Appunti progettazione FEM

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BERGAMO

Dipartimento di Ingegneria e Scienze Applicate

Il calcolo strutturale

agli elementi finiti

·

Elementi finiti Elemento piano

· ·

Spostamenti Forze Piastre circolari

·

Piastre qualsiasi Differenze finite

·

Elementi shell Algoritmi di calcolo

Corso Progettazione Assistita dal Calcolatore

Docente prof. Sergio Baragetti

Appunti a cura di Cristiano Rollo

Anno accademico 2019/2020

Indice

Notazione 5

I Il metodo degli elementi finiti 8

1 La discretizzazione del continuo 9

1.1 Quando serve il calcolo agli elementi finiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 I codici di calcolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Dai gradi di libertà infiniti ai gradi di libertà finiti . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 Le regole della mesh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 La convergenza del modello e le funzioni di forma 12

2.1 Il criterio di arresto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2 Le funzioni di forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

h p

2.3 Gli elementi e gli elementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4 Il procedimento comune a tutti i solutori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 I tipi di elemento finito 15

3.1 Gli elementi monodimensionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2 Gli elementi bidimensionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

shell

3.3 Gli elementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4 La meshatura 17

II La formulazione dell’elemento piano 18

5 Lo stato piano di sforzo e lo stato piano di deformazione 19

plane stress

5.1 L’elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

plane strain

5.2 L’elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

6 Gli elementi a due nodi 21

spring

6.1 L’elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

6.2 L’assemblaggio di due elementi in serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

truss

6.3 L’elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

torsional

6.4 L’elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

bending

6.5 L’elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

beam

6.6 L’elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

7 Le funzioni di forma del triangolo a tre nodi 25

7.1 Lo spostamento del punto generico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

7.2 L’imposizione ai tre nodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

7.3 La matrice delle funzioni di forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1

Indice 2

8 Dalle deformazioni alla matrice di rigidezza 27

8.1 Lo stato di deformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

8.2 Lo stato di sforzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

8.3 Il legame carichi – sforzi: il principio dei lavori virtuali . . . . . . . . . . . . . . 28

8.4 Il significato del termine generico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

9 L’assemblaggio e la tabella delle incidenze 29

9.1 La tabella delle incidenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

9.2 Come si costruisce il termine globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

9.3 Il percorso a ritroso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

III Il metodo degli spostamenti 31

10 Il principio e le travature reticolari 32

10.1 I due metodi sono duali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

10.2 Gradi di libertà e gradi di vincolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

10.3 La soluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

11 Le strutture a nodi fissi 34

11.1 Il caso in cui si trascura la rigidezza assiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

11.2 Il caso in cui si trascura il taglio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

11.3 Il caso della trave con estremi incastrati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

12 I telai a nodi spostabili 37

12.1 Il telaio in cui non si trascura lo spostamento assiale . . . . . . . . . . . . . . . 37

12.2 Il portale a nodi spostabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

13 I coefficienti d’influenza 39

13.1 I momenti di incastro perfetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

13.2 I coefficienti d’influenza del metodo degli spostamenti . . . . . . . . . . . . . . 39

IV Il metodo delle forze 42

14 La sostituzione del vincolo e le cedevolezze 43

14.1 Il procedimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

14.2 Perché il calcolatore non lo usa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

V Le piastre circolari inflesse 45

15 Gli elementi alla Kirchhoff 46

15.1 Le ipotesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

15.2 La piastra circolare inflessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

15.3 Gli spostamenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

16 Deformazioni, sforzi e azioni interne 48

16.1 Le due deformazioni principali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

16.2 Gli sforzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

16.3 Le azioni interne per unità di lunghezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Indice 3

17 L’equazione della linea elastica 51

17.1 Il taglio radiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

17.2 L’equilibrio del concio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

17.3 La linea elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

18 I vincoli e i casi di carico 54

18.1 Piastra appoggiata con carico uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

18.2 Piastra incastrata con carico uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

18.3 Piastra appoggiata con momento applicato al bordo . . . . . . . . . . . . . . . . 55

18.4 Piastra appoggiata con carico concentrato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

18.5 I vincoli reali non sono né incastri né appoggi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

