Appunti di Meccanica razionale

Name: Appunti di Meccanica razionale
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Author: mrossini414

Revisionato il 27/07/2026

di mrossini414

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Vi sono tutti gli appunti del corso di Meccanica razionale con qualche esercizio che l'eventuale professore può chiedervi. Gli appunti sono stati integrati con argomenti extra trattati …

Esame Meccanica razionale

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Pinzari Gabriella

Università Università degli Studi di Padova

A.A. 2022-2023

141 pagine

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Appunti esame

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Estratto del documento

Lezione 1 03/10/2022

1.1 Equazione di Newton

Dalla fisica, la seconda equazione della dinamica è:

F = m ⋅ a

Consideriamo un corpo, F = (F_x, F_y, F_z) vettori forza nelle sue componenti

Q = (Q_x, Q_y, Q_z) accelerazione nelle sue componenti

m ⋅ g ∈ R = massa del corpo

Problema: bisogna determinare la traiettoria del corpo

r(t) = vettore direzione nel tempo = (x(t), y(t), z(t))

∇ tale che

Q = d²/dt² r(t) = (d²/dt² x(t), d²/dt² y(t), d²/dt² z(t))

E ciò deve soddisfare la seconda equazione di Newton [F=ma]

Notazione: le derivate rispetto al tempo si indicano con un punto

Di conseguenza tale equazione si può riscrivere nel seguente modo

m ṙ(t) = => m (ẋ(t), ÿ(t), ẑ(t)) = (F_x, F_y, F_z)

Scriviamo tale formula come un sistema di equazioni differenziali, del secondo ordine

M ẋ(t) = F_x
M ẏ(t) = F_y
M ẑ(t) = F_z

=> x(t), ẏ(t), Ẑ(t) sono funzioni incognite

(F_x, F_y, F_z) sono note

Eq. del moto:

mẋ = F_x (x, y, z, ẋ, ẏ, ẑ, t)

Analogamente sarà per le altre componenti

mẏ = F_y (x, y, z, ẋ, ẏ, ẑ, t)

Lezione 1 03/10/2022

1.1 Equazione di Newton

Dalla fisica, la seconda equazione della dinamica è:

F = m * a

Consideriamo un corpo, F = (F_x, F_y, F_z)

Q = (Q_x, Q_y, Q_z)

m ∈ ℝ = massa del corpo

Accelerazione nelle sue componenti

Problema: bisogna determinare la traiettoria del corpo

r(t) = vettori direzione nel tempo = (x(t), y(t), z(t))

∇ t.c. Q = d²/dt² r(t) = (d²/dt² x(t), d²/dt² y(t), d²/dt² z(t))

E ciò deve soddisfare la seconda equazione di Newton [F=ma]

Notazione le derivate rispetto al tempo si indicano con un punto

Di conseguenza tale equazione si può riscrivere nel seguente modo

m * ṙ(t) = F => m (ẋ(t), ÿ(t), z̈(t)) = (F_x, F_y, F_z)

Scriviamo tale formula come un sistema di equazioni differenziali, del secondo ordine

M * ẍ(t) = F_x
M * ÿ(t) = F_y
M * z̈(t) = F_z

=> x(t), y(t), z(t) sono funzioni incognite

(F_x, F_y, F_z) sono note

Eq. del moto:

mẋ = F_x(x, y, z, ẋ, ẏ, z̈, t)

Analogamente sarà per le altre componenti

mẏ = F_y(x, y, z, ẋ, ẏ, z̈, t)

m² = F₂(x,y,zẋ,ẏ,ż,t)

In forma vettoriale: E(t,ẋ,ẏ,ż)

1.2 Teorema di Cauchy

Si occupa di risolvere sistemi del tipo:

V = vettore generico

^.V = ƒ(V,t)

Generica funzione

∣V = (ν₁,ν₂,…,νₙ)

t = (t₁,t₂,…,tₙ)

Poniamo il parametro iniziale

V(t₀) = V₀

Il teorema di Cauchy afferma che sotto "opportune condizioni" su V il sistema precedentemente scritto ha un'unica soluzione V(t), per t appartenenti ad un intorno (eventualmente piccolo)

"Opportune condizioni" = si richiede che la funzione ƒ(V,t) sia derivabile rispetto a tutte le componenti di V (ν₁,…,νₙ) con derivate continue

Tutte le funzioni

ƒ₁(V₁,…,Vₙ,t)

ƒₙ(V₁,…,Vₙ,t)

=> abbiamo derivate continue rispetto a ν₁,…,νₙ

Notazione: per indicare le derivate parziali, si segna nel seguente modo:

dν_iƒ_₁(V₁,…,Vₙ,t) = ∂/∂ν_iƒ_₁(V₁,…,Vₙ,t)

Esistono altri teoremi che permettono di affermare l'esistenza e l'unicità della funzione del problema di Cauchy (P.d.C) per t appartenenti ad un dominio "globale"

∣ Globale ∣

Il dominio della t su cui è definita γ in fisica in tutti i casi noti, questo dominio è ℝ = (-∞ +∞)

Da ora in poi penseremo che la soluzione di un P.d.C di origine fisica esista e sia unica ∀γ ∈ ℝ

1.3 Relazione tra P.d.C e E(t, ṙ, t)

In generale, consideriamo un'equazione del tipo

m^(s) = F(m₁, m₂, ..., m_h, t)

μ = (μ₁, μ₂, ..., μ_h)

Si può riscrivere in forma di equazione del 1^o ordine con un cambio di variabile:

μ⁽³⁾ = F(μ̇, ... , μ^(s-1), t)

m₀

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