Appunti di Metodi numerici

Metodi numerici

Lunedì 7 ottobre 2024 13:44

Modelli matematici

I modelli matematici richiedono la risoluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali la cui soluzione è una funzione differibile che dipende da più variabili (come x, y, tempo t). Sono equazioni complicate e si indicano con used per risolvere PDE di interesse pratico per l’ingegneria civile, un esempio: costruiamo un ponte, risolvere un'anomalia, verificare se il problema è risolvibile (costruisce un profilo tramite punti...).

Il metodo più usato per soddisfare le leggi di conservazione è il metodo degli elementi finiti, preceduto da una serie di modelli, che sono:

• Discretizzazione prende un problema continuo risolvere le PDE in una suddivisione in pezzi piccoli (in forma nota).
• Ricerca della topologia successione di elementi del dominio continuo, definendo la posizione reciproca di un elemento rispetto ad altri.
• Modello locale, risoluzione di un problema locale (più semplice della PDE) per ogni singolo elemento, che varia a seconda del tipo di.
• Assemblaggio si costruisce una matrice e vettore delle incognite locali per ogni elemento e vengono inseriti in una matrice globale, inserendo condizioni iniziali e condizioni sui bordi e delle incognite globale.
• Solutore algoritmo che risolve il sistema di equazioni lineari/non lineari.

Simulazione porta programmatore alla creazione di un programma che risolve una PDE. Prova orale con discussioni del progetto. Voto definito da tenendo conto di domande teoriche.

Solutore

Dove prodotto scalare e vettori ortonormali.

Autovalori e autovettori

Autovalore di A. Polinomio caratteristico di grado n λ.

Si distinguono metodi diretti e iterativi per risolvere per calcolare, infatti il numero di operazioni per calcolare è in come (n) dipende dalla costante moltiplicativa, si dice costo computazionale.

Metodi diretti

Metodi diretti portano da un punto di partenza fino ad un altro con numero finito di operazioni: teorema LU.

Si può usare pivoting parziale o totale. Problema alla radice quadra.

Eliminazione di Gauss fattorizzazione triangolare L con diagonale -1 implicitamente con matrici simmetriche reali LU.

Sostituzione all'indietro. Incognita in ordine inverso alla sostituzione all'indietro.

Metodi iterativi

Metodi iterativi creano una successione di approssimazioni tramite una formula ricorrente fino a una, trovo più piccola una misura dell'errore (scarto che converge a, nonché ricercare). Sono vantaggiosi quando è abbastanza basso.

Metodi stazionari e lineari (Jacobi, Seidel, SOR, Richardson). Indice alta base simile al metodo del punto fisso.

Questi metodi adottano una splitting A, R= supponendo R invertibile.

Jacobi: (A = D+R). Seidel: SOR (Successive Over Relaxation): dove e si prende, il fattore di rilassamento.

Tutti questi metodi sono caratterizzati da tale condizione, può scrivere modulo vede.

Si: possono essere riformulati come incognita minore residuo. Possono essere riformulati come ₂.

Formula di Richardson per formula per profilo max dove | |. Resudino per K tale che. Resideno matrice.

Non si sa se il metodo iterativo converge sempre. Inoltre, metodi a convergenza geometrica per non lineare:

Esempio metodo di Richardson Preso.

Spesso si pensa convergente con la norma massima.

Metodi numerici

Lunedì 7 ottobre 2024 13:44

Modelli matematici

I modelli matematici richiedono la risoluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali la cui soluzione è una funzione differibile che dipende da più variabili (come x, y, z, t, tempo, t). Sono equazioni complicate e si indicano con le PDE, l'analisi matematica non permette il calcolarle. I usati per risolvere PDE di interesse pratico per l’ingegneria civile ma un esempio: costruire un ponte, inserisci un modello che risolve varie PDE per verificare se il problema è risolvibile (costruisce un profilo insieme di punti):

Il metodo più usato per soddisfare le leggi di accuratezza è il metodo degli elementi finiti, preceduto da una serie di modelli, che sono:

• Discretizzazione: prende un continuo per risolvere le PDE e viene suddiviso in pezzi piccoli (in forma nota (elementi finiti)).
• Ricerca della topologia: successione di elementi che lasciano un continuo, definendo la posizione reciproca di un elemento rispetto ad altri.
• Modello locale: risoluzione di n problema locale (più semplice della PDE) per ogni singolo elemento, che varia a seconda del tipo di legge usata.
• Assemblaggio: si costruisce una matrice e vettore delle incognite locali per ogni elemento e vengono inseriti in una matrice globale, ogni elemento inserisce il contributo delle variabili delle incognite globali.
• Solutore: algoritmo che risolve il sistema di equazioni lineari non lineari.

Indice numerico: portare un programma numerico, un semplice programma che risolve una PDE. Prova orale con discussione del progetto. Voto definito da la solutore dove prodotto scalare spazio vettoriale definito da una sua base significa che sono linearmente indipendenti, quindi dim(V)=n ==== e si possono pensare come combinazione lineare delle colonne A, e reversus il