Appunti di "Calcolo Numerico"

I numeri nell'elaboratore elettronico

Conversioni di base

a) La rappresentazione di un numero a in una base N è unica.

a = a_nN^m + a_n-1N^m-1 + ... + a₀N⁰ + a_-1N^-1 + a_-mN^-m

Es.: L'elaboratore riconosce solo la rappresentazione binaria; essa si fa di due soli possibili elementi: numeroso un destroso (0 e 1).

Le rappresentazione in base 16 usa le cifre 0-9, A B C D E F.

Per quanto riguarda le parti intere, per passare da a = a_mN^m + a₀N a le basi di arrivo N: a = b_nNⁿ + b_n-1N^n-1 + ... + b₀N⁰.

Si divide per N: (a_mN^m ...+ a₀N⁰) : Nⁿ = b_nN^n-1 + ... + b_-1N^-1 + b₀N⁰ = dato div: non fatte in base M si può trovare il resto della divisione è, che è b₀, sempre si in base M.

Così, dividendo nuovamente per N di risultati si ottiene b₁ come resto ecc.

Es.: (2028)₁₀ = (?)₄

2028 : 4 = 507 / b₀ = 0

507 : 4 = 126 + 3 / b₁ = 3

126 : 4 = 31 + 2 / b₂ = 2

31 : 4 = 7 + 3 / b₃ = 3

7 : 4 = 1 + 3 / b₄ = 3

1 : 4 = 0 + 1 / b₅ = 1

= (7EC)₁₆

Per quanto riguarda le parti frazionarie, per passare dalle basi di partenza M di a = a_-1N^-1 + a_-mN^-m alle basi di arrivo N: a = b_-1N^-1 + ... + b_-sN^-s.

Basta moltiplicare per N: N (a_-1N^-1 + a_-mN^-m).

Simile alle parti intere b₀, che è scmesso in base M. Ancora si eliminano le parti intere e si moltiplica di nuovo ecc.

Es.: (0,123)₁₀ = (?)₄

0,123 * 4 = 0,492 / b_-0 = 0

0,492 * 4 = 1,968 / b_-1 = 1

0,968 * 4 = 3,872 / b_-2 = 3

0,872 * 4 = 3,488 / b_-3 = 3

(0,123)₁₀ = (0,0133)₄

I numeri nell'elaboratore elettronico

Conversioni di base

a) La rappresentazione di un numero a in una base N è unica.

a = a_nN^M + a_n-1N^M-1+...+a₀N⁰ + a_-1N^-1 + a_-mN^-m

Es.: L'elaboratore riconosce solo le rappresentazioni binarie; esse si fanno con due soli possibili elementi: numeroso 1 destroso (0 e 1).

Le rappresentazioni in base 16 usano le cifre 0-1: 9ABCDEFG

Per quanto riguarda le parti intere, per passare da a = a_nM^M+...+a₀MA alle basi di arrivo N: a = b_nNⁿ+b_n-1N^n-1+...+b₀N⁰

Si divide per N: (a_mM^m...+a₀M⁰) / N = b_nN^n-1+...+b₁+b₀/^N

Non fate in base M si può trovare il resto delle divisioni è, che è, sempre, se in base M. Così, dividendo nuovamente per N di risulta si ottiene b₁ come resto ecc.

Es.: (2028)₁₀ = (?)₄

2028 : 4 = 507 / 8 ➝ b_o = 0

507 : 4 = 126 / 3 ➝ b₁ = 3

126 : 4 = 31 + 2 ➝ b₂ = 2

31 : 4 = 7 + 3 ➝ b₃ = 3

7 : 4 = 1 + 3 ➝ b₄ = 3

1 : 4 = 0 + 1 ➝ b₅ = 1

(= (7EC)₁₆

Per quanto riguarda le parti frazionarie, per passare dalle basi di partenza M di a = a₁M¹+...+a_mM^M alle basi di arrivò N: a = b₁N^-1 + b₀N^-5...^-s-1+1

Tutte moltiplicare per N (a₁M¹ + a₀M^M) = b₁ + b₂N^-1 + b_nN^s-1+1.

Annotate le parti intere b₁, che è sempre in base M. Ancora, si eliminano le parti intere e si moltiplica di nuovo ecc.

Es.: (0,123)₁₀ = (?)₄

0,123.4 = 0,492 ➝ b_o = 0

0,492.4 = 1,368 ➝ b₂ = 1

0,368.4 = 3,872 ➝ b_n = 3

0,872.4 = 3,488 ➝ b_x = 3

(0,123)₁₀ = (0,0133)₄

Rappresentazione interna dei numeri

• Memorizzazione di un numero intero
  • Precisione singola a 32 bit, viene usata una rappresentazione in virgola fissa in cui una posizione è per il segno e le rimanenti 31 sono per il numero:

    Max = 2³¹-1 = 2,147,483,648-1

    Min = ±0

  • Precisione doppia a 64 bit, la rappresentazione a virgola fissa permette di usare 1 alfab per il segno, e 63 per il numero:

    Max = 2 - 2^-63-1 = 9,22337.10¹⁸

• Memorizzazione di un numero reale

Una rappresentazione normalizzata di un numero è quando è scritto nelle forme m·β^E con m_sβ. Lo standard IEEE prevede una rappresentazione in virgola mobile normalizzata con accesso (biased) per i numeri reali.

Precisione singola a 32 bit, prevede 23 bit per la mantissa (+ parte frazionaria) ed 8 per l'esponente. L'accors Biased è di (127) ed e Є [-126