Appunti Meccanica razionale

Appunti di Meccanica Razionale

Giulio G. Giusteri

Anno Accademico 2024/2025

Indice

1 Meccanica di un punto materiale 1

1.1 L’equazione di Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Osservabili e leggi di conservazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Energia, lavoro e forze conservative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Campi centrali a simmetria sferica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5 Sistemi conservativi ad un grado di libertà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5.1 Ritratto in fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5.2 Il pendolo semplice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5.3 Periodo delle librazioni del pendolo semplice . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6 Moto in un campo centrale e problema di Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6.1 Formula di Binet e orbite di Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.7 Problema dei due corpi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Meccanica dei sistemi discreti di punti materiali 18

2.1 Osservabili cinematiche collettive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2 Le equazioni cardinali della dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Meccanica dei corpi rigidi 23

3.1 Stato cinetico rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2 Energia cinetica del corpo rigido e momenti d’inerzia . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2.1 Approssimazione al continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2.2 Operatore d’inerzia e momenti principali d’inerzia . . . . . . . . . . . . . 28

3.3 Dinamica dei corpi rigidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3.1 Ellissoide d’inerzia e rappresentazione di Poinsot . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3.2 Corpi rigidi simmetrici e coni di Poinsot . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4 Sistemi vincolati 38

4.1 Vincoli olonomi e loro parametrizzazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.1.1 Linee coordinate e vettori tangenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.1.2 Un esempio di vincolo non olonomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.2 Energia cinetica per sistemi olonomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.3 Vincoli olonomi ideali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5 Meccanica Lagrangiana 48

5.1 Componenti lagrangiane delle forze attive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.2 Funzione lagrangiana ed equazioni di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.2.1 Dimostrazione delle identità del binomio lagrangiano . . . . . . . . . . . 51

i

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5.3 Forma normale delle equazioni di Lagrange e loro sufficienza per determinare il

moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.4 Quantità conservate lungo il moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.5 Metodo di riduzione di Routh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.6 Equilibri e stabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.6.1 Stabilità secondo Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.7 Piccole oscillazioni attorno agli equilibri stabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.8 Esercizi da esame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

ii

Capitolo 1

Meccanica di un punto materiale

1.1 L’equazione di Newton m >

Un punto materiale è la rappresentazione matematica di un corpo dotato di massa 0 la

cui estensione spaziale viene “dimenticata”, ossia approssimata mediante la nozione geometrica

P

di un punto , che identifica la posizione del corpo nello spazio ambiente. Introducendo un

O

sistema di riferimento ortonormale con origine nel punto e versori e , e ed e , possiamo

x y z

3

P y, z) ∈

rappresentare la posizione del punto mediante il vettore r = (x, delle coordinate

R

P − O {e , , }. P

di sulla base e e Un moto del punto materiale è quindi descritto da una

x y z

{t 7→

funzione r(t)} che ad ogni istante di tempo associa il vettore posizione del punto. Esso

3

è quindi una funzione di una variabile reale a valori in .

R

La seconda legge di Newton afferma che la variazione nel tempo della velocità di un corpo

è proporzionale alla forza che agisce su di esso e la costante di proporzionalità è precisamente

m

la massa del corpo. Per trasformare la legge di Newton nell’equazione di Newton dobbiamo

sfruttare il concetto di derivata e dire che il vettore velocità v è la derivata temporale (denotata

con un punto) del vettore posizione, mentre la derivata della velocità è l’accelerazione del corpo,

ossia v(t) = ṙ(t) e a(t) = v̇(t) = r̈(t).

Introducendo allora il vettore F , che può anche dipendere dal tempo, della forza agente sul

P

punto , l’equazione di Newton si esprime nelle tre forme equivalenti

ma , m , mr̈ .

= F v̇ = F = F (1.1)

Se supponiamo che il valore della forza F possa dipendere da posizione e velocità del punto

oltre che dal tempo, l’equazione di Newton diventa

mr̈(t) t),

= F (r(t), ṙ(t), (1.2)

che è un’equazione differenziale ordinaria del second’ordine, ossia una relazione che coinvolge

una funzione (r) di una sola variabile reale (t) e le sue derivate fino all’ordine 2.