19 La piastra forata e la piastra tubiera 57

19.1 La piastra circolare forata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

19.2 La piastra tubiera dello scambiatore di calore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

20 La piastra nervata 60

20.1 La piastra rettangolare nervata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

20.2 La piastra circolare nervata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

VI Le piastre di forma qualsiasi 63

21 Spostamenti, deformazioni e sforzi 64

21.1 Le ipotesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

21.2 Gli spostamenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

21.3 Le deformazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

21.4 Gli sforzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

22 Le azioni interne per unità di lunghezza 67

22.1 I due momenti flettenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

22.2 Il momento torcente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

23 L’equazione biarmonica 69

23.1 Le tre equazioni di equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

23.2 La composizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

23.3 La soluzione in due passi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

24 La piastra rettangolare appoggiata 71

24.1 Le condizioni al contorno per la prima equazione . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

u

24.2 Il significato di . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

24.3 Le condizioni sul contorno appoggiato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

VII Il metodo delle differenze finite 73

25 Le derivate alle differenze finite 74

25.1 La derivata prima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

25.2 La derivata seconda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

25.3 Le molecole di calcolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Indice 4

26 La trave rastremata e la piastra circolare 76

26.1 La trave rastremata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

26.2 La piastra circolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

27 Le molecole di calcolo delle derivate parziali 80

27.1 Le derivate del primo e del secondo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

27.2 Le derivate del quarto ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

27.3 La molecola biarmonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

27.4 I nodi fittizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

VIII Gli elementi finiti shell 83

28 La formulazione alla Kirchhoff e quella alla Mindlin 84

28.1 I gradi di libertà nodali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

28.2 Le deformazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

29 La funzione di forma hermitiana 86

29.1 I vettori dell’elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

29.2 Il polinomio a dodici termini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Φ

[ ]

29.3 Dalla funzione di forma alla matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

30 La matrice di rigidezza dell’elemento shell 88

[ ] [ ]

H B

30.1 La matrice e la matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

30.2 Il legame costitutivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

30.3 Il principio dei lavori virtuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

IX Gli algoritmi di calcolo impliciti ed espliciti 90

31 L’algoritmo implicito 91

31.1 Quando il problema è dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

step by step

31.2 Il metodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

31.3 Come si arriva alla soluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

32 L’algoritmo esplicito e il confronto fra i due 93

32.1 Perché non ha problemi di convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

32.2 La matrice di massa e il risparmio di calcolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

32.3 L’incremento di tempo non lo sceglie l’utente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

32.4 Il confronto fra i due algoritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Notazione

Le grandezze che ricorrono in più di un capitolo sono raccolte qui con il simbolo e l’unità

adottati nel testo. I simboli usati in un capitolo solo sono definiti dove compaiono, in legenda

attaccata alla formula. Le sigle sono sciolte alla prima occorrenza di ogni capitolo.

Materiale e geometria

E. Modulo di elasticità normale, MPa. = [ ( + )]

G. G E/

Modulo di elasticità tangenziale, 2 1 , MPa.

ν

Coefficiente di Poisson, adimensionale.

ν. 3 2

−

= [ ( )]

D. D Eh

Rigidezza flessionale della piastra, / 12 1 , N mm.

ν

h. Spessore della piastra, mm. Nelle differenze finite è invece il passo della griglia: vedi le

collisioni. 4

J. Momento d’inerzia della sezione, mm .

4

J Momento d’inerzia polare, mm .

.

p 2

A. Area della sezione, mm .

∆. 2

Area dell’elemento triangolare, mm .

l, L. Lunghezza dell’asta o dell’elemento, mm.

r, R. Coordinata radiale e raggio della piastra, mm.

= r/R.

Coordinata radiale adimensionale,

ρ. ρ

Coordinata circonferenziale, rad.

ϑ.

Spostamenti e rotazioni

u, v. x y,

Componenti dello spostamento nel piano, lungo e lungo mm.

w. Freccia, cioè spostamento fuori dal piano medio, mm.

Rotazione: della sezione della piastra circolare (Parte V – VI) e del nodo nel metodo degli

φ. spostamenti (Parte III), rad. shell

Rotazioni nodali dell’elemento attorno ai due assi, rad.

, .

ϑ ϑ

x y

Spostamento generalizzato, mm.

δ.

{ }

f Vettore degli spostamenti nodali dell’elemento.

.

n

Deformazioni e sforzi

Deformazioni normali in coordinate cartesiane, adimensionali.

, , .

ε ε ε

x y z

Deformazioni radiale e circonferenziale, adimensionali.

, .

ε ε

r θ Scorrimento nel piano, adimensionale.

.

γ xy Sforzi normali, MPa.

, , .

σ σ σ

x y z

Sforzi radiale e circonferenziale, MPa.

, .

σ σ

r θ

Sforzo tangenziale nel piano, MPa.

.

τ

xy 5

NOTAZIONE 6

Azioni interne ed esterne

M M Momenti flettenti per unità di lunghezza della piastra, N mm/mm.

