Appunti sul campo dei numeri complessi

NUMERI COMPLESSI

Si parte dall'insieme R x R = R²

Introduco due operazioni, somma e prodotto cosi' definite:

• (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) ∀a, b, c, d ∈ R
• (a, b) · (c, d) = (ac - bd, ad + bc)

Si prova che R² con le operazioni di + e · è un campo, cioè soddisfa gli assiomi da [1] a [5] del R.

• L'elemento neutro rispetto alla somma è (0, 0) infatti (a, b) + (0, 0) = (a, b)
• L'elemento neutro rispetto al prodotto è (1, 0)

R² è dunque un campo.

Si definisce campo dei numeri complessi (o campo complesso) e si denota con C = (R², 1, ·).

Legame tra C e R:

• C₀ = {(a, b) ∈ C: b = 0} = {(a, 0), a ∈ R}² ⊂ C
• (a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0)
• (a, 0) · (c, 0) = (ac, 0 - 0, 0 - 0) = (ac, 0) = (ac, 0)

C₀ si dice sottocampo di C

Posso definire una relazione d'ordine ≤

Dico che (a, 0) ≤ (b, 0) se a ≤ b

C'è una corrispondenza biunivoca tra C₀ e R

Posso "identificare" (isomorfismo) C₀ con R, strutturalmente è interscambiabile

In questo senso C è un'estensione di R.

I numeri complessi (0, 0) si dicono reali

Numeri complessi (0, b) ∈ C si dicono immaginari

• (0, 1) ∈ C
• (0, 1) · (0, 1) = (-1, 0) ∈ C₀

i = (0, 1) → i² = -1

NUMERI COMPLESSI

Si parte dall'insieme _R x _R = _R².

Introduco due operazioni, somma e prodotto così definite:

• (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) ∀a, b, c, d ∈ _R
• (a, b) * (c, d) = (ac - bd, ad + bc)

Si prova che _R² con le operazioni di + e * è un campo cioè soddisfa gli assiomi da A a N su _R.

L'elemento neutro rispetto alla somma è (0, 0) infatti (a, b) + (0, 0) = (a, b).

L'elemento neutro rispetto al prodotto è (1, 0).

_R² è dunque un campo.

Si definisce campo dei numeri complessi (o campo complesso) e si denota con _C = (_R², ·, +).

Legame tra _C ed _R:

_C0 = {(a, b) ∈ _C : b = 0} = {(a, 0), a ∈ _R} ⊂ _C

(a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0)

(a, 0) * (b, 0) = (a*b - 0, 0 - 0) = (a 0, 0)

_C0 si dice isomorfo di _R ma su _C0 posso definire una relazione d'ordine ≤

Dico che (a, 0) ≤ (b, 0) se a ≤ b

C'è una corrispondenza biunivoca tra _C0 e _R

Hanno le stesse proprietà e si dice che conserva la struttura.

Posso “identificare” (isomorfo) _C0 con _R,

sturnarli è intercambiabile quindi è come se _R fosse sottinsieme di _C.

_C in questo senso è un’estensione di _R.

I numeri complessi (0, 1) li chiamo reali.

I numeri complessi (0, b) ∈ _C si dicono immaginari.

(0, 1) ∈ _C

(0, 1) * (0, 1) = (-1, 0) ∈ _C

i = (0, 1) i² = -1

i³ = i * i² = i * -1

i⁴ = -i * i = 1

Rappresentazione algebrica di un numero complesso

(a,b) = (a,0) + (0,b) ⟶ (a,0) + (0,b) è sempre vero

(a•c, a•d) + (β•c, β•d) ⟶ (0,b)

Forma algebrica di z è un binomio e agevola le operazioni

Il numero z = a - ib si dice coniugato di z ⟶ z = -i

dati z=a-ib il numero a²+b² si dice modulo di z.

Proprietà:

• z•z = a² + b²
• (6+i•b)(a-i•b) = a² - (ib)² = a² + b²
• |z| ≥ 0

Si verifica che dati due numeri complessi z₁ e z₂:

1. z₁ + z₂ = z₁ + z₂
2. z₁ • z₂ = z₁ • z₂
3. (1/z₂) = 1/z
4. |z| ≥ 0, |z| = 0 ⟶ |z|=0
5. |z| = |z|
6. z₁ + z₂ ≤ |z₁| + |z₂|

Operazioni

z₁ = (3,-2i) z₂ = (4,-√2i)

z_L = 3-2i z_L=4-√2i

z₁ + z₂ = 3-2i + 2√2

z₁ + z₂ = 7 - (z₁+z₂)i

z = 3-2i/4+i è un numero complesso ma non in forma algebrica. Si trasforma moltiplicando per il coniugato.

z = 3-2i/4+i

• 3-2i/4+i
• 12-8i-3i-2/16+1
• 10-11i/17
• 10/17 + 11i/17

Rappresentazione "geometrica" di un numero complesso (forma algebrica) sul piano complesso

z = a + ib

(a, b)

z = 1 (1, 0)

iz = i (0, 1)

i²z = -1 (0, -1)

z₁ + z₂ si somma con i vettori quindi si applica la regola del parallelogramma.