La costruzione di modelli per i fenomeni fisici descrivibili mediante la meccanica di un punto

materiale passa attraverso la scelta di opportune espressioni per il vettore F delle forze. Sotto

opportune ipotesi (non molto restrittive) su come F dipende da posizione, velocità e tempo, una

, y , z ẋ , ẏ , ż

volta fissate delle condizioni iniziali r = (x ) e v = ( ) per posizione e velocità,

0 0 0 0 0 0 0 0

la soluzione dell’equazione (1.2) è unica, ossia esiste un solo moto del punto che si sviluppa

1

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a partire da tali condizioni iniziali. Chiameremo spazio delle configurazioni il sottoinsieme di

3 6

di tutte le possibili posizioni e spazio degli stati il sottoinsieme di di tutte le possibili

R R

coppie (posizione, velocità). Queste nozioni che ora possono sembrare superflue diventeranno

fondamentali nello studio di sistemi vincolati.

Per certi campi di forze l’equazione di Newton è di facile soluzione. Ad esempio il moto di

m g −e

un corpo di massa soggetto alla forza peso di accelerazione e diretta come è soluzione

z

delle equazioni mẍ(t) = 0,

mÿ(t) = 0,

mz̈(t) −mg,

=

da cui si trova facilmente t

Z dτ ẋ ,

ẋ(t) ẋ 0 =

= + 0

0 0 t

Z dτ ẏ ,

ẏ(t) ẏ 0 =

= + 0

0 0 t

Z g dτ ż − gt,

ż(t) ż − =

= 0

0 0

e quindi t

Z

x(t) x ẋ dτ x ẋ t,

= + = +

0 0 0 0

0 t

Z ẏ dτ y ẏ t,

y(t) y = +

= + 0 0 0

0 0 t

Z 2

1

ż − gt) dτ z ż t −

z(t) z gt ,

( = +

= + 0 0 0

0 2

0

, y , z ẋ , ẏ , ż

dove (x ) e ( ) sono le condizioni iniziali che supponiamo note.

0 0 0 0 0 0

In altri casi risolvere esplicitamente, in modo analitico, l’equazione di Newton può essere

impossibile ed è per questo che svilupperemo tecniche per studiare in modo qualitativo le

soluzioni. Ciò significa determinare in modo rigoroso ed esatto alcune proprietà dei moti che

risultano di grande interesse anche se non si conoscono tutti i dettagli della soluzione (ad

esempio capire la forma delle traiettorie senza conoscere la velocità con cui sono percorse).

Un sistema importantissimo che studieremo senza calcolare la soluzione esplicita dell’equa-

zione di Newton è quello di un punto soggetto alla forza di attrazione gravitazionale di un altro

m

punto di massa fisso nell’origine del sistema di riferimento. In questo caso la forza è

0 Gm m

0

− r,

F (r) = 3

∥r∥

G ∥r∥

dove è la costante di gravitazione universale e indica la norma (lunghezza) del vettore

posizione, ossia la distanza tra i due punti che si attraggono. Dall’equazione

Gm m

0

mr̈ −

= r,

3

∥r∥

2

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m

semplificando si ottengono le equazioni del problema di Kepler

x

ẍ −Gm ,

= 0 2 2 2 3/2

y z

(x + + )

y

ÿ −Gm ,

= 0 2 2 2 3/2

y z

(x + + )

z

z̈ −Gm ,

= 0 2 2 2 3/2

y z

(x + + )

che sono equazioni differenziali ordinarie ma non lineari (a differenza di quelle risolte sopra).

1.2 Osservabili e leggi di conservazione

Chiamiamo osservabili delle quantità espresse da funzioni definite sullo spazio degli stati, cioè

che possono dipendere da posizione e velocità del punto materiale. Se denotiamo con (r, v) un

h

punto (posizione,velocità) dello spazio degli stati, un’osservabile generica è una funzione che

h(r,

dipende da tale punto come v). Calcolare un’osservabile lungo il moto r(t) di un punto

h

materiale, significa considerare la funzione composta di con r(t) e ṙ(t), che diventa quindi

h(r(t),

la funzione del tempo ṙ(t)). Un’osservabile è una costante del moto se il suo valore

calcolato lungo un moto non varia nel tempo. mv

Osservabili di particolare importanza sono la quantità di moto p = e il momento

Q,

angolare rispetto ad un polo definito come

− Q) ∧ mv − ∧ mv,

M = (P = (r r )

Q Q

∧

dove con a b indichiamo il prodotto vettoriale tra a e b. Q

Teorema 1.1. I vettori quantità di moto e momento angolare rispetto ad un polo di un punto

P m mr̈

materiale di massa il cui moto è soluzione dell’equazione di Newton = F soddisfano

a loro volta, quando calcolati lungo il moto del punto, le equazioni

− ∧

ṗ = F e Ṁ = N v p,

Q Q Q

− Q) ∧ Q,

dove N = (P F è il momento della forza F rispetto al polo che ha velocità v .

