Appunti Morfologia e concezione delle strutture - Argomento: Elementi di statica

Elementi di statica

Le forze

Esempi di azioni applicate alle costruzioni

Azione = intesa come distribuzione di forze (l’azione della neve o l’azione del vento). Queste forze non possono essere solo azioni, dette quindi forze agenti (o sollecitanti), ma devono essere anche reazioni, dette forze reagenti.

Il concetto di forza

Forza = intesa come ogni causa che tende a modificare lo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme di un corpo dotato di massa (Newton – XVII secolo).

Grandezza vettoriale della forza:

• Intensità o modulo |F|
• Direzione Retta d’azione R
• Punto di applicazione
• Verso

Unità di misura nel Sistema Internazionale (S.I.)

Carico concentrato - carico distribuito

• Un carico concentrato, chiamato anche carico puntiforme, è una forza che agisce su una porzione molto ridotta di superficie, assunta puntiforme. Dall’esempio, ogni persona, avendo un peso, esercita un carico concentrato sulla trave. FORZA CONCENTRATA = unità di misura N
• Un carico distribuito è una forza applicata su una superficie avente dimensioni finite, come una linea o un'area, e distribuita sulla stessa secondo una certa legge che definisce la variazione di quel carico lungo la linea o l’area. FORZA DISTRIBUITA SU UNA LINEA = unità di misura N/m, FORZA DISTRIBUITA SU UNA SUPERFICIE = unità di misura N/m²

Convenzioni (1): forze ed angoli

Terna d’assi cartesiana = l'insieme di 3 rette uscenti da uno stesso punto e non giacenti su uno stesso piano, che serve a introdurre le coordinate cartesiane per i punti dello spazio. Possiamo anche definirla terna d’assi cartesiana destrorsa positiva. Si definisce positiva quando ci spostiamo nel verso delle frecce, e negativa quando ci spostiamo nel verso opposto.

Composizione di due forze sulla stessa retta d’azione

• Risultante = forza equivalente al sistema di forze iniziale, ovvero che ha lo stesso effetto.
  • Medesima retta d’azione
  • Modulo pari alla somma algebrica dei moduli Sommatoria
• Equilibrante = se al sistema di forze precedente si aggiunge una forza E tale ma di verso contrario, il sistema risulta in equilibrio. |E|=|R|

Sistemi di forze complanari: composizione di 2 forze concorrenti in un punto

Problema formalizzato da Robernal e Varignon (XVII secolo) - Regola di parallelogramma

Prendo le mie forze F1 e F2 e le traslo in corrispondenza dello stesso vertice. Traccio un’altra retta passante per il vertice iniziale e il vertice opposto. La risultante sarà data dalla regola del parallelogramma (figura ottenuta tracciando le rette).

Risultante ed equilibrante di 2 forze concorrenti in un punto

La terza retta tracciata nei seguenti esempi (risultante o equilibrante) va a formare un triangolo, detto triangolo delle forze. Esso può essere aperto o chiuso:

• Triangolo delle forze aperto = la forza è risultante
• Triangolo delle forze chiuso = la forza è equilibrante

La risultante e l’equilibrante passano per il cosiddetto punto di concorrenza. Si dice che le forze circuitano quando “si mangiano la coda” e non circuitano quando NON “si mangiano la coda”.

Equilibranti di una forza secondo due direzioni: un’applicazione alla capriata

Applico sul puntone la forza P di compressione e applico la forza T di trazione sulla catena. Dobbiamo, a questo punto, inserire un’equilibrante perché la nostra struttura non crolli: l’equilibrante sarà applicata dove si intersecano/incontrano le rette (ossia puntone e catena).

Sistemi di forze complanari: composizione di n forze NON concorrenti in un punto

Per semplificare il nostro sistema di forze possiamo traslarle a due a due.

Sistemi di forze complanari: composizione di n forze concorrenti in un punto

Per semplificare il nostro sistema di forze possiamo traslarle a due a due. Si ha in questo caso il poligono delle forze: esso ha il fine di trovare la risultante.

Osservazioni sulla costruzione del poligono delle forze

L’ordine con cui si costruisce il poligono è ininfluente sul risultato finale.

Scomposizione di una forza secondo due direzioni

Operazione inversa rispetto alla composizione di forze attraverso la regola del parallelogramma: viene quindi applicata inversamente la regola del parallelogramma. L’applicazione di questo metodo esisteva già nel XV secolo, e possiamo notarlo dall’esempio riportato, ossia dalla sua applicazione al problema di Leonardo da Vinci.

Scomposizione di una forza secondo due direzioni

Il verso è positivo se è concorde all’asse, mentre è negativo se è discorde all’asse. Quando ci troviamo in un sistema di riferimento cartesiano ortogonale, possiamo fare ricorso alla trigonometria. Con quest’ultima sappiamo che il cateto è uguale all’ipotenusa moltiplicata per il seno dell’angolo (sin α).