z₁ - z₂ il vettore ha verso opposto

Osservazioni

(∀ o, e) C_n→ C è un campo

• (a, o) ≤ (b, o) ⇔ o ≤ b
• (a, b) ≤ (c, d) ⇔ a + c ≤ b + d

Non può essere totalmente ordinato altrimenti varrebbe i ≠ 0 e

• i > 0
• i < 0
• -i > 0
• si otterrà:
• cambia verso
• i ≤ 0

Sono contraddizioni

Ma C₀ = R totalmente ordinato

Esercizio

(3 - 3i)¹⁰⁰

Si passa ad un'altra forma:

Rappresentazione

z = (a,b)

ρ raggio vettore

θ argomento (principale)

Il raggio ruota ma non varia

Coordinate polari di z (ρ,θ)

• la corrispondenza non è biunivoca almeno che θ non venga limitato (bloccato) a un range, in questo caso è vero che ad ogni punto sono associati solo un ρ e un θ.

Supponiamo di essere nel piano di Gauss:

• a = ρ cos θ
• b = ρ sin θ
• a² + b² = ρ²
• ρ² = a² + b² → ρ = √(a² + b²)
• cos θ = a/ρ = a/√(a² + b²)
• sin θ = b/ρ = b/√(a² + b²)

Dunque z = a + ib = ρ cos θ + i sin θ = ρ (cos θ + i sin θ)

Esempi:

Esempio: scrivere in forma trigonometrica di z i seguenti numeri:

• z₁ = 1 + i
• z₂ = -1 - i
• z₃ = 1 + i√3
• z₄ = √3 + i

1. ρ₁ = √(1² + 1²) = √2, cos θ₁ = a/ρ₁, sin θ₁ = b/ρ₁
2. ρ₂ = √(1² + 1²) = √2, cos θ₂ = a/ρ₂, sin θ₂ = b/ρ₂

Dunque z₁ = 2 (cos π/6 + i sin π/6)

Oltre a forma algebrica e trigonometrica esiste la forma esponenziale

• Per x = 0 eⁱθ = cos θ + i sin θ
• z = 2 (cos θ + i sin θ) = eⁱθ
• Per θ = π eⁱπ = -1
• eⁱπ + 1 = 0

Supponiamo di avere due numeri complessi:

z₁ = ρ₁ · e^iθ₁ = ρ₁ (cosθ₁ + i&sin;θ₁)

z₂ = ρ₂ · e^iθ₂ = ρ₂ (cosθ₂ + i&sin;θ₂)

z₁ · z₂ = ρ₁ · ρ₂ · e^{i(θ₁ + θ₂)} = ρ₁ · ρ₂ [cos(θ₁ + θ₂) + i&sin;(θ₁ + θ₂)]

= ρ₁ · ρ₂ [cosθ₁ · cosθ₂ - sinθ₁ · sinθ₂ + i(cosθ₁ · sinθ₂ + sinθ₁ · cosθ₂)]

= S_ρ [cos(θ₁ + θ₂) + i · sin(θ₁ + θ₂)]

Quando moltiplico due o più numeri complessi scritti in forma trigonometrica ottengo un nuovo numero complesso che ha come modulo il prodotto dei moduli e come argomento la somma dei due o più angoli.

Se i numeri sono tutti uguali calcolo le potenze dei numeri e la somma di tutti i teta.

Esempio 1   z³ = z · z · z = ρ³ · [cos(θ₁ + θ₁ + θ₁) + i · sin(θ₁ + θ₁ + θ₁)] = ρ³ [cos(3θ) + i sin(3θ)]

Esempio 2   z^1/4 = ρ^3/20 [cos(mρ₁) + i · sen(mρ₁)]

Esempio 3   z = ∈ - iθ = √ 2 &sdot [cosθ + i&sin;θ]

Rapporto tra due numeri complessi

z₁ = ρ₁ [cosθ₁ + i&sin;θ₁]

z₂ = ρ₂ [cosθ₂ + i&sin;θ₂]

  &frac;{z₁}{z₂}   = &frac;{ρ₁}{ρ₂}   [cos(θ₁ − θ₂) + i   sin(θ₁ − θ₂)]

  &frac;{z₁}{z₂}   = ρ₁ρ₂ [cosθ₁ − iθ₂]

Al denominatore rimane:   S = 1

Estraggo le radici

Dato z ∈ ℕ, deduco che un numero complesso w ∈ ℂ è la radice m-esima di z e scriviamo:

w =   &sqrt;{z}   =   &frac;{1}{z}   Se   w² = z

In ℂ non esiste una radice m-esima sola ma sempre m (es. 3 radici cubiche, 4 radici quarti...)

Dato z = ρ [cosθ + i&sin;θ], dato n∈ ℕ, esistono sempre m radici m-esies W₀, W₁, ..., W_m-1 che soddifano

W_k = S^1/m&dbold; (cos&frac;θk + i&sin;θk)