Q Q

m

Dimostrazione. Poiché la massa non dipende dal tempo, è immediato verificare che

m mr̈ .

ṗ = v̇ = = F

Per quanto riguarda il momento angolare, si ha

d − O) − − O)] ∧

− Q) ∧ [(P (Q p

Ṁ = (P ṗ +

Q dt − Q) ∧ ∧ mv − ∧ − ∧

= (P F + v v p = N v p,

Q Q Q

in quanto il prodotto vettoriale tra due vettori paralleli si annulla.

Le leggi di conservazione identificano delle osservabili il cui valore non cambia se calcolate

lungo un moto soluzione dell’equazione di Newton. Dalle equazioni precedentemente derivate

possiamo osservare che: 3

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• Se il campo di forze è ortogonale ad una direzione identificata da un vettore fisso d,

t) · t),

indipendente dal tempo, ossia se F (r, ṙ, d = 0 per ogni scelta della terna (r, ṙ,

·

allora la proiezione p d della quantità di moto lungo d si conserva. Infatti

d · · ·

(p d) = ṗ d = F d.

dt

• Se il campo di forze è centrale, ossia F è parallelo ad r, allora il momento N della

O

forza rispetto all’origine è il vettore nullo e quindi, dato che anche la velocità dell’origine

O

è nulla, il vettore momento angolare rispetto al polo è una costante del moto.

1.3 Energia, lavoro e forze conservative

12 12

2

T m∥v∥ mv ·v.

Un’altra osservabile fondamentale è l’energia cinetica = = Se ne calcoliamo

la derivata temporale lungo un moto r(t) che soddisfa l’equazione di Newton con campo di

forze F , otteniamo

m

Ṫ · · m · mr̈(t) · t) ·

= ( v̇ v + v v̇) = v̇ v = ṙ(t) = F (r(t), ṙ(t), ṙ(t).

2 Π ·

Quindi, se definiamo l’osservabile potenza spesa dalla forza F come = F v troviamo che,

lungo il moto r(t) soluzione dell’equazione di Newton, l’energia cinetica soddisfa a sua volta

l’equazione Ṫ Π.

= (1.3)

, t

Integrando l’equazione (1.3) su un intervallo di tempo [t ] otteniamo un’espressione per la

0 1

variazione dell’energia cinetica della forma t t

Z Z

1

1 1 1

2 2

m∥ − m∥

T − T Π dt t) · dt.

ṙ(t )∥ ṙ(t )∥ =

(t ) (t ) = = F (r(t), ṙ(t), ṙ(t)

1 0 1 0

2 2 t t

0 0 , t

L’integrale che corrisponde alla variazione di energia cinetica nell’intervallo [t ]

0 1

t

Z 1

L t) · dt

= F (r(t), ṙ(t), ṙ(t)

t

0 , t

si chiama lavoro compiuto dal campo di forze F lungo il moto r(t) nell’intervallo [t ].

0 1

Ci chiediamo ora: quando la variazione di energia cinetica dipende solo dalla posizione del

t t V

punto materiale negli istanti e ? Questo sarebbe vero se esistesse un’osservabile che

0 1

dipende solo dalla posizione e tale che la sua derivata temporale lungo il moto r(t) soddisfi la

relazione − V̇ Π(r(t), t).

(r(t)) = ṙ(t),

Infatti, in tal caso avremmo t

Z 1

T − T − V̇ dt −V V

(t ) (t ) = (r(t)) = (r(t )) + (r(t )).

1 0 1 0

t

0 4

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Definizione 1.2. Un campo di forze posizionale (che non dipende dalla velocità) e autonomo

V

(che non dipende dal tempo) si dice conservativo se esiste una funzione (r), detta energia

1

potenziale, tale che −∇V

F (r) = (r),

ossia, in componenti, tale che ∂V ∂V

∂V , F , F .