, .

x y

M Momento torcente per unità di lunghezza, N mm/mm.

.

xy

M M Momenti radiale e circonferenziale per unità di lunghezza, N mm/mm.

, .

r θ

t t Tagli radiale e circonferenziale per unità di lunghezza, N/mm.

, .

r θ

P. Carico: concentrato in N, distribuito in MPa. Vedi le collisioni.

q. Carico per unità di lunghezza sul bordo, N/mm.

N. Sforzo normale nell’asta, N.

K. Rigidezza, N/mm.

Matrici e vettori

[ ]

A Matrice delle coordinate del punto generico.

.

[ ]

C Matrice delle coordinate nodali.

.

Φ Φ − 1

[ ] [ ] = [ ][ ]

A C

Matrice delle funzioni di forma, .

.

[ ]

B Matrice che lega le deformazioni agli spostamenti nodali.

.

[ ] [ ] =

H shell), B

Matrice delle derivate seconde della funzione di forma (elemento con

. − 1

[ ][ ]

H C .

[ ]

D Matrice di legame sforzo – deformazione.

. T

[ ] [ ] = [ ] [ ][ ]

K K B D B S A.

Matrice di rigidezza,

.

[ ]

M Matrice di massa (algoritmo esplicito).

.

{ }

a Vettore dei coefficienti della funzione di forma.

.

{ }

F Vettore delle forze nodali.

.

Le collisioni di simbolo

Sono sette, e vengono tutte dalla fonte: gli appunti usano la stessa lettera per grandezze

diverse in Parti diverse. Si è tenuta la lettera dell’originale in tutti i casi, perché cambiarla

avrebbe reso il libro non confrontabile con gli appunti, e si è ripetuta la legenda a ogni

occorrenza.

h. della piastra nelle Parti V, VI e VIII; nella Parte VII. Le due

Spessore passo della griglia

grandezze non compaiono mai nella stessa formula, tranne che nel Capitolo 26: là lo

S,

spessore è indicato con come fa l’originale. ∼

D. s/D

della piastra quasi ovunque; nel solo rapporto 1/10

Rigidezza flessionale diametro =

[ ]

D

del Capitolo 15; quando è fra parentesi quadre.

matrice di legame

A. nelle Parti I–III; nelle Parti V e VI;

Area costante di integrazione coefficiente di vincolo

[ ]

A

nel Capitolo 19; quando è fra parentesi quadre.

del tubo matrice delle coordinate

P. in N e in MPa. L’originale usa la stessa lettera per

Carico concentrato carico distribuito =

t P/2πr

entrambi, e la distinzione si legge dal contesto e dall’espressione del taglio: r

=

t Pr/2

per il concentrato, per il distribuito.

r

t. nelle Parti V e VI; nella Parte IX;

Taglio per unità di lunghezza tempo coefficiente

t nella Tabella 13.2.

d’influenza ij 2

nelle Parti V e VI, N mm/mm ;

Coppia radiale per unità di superficie coefficiente

µ. nella Tabella 13.2, dove è la coppia generata da uno spostamento

d’influenza µ ij

trasversale unitario.

NOTAZIONE 7

nelle Parti II, VI e VIII; nella Tabella 13.2,

Sforzo tangenziale coefficiente d’influenza

τ. τ τ

xy ij

dove è il taglio generato da una rotazione unitaria.

Sigle Finite Element Method, metodo degli elementi finiti.

FEM. Finite Element Analysis, analisi agli elementi finiti.

FEA. Gradi di libertà.

GDL. Gradi di vincolo.

GDV. Elemento di contatto, a cui si assegnano rigidezza, smorzamento e coefficiente di attrito.

GAP.

Elemento finito.

EF. Parte I

Il metodo degli elementi finiti

8

Capitolo 1

La discretizzazione del continuo

1.1 Quando serve il calcolo agli elementi finiti

Il metodo degli elementi finiti sostituisce il calcolo analitico dove questo non arriva. Le

occasioni in cui il corso lo colloca sono sette, e si riconoscono dal tipo di problema più che dal

tipo di struttura.

• La soluzione in forma chiusa esiste,

Soluzione analitica di non agevole applicazione.

ma il suo impiego richiede un onere sproporzionato al risultato.

• La geometria o le condizioni al contorno non

Soluzione analitica non ricavabile.

rientrano in nessuno schema risolto.

• Plasticizzazione, grandi spostamenti, gradienti di sollecitazione elevati,

Non linearità.

fenomeni di interazione fra elementi diversi.

Contatto istantaneo, forza distribuita in modo non omogeneo, geometria

• Contatto.

dell’elemento troppo complessa perch&e