Scomposizione di una forza secondo due direzioni: un’applicazione

Immaginiamo di avere un peso (in questo caso l’omino) su una delle nostre travi secondarie. C’è il rischio che la trave secondaria scivoli via e l’omino cada? Oppure l’omino potrà tranquillamente rimanere lì, facendo peso sulle terzere?

Nel caso la trave scivolasse, essa scivolerà giù, verso la direzione del puntone. Allora mi chiedo: esiste una forza, parallela all’asse del puntone, che fa scorrere la trave secondaria? L’angolo corrisponde alla direzione del puntone rispetto all’asse orizzontale.

Supponiamo che la forza che tira giù l’omino verso il basso sia una forza puntiforme. Per valutare se vi è una forza allineata, traccio il mio sistema di riferimento (figura a fianco). Quindi traslo P, ottenendo P’, e da quest’ultimo ottengo P₁ e P₂: esse sono le componenti della forza P. In questo modo otterremo un triangolo rettangolo. Esempio =

Importante da ricordare: Forze e momenti

Il momento di una forza

Momento = il momento di una forza è la causa che tende a modificare lo stato di quiete o di moto circolare uniforme attorno ad un punto, detto polo. Il vettore momento è uguale al vettore braccio per il vettore forza:

Così come visto per la forza, anche il momento avrà:

• Retta d’azione = il vettore M agisce sull’asse
• Braccio = distanza tra la retta d’azione della forza e quella del momento
• Polo Q = intersezione tra l’asse del vettore momento e il piano a cui appartengono la forza F e il braccio b. Può essere rappresentato con una doppia freccia o con un vettore curvilineo (che sta ad indicare il moto di rotazione)
• Intensità o modulo |M| = |b| · |F|
• Unità di misura
• Verso = stabilito dalla “regola della mano destra”

Convezioni (2): momenti

A differenza della convenzione vista per le forze, questa ci consente di stabilire anche il braccio, mentre quella precedente non ce lo permetteva.

Quello in figura è un sistema di riferimento cartesiano destrorso positivo.

Procedimento:

• Orientare le 4 dita della mano destra in modo che le unghie siano rivolte nel verso di rotazione, che indicherà la direzione del momento;
• Controllare il verso assunto dal pollice (in questo caso punta verso l’alto);
• Se l’unghia del pollice è rivolta nel verso positivo dell’asse avrò un momento con verso positivo (come in questo caso), mentre se l’unghia è rivolta nel verso negativo dell’asse avrò un momento con verso negativo.

Questa convenzione è importante perché è una convenzione universale.

Il momento nel piano xy

Caratteristiche del momento M nel piano xy:

• Direzione = lungo l’asse z, perpendicolare al piano
• Retta d’azione = indicata dal polo, ossia il punto attorno a cui ruota il mio oggetto (traccia della mia retta d’azione sul piano)
• Intensità |M| = |F| · b
• Verso = rispetto ad una terna di assi di riferimento destrorsa:
  • Rotazione oraria con pollice entrante, quindi discorde rispetto a z, e verso negativo (momento negativo)
  • Rotazione antioraria con pollice uscente, quindi concorde rispetto a z, e verso negativo (momento positivo)

Il teorema di Varignon

Enunciato = “Il momento risultante (ossia il momento della forza risultante del mio sistema) rispetto al polo Q di un sistema piano di forze equivale al momento della risultante del sistema calcolato rispetto allo stesso polo Q”. Con F₁ determino il braccio B₁, con F₂ il braccio B₂, e così via (il braccio B₁, B₂, B₃, e B₄ convogliano al polo Q).

Per ottenere la mia forza risultante applicherò la “regola del parallelogramma”.

Le mie forze e il relativo braccio:

• F₁ e B₁ (senso antiorario verso positivo)
• F₂ e B₂ (senso antiorario verso positivo)
• F₃ e B₃ (senso orario verso negativo)
• F₄ e B₄ (senso antiorario verso positivo)

Il teorema di Varignon ci dice che la parte destra e la parte sinistra della disuguaglianza sono uguali.

Sistemi di forze complanari: composizione di n forze parallele

Il modulo della risultante delle forze sarà dato dalla somma dei moduli delle singole forze, mentre la direzione della risultante sarà la stessa delle altre (F₁, F₂, F₃, F₄).

Il polo lo definisco sempre io: ciò significa che la scelta del polo è arbitraria, in generale mi conviene quindi applicarlo in un punto per me comodo (qualsiasi nel piano). Il braccio determina lungo quali delle mie rette la forza risultante agirà, quindi anche la sua distanza dal polo Q. il braccio è ciò che devo determinare, e dopo questo potremmo quindi determinare la posizione della mia risultante.