F = =

= y z

x ∂x ∂y ∂z

Osserviamo che due funzioni energia potenziale che differiscono per una costante additiva danno

origine allo stesso campo di forze. V

Se ci troviamo in presenza di un campo di forze F conservativo con energia potenziale ,

V

calcolando la derivata temporale di lungo un moto r(t) soluzione dell’equazione di Newton

troviamo V̇ ∇V · −F · −Π(r(t),

(r(t)) = (r(t)) ṙ(t) = (r(t)) ṙ(t) = ṙ(t))

e quindi t t

Z Z

1 1

T − T Π(r(t), dt − V̇ dt −V V

(t ) (t ) = ṙ(t)) = (r(t)) = (r(t )) + (r(t )).

1 0 1 0

t t

0 0

Questo ci porta anche a concludere il seguente fatto: lungo il moto di un punto materiale

E T V

soggetto ad un campo di forze conservativo l’energia meccanica totale = + data dalla

somma di energia cinetica ed energia potenziale si conserva. Infatti si ha che

Ė Ṫ V̇ Π − Π

= + = = 0. −mge

Come esempi di campi conservativi possiamo citare la forza peso che ha energia

z

V mgz

potenziale = e la forza di attrazione gravitazionale

peso Gm m

Gm m 0

0 V − .

− r, che ha energia potenziale (r) =

F (r) = G

3

∥r∥ ∥r∥

1 Richiamo di calcolo differenziale in più variabili. Quando una funzione dipende da più variabili, ad

2 3

−

esempio f (x, y, z) = xyz x y + yz + 3x, possiamo calcolarne le derivate parziali rispetto a ciascuna variabile

semplicemente fingendo che le altre siano parametri fissati. Nel caso in esempio si ottiene

∂f ∂f ∂f

2 3 2

− −

= yz 2xy + 3, = xz x + z , = xy + 3yz .

∂x ∂y ∂z

∇f

Il vettore delle derivate parziali è detto gradiente di f e si denota con . In questo esempio

 

−

yz 2xy + 3

2 3

−

∇f xz x + z

(x, y, z) = .

 

2

xy + 3yz

Se supponiamo ora di comporre f con un moto (x(t), y(t), z(t)) possiamo calcolare la derivata temporale di f

mediante le derivate parziali e la regola della derivata di una funzione composta e otteniamo

∂f ∂f ∂f

˙ ∇f ·

f (x(t), y(t), z(t)) = ẋ + ẏ + ż = ( ẋ, ẏ, ż).

∂x ∂y ∂z

5

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1.4 Campi centrali a simmetria sferica

Consideriamo ora una classe particolare di campi di forze. Chiamiamo campo di forze centrale

a simmetria sferica ogni campo di forze F posizionale e autonomo che abbia direzione parallela

r ∥r∥. f →

ad r e modulo dipendente soltanto da = In tal caso esiste una funzione : tale

R R

che r .

f

F (r) = (r) r

f f

Supponendo che ammetta una primitiva (questo è vero ad esempio se è continua), possiamo

R

V(r) − f dr

definire = (r) (una primitiva cambiata di segno) ed ottenere un’energia potenziale

per F della forma p 2 2 2

V y, z) V V(∥r∥) V( x y z

(x, = (r) = = + + ),

infatti, derivando per composizione con la funzione modulo, si ottiene

r

′

−∇V −V f

(r) = (r)∇∥r∥ = (r) = F (r).

r

Possiamo quindi affermare che il moto di un punto materiale in un campo di forze centrali a

simmetria sferica ammette come costanti del moto l’energia meccanica

1 2

E(r, m∥v∥ V(∥r∥)

v) = +

2

O

e il momento angolare rispetto al polo ∧ mv.

M (r, v) = r

O

Una situazione molto particolare di moto si verifica quando le condizioni iniziali sono tali

∧

per cui M = 0, e resta quindi nullo per tutto il moto r(t). Ciò significa che r ṙ = 0, ossia

O

che vettore posizione e vettore velocità sono sempre paralleli tra loro. Questo implica che esiste

r(t)e,

un versore (vettore di norma unitaria) e, indipendente dal tempo, tale per cui r(t) =

ṙ(t)e r̈(t)e.

ṙ(t) = e r̈(t) = Possiamo allora moltiplicare scalarmente per e entrambi i membri

dell’equazione di Newton e ottenere

mr̈(t) mr̈(t)e · f · f

= e = (r(t))e e = (r(t)). (1.4)

Quindi l’equazione vettoriale di Newton si riduce in questo caso ad una sola equazione per la

r(t),

funzione che descrive il modulo del vettore posizione, la cui dinamica è determinata dal

f

modulo della forza rappresentato