Appunti Metodi numerici per l'ingegneria navale

t t t t t

Approssimazione lineare a tratti: valori approssimati tramite rette che congiungono tali valori.

Interpolazione polinomiale: dati valori, esiste un unico polinomio di grado passante per tali

nt n n n n n n

Interpolazione tramite spline: invece di aumentare il grado del polinomio, considero polinomi di

grado basso in ogni sottointervallo.

Minimi quadrati

Cerco una funzione che minimizzi gli scarti quadratici, cioè la distanza di ogni punto dal valore della

funzione approssimante.

Dati valori , , tali che la relazione che lega e sia lineare, voglio i

1che

coefficienti della retta approssima al meglio i valori.

Imponendo che la retta passi per quei valori ottengo il sistema lineare

Ottengo un sistema lineare con 2 incognite e equazioni. Non ha soluzione, a meno che

i punti siano allineati.

Se non esiste tale che , cerco tale che : voglio differenze tra retta e

valori più piccole possibile.

Cerco quindi tale che

sia minimo. Risolvo le equazioni normali associate:

n n n n n n n n n n n n n tali che la parabola

approssimi i valori dati ai minimi quadrati. Procedo allo stesso modo.

Osservazione: a volte posso linearizzare funzioni non lineari nei parametri:

n , applicando il logaritmo in base ;

n , applicando il logaritmo in qualsiasi base;

n , invertendo il rapporto. 1

l

Tramite il coefficiente n n n n n n

Media aritmetica dei valori :

Somma degli scarti quadratici residui rispetto al modello:

Distanza dal valore medio

Coefficiente:

Se n n n n n n n n n n n n

dei minimi quadrati (facendo i minimi quadrati dovrei avere errore minore). Se

n n n

Minimi quadrati non lineari

Se non è lineare nei parametri e non è linearizzabile, per calcolare i minimi quadrati uso metodi

numerici. 2

Metodi numerici per risolvere equazioni non lineari

Bisezione Scelgo un intervallo in cui cercare lo zero della

funzione e verifico che

I valori della funzione agli estremi hanno segni opposti.

Poiché è continua, esiste almeno uno zero in per il

teorema degli zeri. 11e

Calcolo il punto medio calcolo .

Se , scelgo il nuovo intervallo .

Altrimenti scelgo .

n n n n n n n n nù n n n n

n n n ello zero della funzione.

n n n n n n n n n n n n n n n

bisezione (ordine 1) converge sempre, ma lentamente.

Newton Raphson Scelgo un valore iniziale prossimo allo zero della

funzione.

Traccio la tangente nel punto sulla curva f(x)

e trovo n n n n n . Continuo

finché le approssimazioni non sono abbastanza

vicine allo zero della funzione, ossia alla soluzione.

è la nuova stima, la vecchia stima; è la pendenza della tangente.

Criteri di arresto:

Il metodo converge se u4j

Il metodo non converge sempre, ma quando converge è veloce, con ordine di convergenza 2.

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Sistemi di equazioni non lineari

Prima avevo , ora ho

dove è il vettore delle funzioni che devono essere tutte uguali a zero e è il vettore delle incognite.

Applico Newton:

J è la matrice jacobiana, che raccoglie le derivate delle funzioni

rispetto alle incognite: )

ù n n correzione: …)

Esplicito F(X ) e risolvo il sistema lineare:

n )

n n n

I criteri di arresto sono i medesimi solo effettuati con la norma perché ora ho i vettori.

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Metodi numerici per equazioni differenziali ordinarie ODE

n n n n n n n n n n n n n

n n n

assegna la pendenza della soluzione e da un valore iniziale. Voglio determinare in ,

che passa per e soddisfa la pendenza a ogni . Se risolvo in , la notazione cambia in modo

analogo. n n n n n n n n n n n n n

sistema di equazioni del primo ordine tramite sostituzione di variabili.

Discretizzazione n n n n n n n

in intervalli a passo costante :

è la soluzione numerica al tempo :

La distanza verticale tra e n n

numerico a .

Anziché una funzione continua cerco un numero finito di valori e per passare da un valore al

successivo sostituisco il rapporto incrementale alla derivata prima:1

Metodo di Eulero esplicito

Calcolo la soluzione essendo noto il punto , partendo da :

Metodo di Eulero implicito È più costoso a livello di iterazioni, ma vantaggioso per stabilità.

Utilizzo la pendenza nel punto successivo:

è presente anche dentro . Porto tutto a sinistra:

tn n n n n (se ho più incognite è un sistema): lineare se è

n n n n n n n n un metodo numerico.

Metodo di Crank Nicolson

Metodo implicito: uso la media delle pendenze nel punto corrente e nel successivo.

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Ordine di precisione

én n n n n n n nLo uso per il paragone tra metodi servendomi del

confronto della formula numerica con lo sviluppo in serie di Taylor per la soluzione esatta.

Esempio, Eulero esplicito per :

Sviluppo di Taylor:

Quindi n n n n n nù n n nh n n n n n n n n n n n

Lo stesso vale per Eulero implicito; Crank Nicolson ha ordine 2.

Assoluta stabilità numerica

Importante n n n n n n n n n n n n n

n n

Per studiare la stabilità del metodo uso un problema test lineare, di cui conosco la soluzione esatta, e

n ncon la soluzione numerica: 1 / M1/≤44/M

La soluzione esatta è

-Per la soluzione numerica applico Eulero esplicito: 111111

Partendo da u = 1:

0 1(perché

Dato che per è negativo), anche la soluzione approssimata deve tendere a

zero per . n

Il metodo di Eulero esplicito è stabile (conserva decadimento), solo per1 Se così non fosse

vedi figura

Se il passo è troppo grande, le oscillazioni