Appunti Meccanica dei materiali e progettazione meccanica

Instabilità elastica

L’instabilità elastica (buckling) è un meccanismo di cedimento governato dal livello di deformazione che si genera nella struttura. Rientra quindi nelle azioni di tipo 3.

Il buckling si manifesta nelle strutture snelle soggette a compressione. Una struttura si definisce snella o sottile quando ha una dimensione, tipicamente lo spessore, molto più piccola delle altre due.

Consideriamo ad esempio un guscio assialsimmetrico di lunghezza assiale L e sezione trasversale A. Il guscio è soggetto al carico di compressione assiale P uniformemente distribuito sui bordi trasversali (Figura 1a). Per piccole deformazioni, il guscio si deforma in modo assialsimmetrico accorciandosi di una quantità ΔL=PL/EA, con E modulo di elasticità longitudinale. Si sviluppa anche una espansione laterale Δw (deformazione out-of-plane) collegata a ΔL dal rapporto di Poisson secondo la relazione Δw=−νΔL, ove il segno meno indica che all’accorciamento del guscio corrisponde la sua espansione laterale.

P(a) (b)

Figura 1. Esempio di struttura snella caricata a compressione e pattern di buckling.

Nel regime di elasticità lineare (piccole deformazioni) il guscio si accorcia assialmente e si espande lateralmente mantenendo così una configurazione assialsimmetrica. Al procedere dell’accorciamento del guscio la deformazione out-of-plane cresce oltre il valore di espansione laterale corrispondente all’effetto Poisson. Si entra nel regime di grande deformazione ove la struttura si deforma in modo non assialsimmetrico a dispetto del carico e della geometria (Figura 1b) fino alla rottura.

Rappresentando graficamente l’accorciamento del guscio in funzione del carico P si ottiene il load path (curva di equilibrio carico-deformazione) della struttura mostrato in Figura 2. Analizzando il load path, si distinguono tre tratti fondamentali:

• Tratto O-B: pre-buckling: osserviamo che per i valori del carico compresi in tale tratto il guscio si accorcia in regime di piccole deformazioni, all’aumentare del carico aumenta l’accorciamento della struttura e l’espansione laterale;
• Tratto B-A: è la continuazione naturale del tratto O-B senza fenomeni di instabilità elastica, ovvero si ha un carico massimo sopportabile dalla struttura fino al punto A in cui la stessa cede a compressione.
• Tratto B-C: post-buckling: la struttura si è indebolita e aumenta l’accorciamento anche con carichi via via decrescenti poiché la rigidezza della struttura è diminuita.

A C

Figura 2. Load-path tipico di una struttura sottoposta a compressione.

Il punto B del load path è una condizione critica che prende il nome di punto di biforcazione. Nel punto B insorge il buckling e si ha un passaggio dall’energia di deformazione associata a spostamenti nel piano (accorciamento del guscio in regime di piccole deformazioni ed espansione laterale compatibile con l’effetto Poisson) all’energia di deformazione di tipo flessionale associata agli spostamenti fuori dal piano in regime di grandi deformazioni.

Una struttura è predisposta ad assumere un comportamento instabile quanto più l’accorciamento ΔL dopo la biforcazione (tratto successivo al punto B e individuato dal tratto B-C del load path) rappresenta una condizione di equilibrio energetico favorevole, ovvero l’energia richiesta da questa configurazione è minore rispetto a quella delle corrispondenti configurazioni sul tratto B-A del load path.

Si può descrivere il fenomeno del buckling analizzando, in base al carico applicato P al guscio, gli spostamenti fuori dal piano w della struttura. Rappresentando questi spostamenti si ottiene un diagramma simile a quello precedente. Nel tratto iniziale di prebuckling O-B, gli spostamenti fuori dal piano sono causati dalla dilatazione trasversale legata al rapporto di Poisson, così della struttura variano le dimensioni ma la forma rimane inalterata. Quando la struttura entra nel regime instabile (tratto B-C), gli spostamenti w aumentano anche se la capacità di carico diminuisce e non si possono attribuire solamente all’effetto di Poisson. Inoltre, si osserva che la struttura incomincia a subire variazioni di forma con delle corrugazioni (buckling waves) più o meno accentuate.

