Appunti - soluzioni di equazioni non lineari

Soluzione numerica di equazioni non lineari

Esempio: calcolare gli zeri di f(x) = sinx - x

Si sa che se I = [a, b] (continuo e con f(a)f(b)1) esiste un x* tale che f'(x*) = 0. Quindi si trova quel punto x* (se sin(x*) - x* = 0) → se sin(x*) = x*. Dato che |sin(x)| ≤ 1 allora un tale x* esiste compreso tra I: x* ∈ [-1, 1].

Inoltre, f(-1) = sin(-1) + 1 = 0,1585, f(0) = sin(0) - 1 = -1. Per il teorema degli zeri un tale numero esiste → tracciato il grafico si è quasi sempre in grado di determinare con certezza gli zeri. Dipende dal grado d'approssimazione del calcolatore.

Per ordine, si può provare ad aumentare il numero di punti rappresentati → costo massimo (tempo).

Metodi iterativi

Sono alcuni metodi di potenza, per un'accuratezza della soluzione. Si preferisce una velocità maggiore (assenza di convergenza).

Ordine di convergenza

Si suppone che un metodo per la soluzione di equazioni non lineari generi una successione {x_n} che converge a x*, zero di f. Si può esprimere come ⊆ α_n|x_n - x*|. Quel valore rappresenta l'ordine di convergenza per un certo p > 0 e si esprime come e_n+1 = C(e_n)^p (non N) confrontato p e vale una certezza.

Metodo di bisezione

• Si prenda un intervallo [a₀, b₀], con b₀ > a₀ tale che f(a₀)f(b₀) < 0. Per il teorema degli zeri, in esso esiste un punto tale che f(0) = 0.
• Si calcola il punto medio x₀ di a₀, b₀.
• Si valuta f(x₀), il punto zero cercato.
• Se f(x₀) è strettamente di avere uno zero, si conclude il processo: in questo caso è uno zero cercato.
• Altrimenti, se f(a₀)f(x₀) < 0, si pone a₁, b₁ = x₀.