Appunti Numeri complessi

Prodotto numeri complessi

f.w = (a+ib)·(c+id) = ac·iad+ibc-bd = ac−bd+i(bc+ad)

Formula geometrica (ac−bd, bc+ad)

a+ib(a,b)π, luogo coniugato

asse Immaginari

asse Reale

Coniugato

coniugato

z̅ = a - ib

z = z̅ se e solo se z ℝ

z + w = z̅ + w̅

z · w̅ = z̅ · w̅

se faccio il coniugato del coniugato (z̅̅) = z

|z| = √(a²+b²), rappresenta la distanza del numero aulieare all'origine

|z| ≥ 0

z = (a,b) forma cartesiana

ω = c+id = (c,d)

z + ω = (a + ib) + (c + id) = a + c + i ⋅ b + i ⋅ d = c + i (b + d)

Prodotto numeri complessi

z ⋅ w = (a+ib)⋅(c+id) = ac + iad + ibc - bd = ac - bd + i (bc + ad)

Formula geometrica (ac - bd, bc + ad)

Coniugato

z ∈ ℝ ⇔ z = z

z = a - ib

z + z̄ = 2a = 2Re(z)

z - z̄ = 2bi = 2i ⋅ Im(z)

z + w = z̄ + w̄

z ⋅ w = z̄ ⋅ w̄

se faccio il coniugato del coniugato(z̄) = z

|z| = √(z ⋅ z̄) = √(a + ib) ⋅ (a - ib) = √ a² + b²

|z| > 0 e |z| = 0 ⇔ z = 0

|zw| = |z| ⋅ |w|

|z| = |z||z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂| > disuguaglianza triangolare

σ metodo di raccoglimento → |w| + |z| ≥ |w + z|

vo suo togliere la i

z̅ / w̅ = z / w

Esempio: λ / i = -_. λ̅ / -λ̅² = i

Forma trigonometrica

angolo (radiante) viene detto argomento di z → Arg(z)

re asse (polare) = |z|cosα · r.a = a

z = r cosα + ir senα => z = r(cos α + i sin α)

senθ = b / r = b / √(a² + b²)

cosθ = a / r = a / √(a² + b²)

tgθ = a / b

θ = tg^-1 (-y / x)

ee > Nepero compreso tra 2 e 3

z = cosθ + i senθ = re^iθ → rappresentazione esponenziale

e^iπ

z = r (cosθ + i senθ)

W = s (cosφ + i senφ)

Z / W = r / s [ cos(θ - φ) + i sen(θ - φ)] = r / s e^{i(θ - φ)}

se zⁿ = rⁿ (cos(nθ) + i sen(nθ))

oppure zⁿ = rⁿ e^inθ

r = √a² + b²

α = cos^-1 1/√2 = π/4= e^{i 243π/4}

Potenze di i

• Nn = 0
• 1⁰ = 1
• N = 1
• 1¹ = i
• N = 2
• 1² = -1
• N = 3
• 1³ = -i
• N = 4
• 1⁴ = 1
• N = 5
• 1⁵ = i
• 1⁶ = -1
• 1⁷ = -i

le potenze sono cicliche di ordine 4

se ho i²⁴³

243 = 4 . 60 + 3

4 . 60 + 3

1 = (i⁴)⁶⁰ x i³ = i

se ho iⁿ lo divido per 4

ed elevo al resto

= i^resto

Radici n-esime

ⁿ√(^m⁄_n + ^l⁄_n)^s -> ho n risultati

_z = reiφ

ω = se^iφ devo trovare ω

ωⁿ = ^__nz <=> ωⁿ = z

ωⁿ = (se^iφ)ⁿ = sⁿe^inφ = reiω

{sⁿ = rnφ = φ + 2πKπ=> {s = r^1⁄nθ_{_} = ^{φ + 2Kπ}⁄_{_}n

ω_k = ^{_= _⁄_ n} re^{i(φ + 2Kπ)⁄n}

K = 0 fino a n-1

³√1 ho 3 radici complesse

raggio &egrave sempre 1

se ho n = 0 => φ = φ + 0 = 0

n = 0 < Prima radice 1.e ⊃ = 1

n = 1 <- Seconda radice θ = φ + 2π&div; 3 => e^i*2π⁄3

n = 2 &lozenge; terza radice θ = φ + 4π⁄ 3 => e^i*4π⁄3

Esempi di radici

3^√_{N 2}i = x = √₃ = 1

cos θ = _a^N → θ = cos^-1₂ = ^π₃

se k = 0^π₃ + 0 = ^π₆ → e^π⁄₂i 1^∊ radice

se k = 1^π₃ + 2π = ^7π₈ → e^7π⁄₃i 2^∊ radice

se k = 2^π₃ + 4π = ^13π₈ → e^13π⁄₃i 3^∊ radice

mi esa un triangolo equilatero

4^√_16i

x = √_(-16²) = 16

cos θ = 0 → θ= ^π₂

4^√_{16 e i π⁄2}

se k = 0^π₂ + 0 = ^-π₈ → 1^∊ radicee^{-i π⁄8}

se k = 1^π₂ + 2π = ^3π₈ → 2^∊ radicee^{-i ∓  −  π⁄8}

se k = 2^π₂ + 4π = ^7π₈ → 3^∊ radicee^{-i ∗  −  π⁄8}

se k = 3\[\frac{-\pi}{2} + \frac{6\pi}{4} = \frac{11\pi}{8}\] → la 2\textsection radice\[2 \cdot e^{i \cdot \frac{11\pi}{8}}\]

Formule Eulero

\[\begin{cases} \cos\theta + i\sin\theta = e^{i\theta} \\ \cos\theta - i\sin\theta = e^{-i\theta} \end{cases} \Rightarrow\]

\[\begin{cases} \cos\theta = e^{i\theta} - i\sin\theta \\ e^{-i\theta} - i\sin\theta = e^{i\theta} \end{cases}\]

\[-2i\sin\theta = e^{-i\theta} - e^{i\theta}\]

\[\Rightarrow \sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2}\]

\[\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}\]

Equazioni

z² + z - 2 = 0

z = -i ± √i² + 8 - i ± √7₂

Teorema fondamentale dell'algebra

P₂(x) = x² + Δ in ℂ si z₁,₂ = (-z - i)(z + i) = 0 in ℝ No Soluzioni 2 Soluzioni

Enunciato

Ogni polinomio di grado n in ℂ ammette sempre n zeri, se contati con la loro molteplicità.

Corollario

Se P_n(z) è un polinomio di grado n in ℂ a coefficienti reali, ho 2 soluzioni Coniugate

Corollario 2

Se P_n(z) è un polinomio in ℂ di grado dispari e a coefficienti reali allora c'è uno zero reale