Lo spostamento risultante fuori dal piano w è la combinazione di un contributo assialsimmetrico, causato dall’effetto Poisson, e di un contributo non assialsimmetrico causato dall’instabilità. Questo contributo provoca variazioni di forma facilitando la trasformazione dell’energia associata a spostamenti nel piano in energia di deformazione flessionale, rendendo la struttura sempre più debole.

Si può dire che il punto di biforcazione rappresenta una condizione di equilibrio indifferente in cui la struttura può assumere più di una configurazione instabile e “sceglie” quella di minore energia. Si consideri ad esempio il classico esempio della trave di Eulero. L’asta in Figura 3, appoggiata in A e incernierata in B, è caricata assialmente in compressione.

In regime di piccole deformazioni, la trave si accorcia secondo la classica relazione Δ =. All’insorgere del buckling si sviluppa una deformata flessionale con spostamento w. Il carico P diventa eccentrico sviluppando il momento flettente Pw. Dall’equazione di congruenza per una trave inflessa:

″ = − = ″ 2 + =

Che viene riscritta come: 0. Ponendo , si ha:

= ″ 2 + 0 () = ( + )

Tale equazione ammette la classica soluzione:

Figura 3. Trave di Eulero e corrispondenti modi di buckling per n=1 e n=2.

Dalle condizioni al contorno w =0, si ha:

w Eulero e corrispondenti A B    0 = () () = 0

z =0 w (z=0)=0

modi di buckling per n=1 A A poiché A=0 corrisponderebbe proprio alla linea d’asse della trave indeformata.

e n=2.     0 = ( + ) 0 = () 0 = ()

Z =L w (z=L)=0 B B    2 2 2 2 = = Si ottiene dalla seconda relazione:

2 2 2    (=1)2 2 2 2 2 2 2 = / = / = = 2 2

Tra gli infiniti modi di buckling della trave di Eulero scelgo quello caratterizzato dalla presenza di una sola semionda che corrisponde al minimo carico critico.

Il comportamento a biforcazione in cui si ha la repentina trasformazione da energia di deformazione legata agli spostamenti in plane ad energia di deformazione flessionale vale solo per una struttura ideale, ovvero con superfici senza imperfezioni geometriche. Nelle strutture reali non si ha una geometria perfetta, e le imperfezioni geometriche w_imp della struttura generano localmente delle eccentricità rispetto al carico applicato, favorendo così l’insorgere di sollecitazioni flessionali con relative deformazioni sin dall’inizio della storia di carico (Figura 4).

Figura 4. Imperfezioni geometriche che perturbano la geometria nominale. w_inp Il carico assiale diviene eccentrico causando sollecitazioni flessionali.

Le imperfezioni geometriche sono molto più grandi della rugosità superficiale. Si può dire che una struttura reale possiede, precedentemente all’applicazione del carico, per la presenza di imperfezioni geometriche, una configurazione “pre-deformata” non assialsimmetrica fuori dal piano. Confrontando i load-path di una struttura reale e di una ideale si giunge al diagramma in Figura 5 con il carico P sull’asse delle ordinate e gli spostamenti fuori dal piano w sull’asse delle ascisse.

Il carico corrispondente al punto di biforcazione B viene detto carico critico di biforcazione P_critico. Detto P_nominale il carico nominale agente sulla struttura, si definisce fattore di carico critico λ_c il rapporto tra P_critico e P_nominale. Tale fattore quantifica la criticità delle condizioni di esercizio della struttura rispetto all’instabilità. In dettaglio, se λ_c ≥1, la struttura in condizioni operative non sarà soggetta al buckling. Invece, se λ_c <1, le condizioni di esercizio porteranno in regime di instabilità la struttura.