Della risultante conosciamo direzione, intensità, e verso: perciò conosciamo tutto, ma non sappiamo dove la mia risultante passerà nel piano. Per trovare tutte le caratteristiche della mia risultante, applico il teorema di Varignon. La composizione di forze complanari con rette parallele nel campo dell’architettura è, tra tutti, il caso più ricorrente.

Forza - Peso

La forza peso è costituita da:

• Retta d’azione = passante per il baricentro del corpo e quello della terra (verticale)
• Verso = orientato verso il baricentro della terra (verso il basso)
• Intensità = P = m · g, caso particolare dell’espressione F = m · a, dove m è la massa, e g è l’accelerazione di gravità (g = 9,81 m/s²)

Un’altra unità di misura della forza è il Kgf (chilogrammo-forza): 1 Kgf = 10 N.

Il baricentro di masse puntiformi

Il teorema di Varignon possiamo utilizzarlo anche per valutare il baricentro di masse puntiformi. Per far sì che non si squilibri il peso, dovrò prenderlo dal punto in mezzo. Qui noi (nell’esempio del bilanciere in fondo) vogliamo valutare da dove passa la risultante del nostro sistema di forze, e applico quindi il teorema di Varignon.

Il teorema di Varignon valuta però un momento, perciò mi servirà un polo Q. una volta stabilito quest’ultimo, sappiamo che esso ha una certa distanza “d” dal bilanciere nell’esempio.

Il fine del mio problema sarà, quindi, determinare il baricentro del mio sistema (ossia la x): la “x” nel mio sistema è un’incognita. Devo quindi definire la distanza tra il mio polo Q e la retta. A questo punto avrò tutti gli ingredienti per applicare il teorema di Varignon: infine farò la somma dei momenti delle singole forze.

Il baricentro di un sistema piano di masse puntiformi

Calcolare il baricentro della scala in muratura:

• Suddividere la scala in n volumi elementari = la suddivido in tanti quadratini, ogni quadratino sarà soggetto ad una determinata forza-peso, quindi per ognuno di essi potrò calcolare la forza-peso;
• Calcolare la risultante dei pesi delle masse puntiformi risultanti, considerando 2 diverse direzioni (non necessariamente ortogonali);
• Andrò poi ad intersecare le mie due risultanti: il baricentro è l’intersezione delle due risultanti.

Importante da ricordare: Ci possono essere casi in cui il baricentro non appartiene necessariamente alla superficie (come in questo caso).

Esempi di baricentri di figure piane

I primi due sono gli esempi da sapere, il terzo è un di più.

Determinazione del baricentro di un sistema piano di masse: un esempio

Vogliamo determinare il baricentro della facciata della chiesa nella figura a fianco. Ipotizziamo che questa facciata sia stata realizzata in calcestruzzo armato con setti di uguale spessore: ciò significa che tutta la massa sarà distribuita uniformemente. Come procedo:

• Divido la facciata in 2 rettangoli e 1 triangolo, e determino le forze peso delle relative parti. Le otterrò facendo base (b) altezza (h) volume (v).
• Per poter applicare il teorema di Varignon, dovrò definire un polo e trovare i bracci di ogni forza (evidenziati in figura).
• Successivamente calcolo la risultante, quindi definisco la retta lungo cui passano la risultante e il braccio, ossia la retta lungo cui si trova il baricentro. Trovo così il momento.

Risultante di un carico distribuito

La risultante di un carico distribuito ha intensità pari all’area/volume del diagramma di carico e retta d’azione passante per il suo baricentro. Esempi di diagrammi di carico:

• Nel primo esempio abbiamo un diagramma di carico, il quale tratta un carico uniformemente distribuito lungo una linea. La risultante sarà applicata al centro del nostro diagramma. Il nostro carico Q sarà ottenuto dalla formula Q = q · L.
• Nel secondo esempio abbiamo un diagramma di carico, il quale tratta un carico linearmente distribuito lungo una linea. La risultante sarà applicata lungo il baricentro. Il nostro carico Q sarà ottenuto dalla formula Q = q · L/2.
• Nel terzo esempio abbiamo un diagramma di carico, il quale tratta un carico uniformemente distribuito su una superficie. La risultante sarà applicata nuovamente nel baricentro del mio rettangolo. Il nostro carico Q sarà ottenuto dalla formula Q = q · L · B.

Coppia

Coppia = sistema di forze costituito da due forze di intensità e direzione uguali, ma con rette d’azione distinte e versi opposti. In questo caso se cambio il polo non cambia il momento.

Proprietà:

• La somma delle due forze è nulla;
• La somma dei momenti delle due forze non è nulla.