variabile aleatoria standardizzata

X sia una v.a. con E[X] = μ_X e Var(X) = σ_X².

X^* = ^{X - μ_X}⁄_σX

E[X^*] = 0, Var(X^*) = 1

Si chiama v.a. standardizzata.

Dim.

E[X^*] = E [^{X − μ_x}⁄_σx] = ¹⁄_σx E[X − μ_x] = ¹⁄_σx (E[X] − μ_x) = 0

Var(X^*) = Var (^{X − μ_x}⁄_σx) = ¹⁄_σx² Var (X − μ_x) == ^Var(X)⁄_Var(X^*) = 1

Disuguaglianza di Markov

Sia X una v.a., non negativa, che ammette valore medio finito E[X].

Allora ∀ ε > 0

P({X ≥ ε}) ≤ E[X] / ε

Dim. E[X] = ∫_−∞^+∞ x f_X(x) dx == ∫₀^ε x f_X(x) dx + ∫_ε^+∞ x f_X(x) dx ≥≥ ∫_ε^+∞ ε f_X(x) dx == ε ∫_ε^+∞ f_X(x) dx = ε P({X ≥ ε})

E[X] ≥ ε P({X ≥ ε}) ⇒ P({X ≥ ε}) ≤

Es. 1

Sia data un'urna contenente 2 palline bianche e 2 rosse. Si consideri l'esperimento di estrarre senza rimpiazzo una pallina alla volta fino alla comparsa della prima pallina bianca. Sia X il numero della relativa estrazione. Calcolarne la varianza.

R_X = {1, 2, 3}

B₁

R₁ ∩ B₂

R₁ ∩ R₂ ∩ B₃

P_X(1) = ¹/₂

P_X(2) = P(R₁)P(B₂ | R₁) = ¹/₂ * ²/₃ = ¹/₃

P_X(3) = P(R₁)P(R₂ | R₁)P(B₃ | R₁ ∩ R₂) = ¹/₂ * ¹/₃ * 1 = ¹/₆

Var(X) = E[X²] - E[X]²

E[X] = ∑_xi x_ip_X(x_i) = 1p_X(1) + 2p_X(2) + 3p_X(3) = 1 * ¹/₂ + 2 * ¹/₃ + 3 * ¹/₆ = 1 + ²/₃ = ⁵/₃

E[X²] = Σ_xi xi² p_x(xi) = 1² p_x(1) + 2² p_x(2) + 3² p_x(3) = 1 . ¹⁄₂ + 4 . ¹⁄₃ + 9 . ¹⁄₆ = ²⁄₃ + ⁴⁄₃ = ¹⁰⁄₃

Var(X) = ¹⁰⁄₃ - (⁵⁄₃)² = ¹⁰⁄₃ - ²⁵⁄₉ = ⁵⁄₉

Es. 2

Il numero di articoli prodotti da una fabbrica durante una settimana è una v.a. con media pari a 50.

Cosa possiamo dire della prob. che la produz. di questa settimana sia almeno di 75 unità?

Sapendo che la varianza del numero di articoli prodotti in una settimana cosa possiamo dire della prob. che la produzione di questa settimana compresa fra 40 e 60 unità?

X = numero articoli prodotti in una settimana

E[X] = 50

P(X ≥ 75) ≤ E[X] = 50 = ²⁄₃

E[X] = 50 Var(X) = 25

P(40 < X < 60) = P(40 − E[X] < X − E[X] < 60 − E[X])

P(−10 < X − E[X] < 10) = P ( { |X- E [ X ]| < ε } ) >= 1 - Var ( X ) / ε²

P ( { 40 < X < 60 } ) >= 1 - 25/100 = 1 - 1/4 = 3/4

Es. 3

Il banco lancia un dado e non paga niente se esce un numero ≤ 3, paga 30 € se esce il 4, 40 € se esce il 5 e 50 € se esce il 6. Qual è la posta da pagare affinché il gioco sia equo?

X = vincita (in euro)

R_X = { 0, 30, 40, 50 }

P_x(0) = ¹/₂

P_x(30) = ¹/₆ = P_x(40) = P_x(50)

E[X] = 0P_x(0) + 30P_x(30) + 40P_x(40) + 50P_x(50) = ¹/₆ [30 + 40 + 50] = 20

Es. 4

Dopo avere determinato la costante k per cui f(x) = { k sin x   0 < x < π   0    altrove è la fz. di densità per una v.a. X continua, calcolare E[X], Var(X), P({|X| ≤ ^π/₄}) e la funz. di ripartizione.

1 = ∫_-∞^+∞ f(x) dx = ∫₀^π k sin x dx = k ∫₀^π sin x dx = k(-\cos x)^π₀ = 2k

2k = 1 => k=\frac{1}{2}

f(x)=\begin{cases} \frac{1}{2}\sin x & 0