A volte le strutture vengono progettate ammettendo un certo grado di instabilità (λ_c <1); questo accade quando la forma non risulta essere per la struttura una caratteristica essenziale ai fini del buon funzionamento. Per esempio, una struttura creata per garantire prestazioni aerodinamiche, es. fusoliera, ali, non può andare in instabilità in condizioni di esercizio perché la forma varierebbe compromettendo l’efficienza aerodinamica.

Figura 5. Confronto tra i load-path di una struttura reale ed una ideale.

Il load path della struttura imperfetta si ottiene dall’analisi non lineare partendo dalla geometria “perturbata” a causa della presenza delle imperfezioni geometriche. Si ottiene una successione di stati di equilibrio dove il carico applicato alla struttura produce lo spostamento out-of-plane osservato. Il punto di biforcazione B viene sostituito dal punto di snap-through S che rappresenta la massima capacità di carico della struttura.

Nel tratto OS gli spostamenti fuori dal piano sono una combinazione di spostamenti causati dall’effetto Poisson e di grandi deformazioni che restano comunque comparabili. In corrispondenza del punto di snap-through S, la rigidezza della struttura diminuisce repentinamente e si assiste ad un improvviso aumento delle grandi deformazioni fuori dal piano e della componente non assialsimetrica. Il load-path della struttura reale tende asintoticamente a quello della struttura perfetta. Il fattore di carico critico per la struttura reale, detto anche fattore di snap-through, è definito come rapporto tra il carico di snap-through della struttura P_s e il carico nominale P_nom.

La Figura 6 descrive l’influenza delle imperfezioni geometriche sulla tendenza che la struttura possa seguire un comportamento ideale a buckling. Il grafico presenta in ascissa l’ampiezza media delle imperfezioni w₀ (assunto come parametro di controllo perché esse possiedono una distribuzione irregolare). In ordinata si riporta il rapporto λ_s/λ_c che fornisce informazioni sulla differenza tra comportamento reale e comportamento ideale della struttura.

Si osserva che per una struttura reale priva di imperfezioni, w₀=0, risulta λ_s=λ_c. Al crescere dell’ampiezza delle imperfezioni la struttura diventa più sensibile al buckling dato che è più facile che i carichi agenti sulla struttura generino uno stato di sollecitazione flessionale aumentando così la componente di deformazione fuori dal piano e tendendo più rapidamente allo snap-through.

Figura 6. Riduzione della capacità di carico della struttura reale al variare della dimensione media delle imperfezioni.

Instabilità elastica dei pannelli rinforzati

I pannelli rinforzati sono molto utilizzati nelle costruzioni aerospaziali per la realizzazione di parti di ali e code, fusoliere, pannelli interni, serbatoi e “nasi” di aeroplani e razzi. I pannelli sono solitamente irrigiditi da elementi chiamati rinforzi (stiffeners) che, in base alla loro disposizione, vengono detti stringers o rings. Gli stringer sono disposti longitudinalmente mentre i ring sono disposti trasversalmente. La porzione di pannello compresa tra due rinforzi viene chiamata skin (mantello). L’efficienza strutturale del pannello aumenta all’aumentare delle dimensioni e del numero di rinforzi. Tuttavia, è necessario trovare un giusto equilibrio tra costo e funzionalità per ottenere un adeguato peso strutturale.

La Figura 7 mostra i componenti di un pannello cilindrico rinforzato da stringer e ring interni. È possibile costruire anche pannelli con soli rinforzi longitudinali (stiffened skin) o con soli rinforzi circonferenziali come rappresentato in Figura 8. La costruzione monocoque ha una serie di segmenti cilindrici chiamati “barili” uniti da frame con la funzione di rinforzi circonferenziali. Nella costruzione semi-monocoque ci sono longheroni che rinforzano il mantello aiutando l’assorbimento di eventuali carichi di compressione. La costruzione stiffened skin possiede un mantello rinforzato unicamente da correnti in direzione assiale. La costruzione più complessa presenta stringer e ring variamente disposti in funzione del tipo di carico applicato al pannello.

