Appunti teorici del corso di Progettazione assistita di strutture meccaniche

Introduzione

Il punto di partenza è il componente o il problema reale ➔ analisi ingegneristica e verifica dell'esigenza di un'analisi FEM. L'ingegnere deve fare una schematizzazione o modello fisico.

In generale, la realtà deve essere semplificata. Si possono fare delle ipotesi: materiale con comportamento elastico, omogeneo, isotropo, piccoli spostamenti + semplificazione della geometria.

Si definiscono i criteri con cui si suddividono le travi e si applicano le condizioni al contorno.

Ora si forniscono le informazioni al software, che risolve il problema da un punto di vista matematico ➔ l'ingegnere analizza i risultati ottenuti criticamente e si calcolano le grandezze volute.

Introduzione

Il punto di partenza è il componente o il problema reale → analisi ingegneristica e verifica dell'esigenza di un'analisi FEM. L'ingegnere deve fare una schematizzazione o modello fisico.

In generale, la realtà deve essere semplificata. Si possono fare delle ipotesi: materiale con comportamento elastico, omogeneo, isotropo, piccoli spostamenti → semplificazione della geometria.

Si definiscono i criteri con cui si suddividono le travi e si applicano le condizioni al contorno. Ora si forniscono le informazioni al software, che risolve il problema da un punto di vista matematico → l'ingegnere analizza i risultati ottenuti criticamente e si calcolano le grandezze volute.

Analisi FEM

FEM è un acronimo inglese "finite element method" (= metodo agli elementi finiti)—questo consente di risolvere i problemi, che sarebbero troppo complicati da svolgere manualmente. Si ha un corpo non labile sollecitato con una serie di forze concentrate, carichi distribuiti, forze di volume (forza peso, ad esempio). Il corpo può essere considerato continuo → tensioni ξ e deformazioni ξ si ricavano integrando in condizioni semplici.

Il volume del corpo viene discretizzato con un numero finito di volumenti elementari; sono degli elementi (= parte elementare nella quale viene scomposto il volume) caratterizzati da un certo numero di nodi, questi trasferiscono informazioni tra un elemento e un altro (= sono dei collegamenti).

Elemento = parte elementare utilizzata per discretizzare il volume (o area, nel caso bidimensionale) del corpo deformabile.

Nodi = entità materiali che permettono di collegare tra loro gli elementi.

Ciascun elemento è costituito da almeno 2 nodi.

fi = spostamento in direzione assiale del I elemento

fI = spostamento in direzione assiale del II elemento

Affinché la struttura non si laceri—è bisogno che sia verificata la condizione di congruenza quindi i due elementi devono riportarsi della stessa quantità fi=fI.

Se due nodi sono tra loro coincidenti e la struttura è in equilibrio, anche le forze tra i due nodi devono essere in equilibrio: f1 + fI = 0

Consideriamo una trave di lunghezza L, di sezione rettangolare a cui è applicata una forza F, si conoscono le proprietà del materiale, come il modulo di Young.

E: modulo di Young

1) Scelta della famiglia di elementi finiti (1D, 2D o 3D)

Come prima cosa si sceglie la famiglia di elementi da utilizzare - normalmente si scelgono quelli monodimensionali, perché sono quelli più semplici e sono rappresentabili delle linee.

1D → 2 NODI

2) Posizionare i nodi

I nodi sono i punti della struttura in cui è possibile ottenere le soluzioni dei problema ed applicare carichi e vincoli. I nodi vanno posizionati anche dove ci sono variazioni geometriche della struttura.

Regole di posizionamento dei nodi

• Dove vengono applicati carichi e vincoli
• Estrazione delle soluzioni
• Variazioni geometriche della struttura

Quindi, ora si hanno 2 nodi ed un elemento che li congiunge.

Esercizio

I nodi vanno applicati in corrispondenza dell'incastro e del punto di applicazione della forza verticale F.

Deformata, in corrispondenza dell'estremità vi sono la freccia e la rotazione.

I gradi di libertà (GdL) sono tutti gli spostamenti (=traslazioni e rotazioni), nel caso 1D anche tutte le rotazioni, che sono consentite ad ogni nodo.

Per ogni nodo sono consentiti 2 spostamenti → 1 rotazione + 1 spostamento verticale.

Con la lettera f vengono indicate le frecce generalizzate, che comprendono sia traslazioni che rotazioni. Quindi un elemento 1D ha 2 nodi, ciascuno dei quali ha 2 gdl → queste caratteristiche identificano la tipologia di elemento.

Tipologia di elemento = 1D - 2 nodi - 2 gdl/nodo

Le frecce generalizzate vengono riassunte ordinate in un vettore → vettore delle frecce generalizzate.

(f₁ f₂ f₃ f₄)

Ad ogni freccia generalizzata associata ad una traslazione viene associata una forza; mentre ad una rotazione una coppia. Nel FEM con F vengono indicate le forze generalizzate che comprendono forze e coppie.

Vettore delle forze generalizzate: {_F4}