Numeri complessi
α ∈ ℂ
α = a + bi
Parte reale: a = Re (α)
Parte immaginaria: b = Im (α)
Operazioni
α = a + bi β = c + di
Addizione: α + β = Re (α + β) + Im (α + β) = (a + c) + (b + d)i
Moltiplicazione: α · β = (a + bi) (c + di) = ac + adi + bci + bdi² = (ac - bd) + i(ad + bc)
Reciproco: mai un'unità immaginaria al denominatore
α⁻¹ = 1/α + bi = α - bi/(α + bi)(α - bi) = α - bi/α² + b² == α - bi/α² + b² = α/α² + b² - bi/α² + b²
Divisione: α/β = α · (β⁻¹)
Complesso coniugato
Per la differenza fra Re (α) e Im (α):
α̅ = a - bi
α · α̅ = a² + b²
Se α̅ = α allora b = 0: numero reale
Numeri complessi
ℓ insieme dei numeri complessi α=a+bi; unità immaginaria
i2=-1
Parte reale: a = Re (α)
Parte immaginaria b=Im(α)
Operazioni
α=a+bi β=c+di
Addizione: α+β = Re(α+β)+ Im(α+β) = (a+c) + (b+d)i
Moltiplicazione α·β= (a+bi)(c+di)= ac+ adi+bci+ bi2bd (ac-bd)+i(ad+bc)
Reciproco: mai un'unità immaginaria al denominatore
α-1 = 1/α+bi =α-bi/(α+bi)(α-bi )=α-bi/α2 + b 2 =-α-bi/α2 + b 2 · α/α2 + b 2 + b/α2 + b 2
Divisione α /β = α·β-1
Complesso coniugato
Complesso coniugato: per la differenza tra Re(α) e Im(α):
α = a-bi α·β= -b
Se α=α allora b=0: numero reale
Modulo e argomento
Modulo di α = a + ib. α = √a2 + b2 È un numero reale. Rappresenta (a livello grafico) la lunghezza del vettore OP
Piano (bi-complexo)
δ, argomento, è l'angolo fra l'asse reale il vettore Arg(α) C'è in radianti. Se α = 0 allora δ è indeterminato
Forma trigonometrica
Forma trigonometrico du α:
α = |α| (cos δ + i sin δ) = |α| (a/|α| + i b/|α|)
α = |α| (cos δ + i sin δ)
α = a + ib
α = β solo se
Moltiplicazione nella formula trigonometrica
Moltiplicazione nella formula trigonometrico
αβ = [cos(δ + ωμmθ) - iS(cosδ ΙωmΩ)]
cosδ cosωμmθΙ(cosω + μmΩ)
[cosωcosδ - μmθμmΩ + iμmθcosω + cosωmΩ]
rS[cos(δ + Ω) + i(πμm(δ + Ω)]
Reciproco e divisione
Reciproco di un ET
α¹ = 1/(cosδ + jamθ) = cosδ+μmsθ
1/[cosδ + μmθ](cosδ+ jamθ)
cosδ + μmπα = 1↓
1/rů([cosδ + μmsθ])- μmδ + μm(−x)
Divisione
α/β = r/S(cosδ + μmθ)(cosω + μmΩ)
1/(cosΩ + μm&pin;Ω)
cos(ω) + μmΩ(-Ω)
r/s[cosδ - Ω + μm(δ- Ω)]
α/β a Evsei β diverso α/β altrimenti α/β = −1
Forma esponenziale
Esponenziale (e formula de)
i∞ = r∞[cos(πδ + μm(cosθ)]
Forma esponenziale di un numero complesso nella forma trigonometica:
α = cosδ + i sinδ = eiδ
Formule di Eulero
Formule di Eulero:
cosδ = eiδ + e-iδ⁄2
sinδ = eiδ - e-iδ⁄2i
Matrici
A = (a11 a12 ... a1m)(a21 a22 ... a2m)(an1 an2 ... anm)
Muse che ne determine
In generale per indicare una riga i m e una colonna j m si usa aij, dove i e j sono gli eventi della matrice - i-esimo rigo
A = (ai1 ai2 aim)
- j-esimo elem
(a2j)(anj)
Due matrici sono uguali solo se:
aijk = bij
Matrice quadrata
n=m
Gli elementi amm costituiscono la DIAGON
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