Figura 7. Schematizzazione degli elementi costitutivi di un pannello rinforzato.

Figura 8. Differenti costruzioni di pannelli rinforzati.

Un’altra caratteristica dei rinforzi è la sezione trasversale che può essere a T, a doppio T, a blade, a J, a omega, etc. La Figura 9 presenta alcuni esempi di sezione trasversale per rinforzi di tipo stringer. I rinforzi sono costituiti da flange interne a contatto con lo skin, flange esterne e web che collegano le flange. Il web parte sempre dalla flangia interna (vedi dettaglio della Figura 9).

Altre costruzioni sono quelle di tipo sandwich in cui ci sono due lamine sottili (facesheets) che circondano uno strato spesso detto core. Nella classica costruzione sandwich il core può essere a nido d’ape o a schiuma mentre nella costruzione truss-core il core è costituito da una corrugazione.

direction t =0.002 inch c- sW L - direction skin flangia interna web flangia esterna con core a nido d’ape o truss-core.

Figura 9. Geometrie di stringer e costruzioni sandwich. Dimensioni caratteristiche di uno stringer interno a doppia T.

Un pannello rinforzato può presentare diversi modi di instabilità:

• Instabilità locale (local skin buckling): si presenta quando il buckling interessa solo il mantello del pannello e non i rinforzi. Tale modo di buckling è in teoria il più probabile poiché il mantello è meno rigido dei rinforzi. In alcune applicazioni si possono accettare fenomeni di instabilità locale, progettando il pannello con λ_SKIN <1 e consentendo così di ridurre il peso dell’intero pannello. La Figura 10 mostra un classico pattern di buckling locale.

Figura 10. Pattern di buckling locale.

• Instabilità globale (global buckling): si presenta quando sia lo skin sia i rinforzi vanno in instabilità. L’instabilità globale può essere preceduta dall’instabilità locale in cui è lo skin ad instabilizzare. La struttura perde di rigidezza e i rinforzi non riescono a sopportare la frazione aggiuntiva di carico che era assorbita dallo skin prima di instabilizzare. Per una struttura ben progettata si deve ovviamente verificare la condizione λ_GLOB >λ_SKIN. La Figura 11 mostra un tipico pattern di instabilità globale. Il numero di semi-onde di buckling è minore (long wavelength buckling) di quello osservato nel caso di buckling locale (short wavelength buckling).

Figura 11. Pattern di buckling globale.

• Instabilità dei rinforzi (stiffener buckling): si presenta ogni volta che il fenomeno di instabilità interessa solo i rinforzi del pannello, come mostrato in Figura 12. Poiché gli stiffener dovrebbero sempre essere le ultime parti del pannello a instabilizzare, il fattore di buckling per i rinforzi può essere posto uguale al prodotto tra i fattori di buckling globale e locale. Ad esempio, considerando un fattore di buckling globale λ_GLOB=1.4 e un fattore di buckling locale λ_LOC=1.1, il fattore di buckling per i rinforzi λ_STIFF sarebbe =1.4×1.1=1.54. I rinforzi assorbono una frazione del carico agente sul pannello mentre lo skin assorbe l’altra frazione. Ponendo λ_STIFF >λ_GLOB λ_LOC si fa in modo che i rinforzi non possano instabilizzare neanche ad un carico maggiore del carico ultimo complessivo (λ_GLOB P_nominale) che manda in buckling l’intera struttura.

Figura 12. Instabilità dei rinforzi.

I vari modi di buckling possono interagire tra di loro diminuendo ulteriormente la resistenza del pannello. Ad esempio, se il limite di buckling globale è 1.4 (i.e. la struttura instabilizza quando il carico supera il 140% del carico nominale) e il limite di buckling locale è 1.1 (i.e. lo skin instabilizza quando